Abel定理

本书我们从研究求解具有一个未知元的从一次到四次的代数方程的问题开始. 古代数学家已经明白该如何求解一次和二次的代数方程, 但是求解三次和四次代数方程的方法到了十六世纪才建立. 具有如下形式的方程

a_{0} x^{n} + a_{1} x^{n - 1} + \dots + a_{n - 1} x + a_{n} = 0

其中

a_{0} \neq 0

, 被称为具有一个未知元的

n

次一般代数方程.

第1章群

第1.1节例子

第1.2节变换群

第1.3节群

证明. 设

b

和

c

都是

a

的逆元, 那么

b = b \cdot e = b \cdot (a \cdot c) = (b \cdot a) \cdot c = e \cdot c = c .

◻

证明.

因为 $e \cdot e = e$ , 所以 $e^{- 1} = e$ .
因为 $a \cdot a^{- 1} = a^{- 1} \cdot a = e$ , 所以 $a$ 是 $a^{- 1}$ 的(唯一的)逆元, 即 ${(a^{- 1})}^{- 1} = a$ .

◻

证明. 显然,

a^{- 1} b

是

a x = b

的一个解,

b a^{- 1}

是

y a = b

的一个解. 如果

x_{1}

和

x_{2}

都是

a x = b

的解, 那么

x_{1} = a^{- 1} (a x_{1}) = a^{- 1} (a x_{2}) = x_{2} .

如果

y_{1}

和

y_{2}

都是

y a = b

的解, 那么

y_{1} = (y_{1} a) a^{- 1} = (y_{2} a) a^{- 1} = y_{2} .

◻

证明. 对于

G

的任意元素

a

和

b

, 有

e = (a \cdot b) \cdot (a \cdot b) = a \cdot (b \cdot a) \cdot b = e \cdot e = (a \cdot a) \cdot (b \cdot b) = a \cdot (a \cdot b) \cdot b,

即

a \cdot (b \cdot a) \cdot b = a \cdot (a \cdot b) \cdot b,

故

a \cdot b = b \cdot a .

◻

第1.4节循环群

第1.5节同构

练习44. 令

φ_{1} : G_{1} \to G_{2}

和

φ_{2} : G_{2} \to G_{3}

是同构, 证明

φ_{2} φ_{1} : G_{1} \to G_{3}

也是同构.

证明. 对于

a, b \in G_{1}

\begin{array}{rcl} (φ_{2} φ_{1}) (a \cdot b) & = & φ_{2} (φ_{1} (a \cdot b)) \\ = & φ_{2} (φ_{1} (a) \cdot φ_{1} (b)) \\ = & φ_{2} (φ_{1} (a)) \cdot φ_{2} (φ_{1} (b)) \\ = & (φ_{2} φ_{1}) (a) \cdot (φ_{2} φ_{1}) (b) \end{array}

φ_{2} φ_{1}

为双射是显然的.

◻

练习47. 令

φ : G \to F

是一个同构, 证明

φ (e_{G}) = e_{F}

, 其中

e_{G}

和

e_{F}

分别是

G

和

F

的幺元.

证明. 对于任意的

a_{F} \in F

, 存在

a_{G} \in G

满足

φ (a_{G}) = a_{F}

, 那么

\begin{array}{rcl} φ (e_{G}) \cdot a_{F} & = & φ (e_{G}) \cdot φ (a_{G}) \\ = & φ (e_{G} \cdot a_{G}) \\ = & φ (a_{G}) \\ = & a_{F} \end{array}

\begin{array}{rcl} a_{F} \cdot φ (e_{G}) & = & φ (a_{G}) \cdot φ (e_{G}) \\ = & φ (a_{G} \cdot e_{G}) \\ = & φ (a_{G}) \\ = & a_{F} \end{array}

于是

φ (e_{G})

的确是

F

的幺元, 即

φ (e_{G}) = e_{F}

◻

第1.6节子群

第1.7节直积

证明. 考虑映射

φ : G \times H \to H \times G, (g, h) \mapsto (h, g)

, 这是显然的同构.

◻

证明. 对于

(g_{1}, h_{1}), (g_{2}, h_{2}) \in G \times H

\begin{array}{rcl} (g_{1}, h_{1}) \cdot (g_{2}, h_{2}) & = & (g_{1} g_{2}, h_{1} h_{2}) \\ = & (g_{2} g_{1}, h_{2} h_{1}) \\ = & (g_{2}, h_{2}) \cdot (g_{1}, h_{1}) \end{array}

◻

证明. 显然

G_{1} \times H_{1}

非空. 对于

(g, h), (g^{'}, h^{'}) \in G_{1} \times H_{1}

\begin{array}{rcl} (g, h) \cdot (g^{'}, h^{'}) & = & (g g^{'}, h h^{'}) \\ \in & G_{1} \times H_{1} \end{array}

对于

(g, h) \in G_{1} \times H_{1}

\begin{array}{rcl} {(g, h)}^{- 1} & = & (g^{- 1}, h^{- 1}) \\ \in & G_{1} \times H_{1} \end{array}

◻

第1.8节陪集和Lagrange定理

练习81. 设元素

y

属于由元素

x

生成的

H

的左陪集, 证明由元素

x

和

y

生成的

H

的左陪集恰好是相等的.

