Abel定理

注记: 本书是Arnold为高中生写的讲义.

第1章群

第1.1节例子

第1.2节变换群

第1.3节群

练习19. 证明对于一个群的任意元素

a

a

的逆元是唯一的.

证明. 设

b

和

c

都是

a

的逆元, 那么

b = b \cdot e = b \cdot (a \cdot c) = (b \cdot a) \cdot c = e \cdot c = c .

◻

练习20. 证明

$e^{- 1} = e$ ;
对于一个群的任意元素 $a$ , ${(a^{- 1})}^{- 1} = a$ .

证明.

因为 $e \cdot e = e$ , 所以 $e^{- 1} = e$ .
因为 $a \cdot a^{- 1} = a^{- 1} \cdot a = e$ , 所以 $a$ 是 $a^{- 1}$ 的(唯一的)逆元, 即 ${(a^{- 1})}^{- 1} = a$ .

◻

练习24. 令

a

和

b

是群

G

的元素, 证明方程

a x = b

和

y a = b

在

G

中均有唯一解.

证明. 显然,

a^{- 1} b

是

a x = b

的一个解,

b a^{- 1}

是

y a = b

的一个解. 如果

x_{1}

和

x_{2}

都是

a x = b

的解, 那么

x_{1} = a^{- 1} (a x_{1}) = a^{- 1} (a x_{2}) = x_{2} .

如果

y_{1}

和

y_{2}

都是

y a = b

的解, 那么

y_{1} = (y_{1} a) a^{- 1} = (y_{2} a) a^{- 1} = y_{2} .

◻

练习25. 如果对于每个群

G

的元素

a

有

a \cdot a = e

, 证明

G

是交换的.

证明. 对于

G

的任意元素

a

和

b

, 有

e = (a \cdot b) \cdot (a \cdot b) = a \cdot (b \cdot a) \cdot b = e \cdot e = (a \cdot a) \cdot (b \cdot b) = a \cdot (a \cdot b) \cdot b,

即

a \cdot (b \cdot a) \cdot b = a \cdot (a \cdot b) \cdot b,

故

a \cdot b = b \cdot a .

◻

第1.4节循环群

第1.5节同构

练习44. 令

φ_{1} : G_{1} \to G_{2}

和

φ_{2} : G_{2} \to G_{3}

是同构, 证明

φ_{2} φ_{1} : G_{1} \to G_{3}

也是同构.

证明. 对于

a, b \in G_{1}

\begin{array}{rcl} (φ_{2} φ_{1}) (a \cdot b) & = & φ_{2} (φ_{1} (a \cdot b)) \\ = & φ_{2} (φ_{1} (a) \cdot φ_{1} (b)) \\ = & φ_{2} (φ_{1} (a)) \cdot φ_{2} (φ_{1} (b)) \\ = & (φ_{2} φ_{1}) (a) \cdot (φ_{2} φ_{1}) (b) \end{array}

φ_{2} φ_{1}

为双射是显然的.

◻

练习47. 令

φ : G \to F

是一个同构, 证明

φ (e_{G}) = e_{F}

, 其中

e_{G}

和

e_{F}

分别是

G

和

F

的幺元.

证明. 对于任意的

a_{F} \in F

, 存在

a_{G} \in G

满足

φ (a_{G}) = a_{F}

, 那么

\begin{array}{rcl} φ (e_{G}) \cdot a_{F} & = & φ (e_{G}) \cdot φ (a_{G}) \\ = & φ (e_{G} \cdot a_{G}) \\ = & φ (a_{G}) \\ = & a_{F} \end{array}

\begin{array}{rcl} a_{F} \cdot φ (e_{G}) & = & φ (a_{G}) \cdot φ (e_{G}) \\ = & φ (a_{G} \cdot e_{G}) \\ = & φ (a_{G}) \\ = & a_{F} \end{array}

于是

φ (e_{G})

的确是

F

的幺元, 即

φ (e_{G}) = e_{F}

◻

第1.6节子群

第1.7节直积

练习70. 设群

G

有

n

个元素而群

H

有

k

个元素, 那么群

G \times H

有多少元素?

解答. 显然是

n k

个.

练习71. 证明群

G \times H

和

H \times G

是同构的.

证明. 考虑映射

φ : G \times H \to H \times G, (g, h) \mapsto (h, g)

, 这是显然的同构.

◻

练习73. 设

G

和

H

是交换群, 那么证明

G \times H

也是交换的.

证明. 对于

(g_{1}, h_{1}), (g_{2}, h_{2}) \in G \times H

\begin{array}{rcl} (g_{1}, h_{1}) \cdot (g_{2}, h_{2}) & = & (g_{1} g_{2}, h_{1} h_{2}) \\ = & (g_{2} g_{1}, h_{2} h_{1}) \\ = & (g_{2}, h_{2}) \cdot (g_{1}, h_{1}) \end{array}

◻

练习74. 令

G_{1}

是

G

的子群,

H_{1}

是

H

的子群, 证明

G_{1} \times H_{1}

也是

G \times H

的子群.

证明. 显然

G_{1} \times H_{1}

非空. 对于

(g, h), (g^{'}, h^{'}) \in G_{1} \times H_{1}

\begin{array}{rcl} (g, h) \cdot (g^{'}, h^{'}) & = & (g g^{'}, h h^{'}) \\ \in & G_{1} \times H_{1} \end{array}

对于

(g, h) \in G_{1} \times H_{1}

\begin{array}{rcl} {(g, h)}^{- 1} & = & (g^{- 1}, h^{- 1}) \\ \in & G_{1} \times H_{1} \end{array}

◻

第1.8节陪集和Lagrange定理

练习81. 设元素

y

属于由元素

x

生成的

H

的左陪集, 证明由元素

x

和

y

生成的

H

的左陪集恰好是相等的.

