代数: 第0章

第3节的抽象例子可能留给读者这样的印象, 我们可以通过相同想法的小小变化产生大量的例子, 然而并没有真正突破什么. 或许范畴论本身是有趣的, 但是为什么我们真的想要探索这片疆域呢?

范畴提供了一种丰富而统一的语言, 允许我们鸟瞰代数学和其他领域中的许多构造. 在这个课程中, 这将会展露于满足特定泛性质的构造的逐步呈现中. 例如, 我们很快就会发现刻画积和无交并的泛性质与例子3.9中的范畴

C_{A, B}

和

C^{A, B}

有关.

这个课程引入的许多概念都会有一个显式的定义和一个与之相伴的基于泛性质的定义. 显式描述可能在具体计算和论证时很有用, 但是一般而言泛性质澄清了构造的真正本质. 在某些情况下 (例如无交并) 显式描述依赖于看上去随意的选择, 而泛性质消除了这样的随意性. 实际上, 基于泛性质看待构造澄清了为什么我们只能期待一个东西在同构意义下进行定义.

而且, 基于泛性质看待构造有时会揭示某些深刻的联系. 例如, 我们会发现积和无交并实际上是镜像构造, 在调转箭头方向的意义下. 对于显式描述而言, 这并非显然.

第5.1小节始对象和终对象

定义5.1. 令

C

是一个范畴, 我们称

C

的一个对象

I

在

C

中是始对象, 如果对于

C

中的每个对象

A

, 都恰存在

C

中的一个态射

I \to A

\forall A \in Obj (C) : {Hom}_{C} (I, A) 是一个singleton.

我们称

C

的一个对象

F

是终对象, 如果对于

C

中的每个对象

A

, 都恰存在

C

中的一个态射

A \to F

\forall A \in Obj (C) : {Hom}_{C} (A, F) 是一个singleton.

我们可以用端对象来指代始对象或终对象. 另外, 一个范畴不必拥有始对象或终对象.

例子5.3. 在

Set

中,

\emptyset

是始对象, 并且显然只有这一个始对象.

Set

也有终对象, 每个singleton都是终对象, 所以终对象并非唯一.

第5.2小节泛性质

引入泛性质最自然的上下文需要相当熟悉函子的语言, 而我们在之后的阶段才引入. 对于本书的绝大部分例子而言, 以下能用的定义差不多就够了.

我们称一个构造满足一个泛性质, 或者说是对于一个泛问题的解, 当其可以被视为某个范畴的一个端对象. 这个范畴依赖于上下文, 通常是用自然语言解释的.

第5.3小节商

这是以上神秘的断言里作者想要表达的真意. 一旦理解了, 就很容易证明该断言的确是正确的. [译注: 意即, 的确存在这样的对象.]

证明. 考虑任意满足

a^{'} \sim a^{″} \Rightarrow φ (a^{'}) = φ (a^{″})

的

(φ, Z)

, 其中

Z

是

φ

的陪域. 我们要证明存在唯一的态射

(π, A / \sim) \to (φ, Z)

. 换言之, 即交换图

也就是说, 存在唯一的函数

\overline{φ}

使得该图表交换.
设

{[a]}_{\sim}

是

A / \sim

的任意一个元素. 如果该交换图表的确存在, 那么必然有

\overline{φ} ({[a]}_{\sim}) = φ (a)

这告诉我们

\overline{φ}

的确是唯一的. [译注: 我觉得还是有必要说一些无谓的推理, 就是等价的元素的像的确相等, 所以这里是合理的.] 如果这个函数的确存在, 那么证明就结束了. 换言之, 就是说明这个prescription的确定义了一个函数

A / \sim \to Z

. [译注: 我仍然不能适应这种表达, 就是一个态射直接加上类型表示具有这个类型的态射.]
因此, 所有要做的事情不过就是检查上面的这个

\overline{φ}

是否是良定义的. 换言之, 如果

{[a_{1}]}_{\sim} = {[a_{2}]}_{\sim}

, 那么

φ (a_{1}) = φ (a_{2})