证明. 因为

y \in x H

, 所以存在

h_{0} \in H

满足

y = x h_{0}

, 于是

x = y h_{0}^{- 1}

. 对于

g \in x H

, 存在

h_{1} \in H

满足

g = x h_{1}

, 那么

\begin{array}{rcl} g & = & x h_{1} \\ = & (y h_{0}^{- 1}) h_{1} \\ = & y (h_{0}^{- 1} h_{1}) \\ \in & y H \end{array}

对于

g \in y H

, 存在

h_{2} \in H

满足

g = y h_{2}

, 那么

\begin{array}{rcl} g & = & y h_{2} \\ = & (x h_{0}) h_{2} \\ = & x (h_{0} h_{2}) \\ \in & x H \end{array}

综上所述,

x H = y H

◻

证明. 设

z

是

x H

和

y H

的共同元素, 那么根据练习81我们知道

x H = z H

和

y H = z H

, 即

x H = y H

◻

证明. 因为任意元素的阶就是其生成的循环子群的阶, 所以显然.

◻

第1.9节内自同构

证明. 对于群

G

和

g \in G

, 考虑内自同构

φ_{g} : G \to G, h \mapsto g h g^{- 1}

. 如果

φ_{g} (h_{1}) = φ_{g} (h_{2})

, 即

g h_{1} g^{- 1} = g h_{2} g^{- 1}

, 那么显然有

h_{1} = h_{2}

, 于是

φ_{g}

是单射. 对于

h \in G

, 我们知道

φ_{g} (g^{- 1} h g) = h

, 于是

φ_{g}

是满射. 对于

h_{1}, h_{2} \in G

\begin{array}{rcl} φ_{g} (h_{1}) \cdot φ_{g} (h_{2}) & = & (g h_{1} g^{- 1}) (g h_{2} g^{- 1}) \\ = & g h_{1} (g^{- 1} g) h_{2} g^{- 1} \\ = & g (h_{1} h_{2}) g^{- 1} \\ = & φ_{g} (h_{1} h_{2}) \end{array}

也就是说,

φ_{g}

的确是一个群同态. 综上所述,

φ_{g}

是一个自同构.

◻

第1.10节正规子群

证明. 显然, 因为对于

h \in G

φ_{g} (h) = h

◻

证明. 我们已经知道这仍然是一个子群, 正规性也是显然的.

◻

练习104. 群

G

中所有与其他每个元素交换的元素构成的集合被称为群

G

的中心, 证明它是一个正规子群.

证明. 设

G

的中心为

Z

. 我们首先证明

Z

是一个子群. 我们注意到

e \in Z

, 这是显然的. 其次, 对于

z_{1}, z_{2} \in Z

z_{1} z_{2} \in Z

也是显然的, 因为对于每个

g \in G

, 我们有

\begin{array}{rcl} g (z_{1} z_{2}) & = & (g z_{1}) z_{2} \\ = & (z_{1} g) z_{2} \\ = & z_{1} (g z_{2}) \\ = & z_{1} (z_{2} g) \\ = & (z_{1} z_{2}) g \end{array}

最后, 对于

z \in Z

, 有对于每个

g \in G

g z = z g

, 于是

z^{- 1} g = g z^{- 1}

, 即

z^{- 1} \in Z

. 综上所述,

Z

是一个子群. 接下来证明

Z

是正规子群, 然而这是自明的.

◻

Abel定理

引论

第1章群

第1.1节例子

第1.2节变换群

第1.3节群

第1.4节循环群

第1.5节同构

第1.6节子群

第1.7节直积

第1.8节陪集和Lagrange定理

第1.9节内自同构

第1.10节正规子群

第2章复数

第2.1节域和多项式

第2.2节复数域

第2.3节复数域的唯一性

第2.4节复数的几何表示

第2.5节复数的三角表示

第2.6节连续性

第2.7节连续曲线

Abel定理

引论

第1章 群

第1.1节 例子

第1.2节 变换群

第1.3节 群

第1.4节 循环群

第1.5节 同构

第1.6节 子群

第1.7节 直积

第1.8节 陪集和Lagrange定理

第1.9节 内自同构

第1.10节 正规子群

第2章 复数

第2.1节 域和多项式

第2.2节 复数域

第2.3节 复数域的唯一性

第2.4节 复数的几何表示

第2.5节 复数的三角表示

第2.6节 连续性

第2.7节 连续曲线

第1章群

第1.1节例子

第1.2节变换群

第1.3节群

第1.4节循环群

第1.5节同构

第1.6节子群

第1.7节直积

第1.8节陪集和Lagrange定理

第1.9节内自同构

第1.10节正规子群

第2章复数

第2.1节域和多项式

第2.2节复数域

第2.3节复数域的唯一性

第2.4节复数的几何表示

第2.5节复数的三角表示

第2.6节连续性

第2.7节连续曲线