证明. 因为

y \in x H

, 所以存在

h_{0} \in H

满足

y = x h_{0}

, 于是

x = y h_{0}^{- 1}

. 对于

g \in x H

, 存在

h_{1} \in H

满足

g = x h_{1}

, 那么

\begin{array}{rcl} g & = & x h_{1} \\ = & (y h_{0}^{- 1}) h_{1} \\ = & y (h_{0}^{- 1} h_{1}) \\ \in & y H \end{array}

对于

g \in y H

, 存在

h_{2} \in H

满足

g = y h_{2}

, 那么

\begin{array}{rcl} g & = & y h_{2} \\ = & (x h_{0}) h_{2} \\ = & x (h_{0} h_{2}) \\ \in & x H \end{array}

综上所述,

x H = y H

◻

练习82. 设由元素

x

和

y

生成的两个

H

的左陪集拥有相同的元素, 那么证明它们恰好相等.

证明. 设

z

是

x H

和

y H

的共同元素, 那么根据练习81我们知道

x H = z H

和

y H = z H

, 即

x H = y H

◻

练习83. 证明任意元素的阶都整除群的阶.

证明. 因为任意元素的阶就是其生成的循环子群的阶, 所以显然.

◻

练习84. 证明任意素数阶的群都是循环群, 并且除了

e

都是其生成元.

证明.

◻

练习85. 如果一个群

G

有

31

个元素, 那么

G

有多少个子群?

解答. 鉴于

31

是素数, 所以

G

只有平凡子群, 也就是

2

个子群.

第1.9节内自同构

练习94. 证明内自同构是一个群到自身的同构.

证明. 对于群

G

和

g \in G

, 考虑内自同构

φ_{g} : G \to G, h \mapsto g h g^{- 1}

. 如果

φ_{g} (h_{1}) = φ_{g} (h_{2})

, 即

g h_{1} g^{- 1} = g h_{2} g^{- 1}

, 那么显然有

h_{1} = h_{2}

, 于是

φ_{g}

是单射. 对于

h \in G

, 我们知道

φ_{g} (g^{- 1} h g) = h

, 于是

φ_{g}

是满射. 对于

h_{1}, h_{2} \in G

\begin{array}{rcl} φ_{g} (h_{1}) \cdot φ_{g} (h_{2}) & = & (g h_{1} g^{- 1}) (g h_{2} g^{- 1}) \\ = & g h_{1} (g^{- 1} g) h_{2} g^{- 1} \\ = & g (h_{1} h_{2}) g^{- 1} \\ = & φ_{g} (h_{1} h_{2}) \end{array}

也就是说,

φ_{g}

的确是一个群同态. 综上所述,

φ_{g}

是一个自同构.

◻

第1.10节正规子群

练习99. 证明交换群的每个子群都是正规子群.

证明. 显然, 因为对于

h \in G

φ_{g} (h) = h

◻

练习103. 证明正规子群族之交仍然是正规子群.

证明. 我们已经知道这仍然是一个子群, 正规性也是显然的.

◻

练习104. 群

G

中所有与其他每个元素交换的元素构成的集合被称为群

G

的中心, 证明它是一个正规子群.

证明. 设

G

的中心为

Z

. 我们首先证明

Z

是一个子群. 我们注意到

e \in Z

, 这是显然的. 其次, 对于

z_{1}, z_{2} \in Z

z_{1} z_{2} \in Z

也是显然的, 因为对于每个

g \in G

, 我们有

\begin{array}{rcl} g (z_{1} z_{2}) & = & (g z_{1}) z_{2} \\ = & (z_{1} g) z_{2} \\ = & z_{1} (g z_{2}) \\ = & z_{1} (z_{2} g) \\ = & (z_{1} z_{2}) g \end{array}

最后, 对于

z \in Z

, 有对于每个

g \in G

g z = z g

, 于是

z^{- 1} g = g z^{- 1}

, 即

z^{- 1} \in Z

. 综上所述,

Z

是一个子群. 接下来证明

Z

是正规子群, 然而这是自明的.

◻

Abel定理

第1章群

第1.1节例子

第1.2节变换群

第1.3节群

第1.4节循环群

第1.5节同构

第1.6节子群

第1.7节直积

第1.8节陪集和Lagrange定理

第1.9节内自同构

第1.10节正规子群

第2章复数

第2.1节域和多项式

第2.2节复数域

第2.3节复数域的唯一性

第2.4节复数的几何表示

第2.5节复数的三角表示

第2.6节连续性

第2.7节连续曲线

Abel定理

第1章 群

第1.1节 例子

第1.2节 变换群

第1.3节 群

第1.4节 循环群

第1.5节 同构

第1.6节 子群

第1.7节 直积

第1.8节 陪集和Lagrange定理

第1.9节 内自同构

第1.10节 正规子群

第2章 复数

第2.1节 域和多项式

第2.2节 复数域

第2.3节 复数域的唯一性

第2.4节 复数的几何表示

第2.5节 复数的三角表示

第2.6节 连续性

第2.7节 连续曲线

第1章群

第1.1节例子

第1.2节变换群

第1.3节群

第1.4节循环群

第1.5节同构

第1.6节子群

第1.7节直积

第1.8节陪集和Lagrange定理

第1.9节内自同构

第1.10节正规子群

第2章复数

第2.1节域和多项式

第2.2节复数域

第2.3节复数域的唯一性

第2.4节复数的几何表示

第2.5节复数的三角表示

第2.6节连续性

第2.7节连续曲线