. 的确如此, 因为

◻

第5.4小节积

第5.5小节余积

第2章群, 第一次接触

第1节群的定义

第1.1小节群和群胚

这实际上是一个相当可行的定义, 因为群胚既已定义 (在第1章的例子4.6中); 但是大多数数学家会认为以这种方式引入群是滑稽可笑的, 或者说至少他们会善意地质疑这么做在教学上的有效程度. 为了挽回一下我自己, 我会立即parse这个定义来表明它到底是在说什么. [译注: parse是一个计算机术语, 本意是将字符序列或者token序列转换为抽象句法树的过程, 但是这里可以理解为仔细阅读.] 如果

⁎

是这样一个群胚

G

仅有的对象, 那么

{Hom}_{G} (⁎, ⁎) = {Aut}_{G} (⁎)

(因为

G

是一个群胚!), 并且这个集合携带了

G

的所有信息. 称这个集合为

G

, 那么(根据范畴的定义)

G

上存在一个结合运算, 这个结合运算有着恒元

1_{⁎}

, 并且(根据群胚的定义, 其言称

G

中的每个态射都是一个同构)每个

g \in G

都拥有一个逆元

g^{- 1} \in G

这就是什么是一个群了: 一个带有某个复合法则的集合

G

, 并满足几条关键性的公理, 即结合律, 恒元的存在性, 以及逆元的存在性.

第1.2小节定义

现在是给出正式 (official) 定义的时候. 令

G

是一个非空集合, 装备有一个二元运算, 即一个乘法映射

• : G \times G \to G .

我们的记号将会是

• (g, h) ≕ g • h

或者就记为

g h

, 若运算的名字不至于引起误解的话. 细心的读者可能之前会期望我们应该写成是

h • g

, 这与前面我们对于范畴的定义一致, 但是这里的话约定俗称占据了上风. [原注: 并非没有例外; 例如见置换群, 第2节中有所讨论.]

定义1.2. 装备有一个二元运算

•

的集合

G

(简而言之,

(G, •)

, 或者即

G

, 若是运算可以不言自明) 是一个群, 如果

运算 $•$ 是结合性的, 即 $(\forall g, h, k \in G) : (g • h) • k = g • (h • k);$
$•$ 存在一个恒元 $e_{G}$ , 即 $(\exists e_{G} \in G) (\forall g \in G) : g • e_{G} = g = e_{G} • g;$
$G$ 的每个元素都拥有一个相对于 $•$ 而言的逆元, 即 $(\forall g \in G) (\exists h \in G) : g • h = e_{G} = h • g .$

例子1.3. 既然我们显式要求

G

是非空的, 那么编造一个群最经济的方式是令

G = {e}

为一个单元素集. 此时仅有一个类型为

G \times G \to G

的函数, 也就是说

G

上仅有一种可能的二元运算, 其由

e • e ≔ e

定义. 三条公理对于这个例子平凡地成立, 于是

{e}

装备了唯一的群结构.
这通常被称为平凡群; 纯粹主义者应该称任何这样的群为平凡群, 既然每个单元素集都会引出这样一种群. [译注: 没太读明白这句话.]

例子1.5. 我的读者很有可能会熟悉一类极其重要的非交换的例子, 即 $n \times n$ 的可逆实矩阵的群, 其中

n \geq 2

. 此时我想回避讨论这类例子, 因为之后我们将在讨论线性代数时 (自第6章起) 有充分的机会考虑矩阵. 但是, 在那之前, 我们也会偶尔用到一两个矩阵. 读者应该验证满足

a d - b c \neq 0

的

2 \times 2

的实矩阵

(\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix})

在通常的矩阵乘法下构成了一个群:

(\begin{matrix} a_{1} & b_{1} \\ c_{1} & d_{1} \end{matrix}) (\begin{matrix} a_{2} & b_{2} \\ c_{2} & d_{2} \end{matrix}) = (\begin{matrix} a_{1} a_{2} + b_{1} c_{2} & a_{1} b_{2} + b_{1} d_{2} \\ c_{1} a_{2} + d_{1} c_{2} & c_{1} b_{2} + d_{1} d_{2} \end{matrix}) .

(条件

a d - b c \neq 0

是为了保证矩阵可逆, 那么何为其逆?) 因为, 比如说

(\begin{matrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{matrix}) (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{matrix}) \neq (\begin{matrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{matrix}) (\begin{matrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{matrix}),

这个群显然是非交换的.

n \times n

的可逆实矩阵的群记作

{GL}_{n} (ℝ)

第1.3小节基本性质

从群胚的角度来看, 恒元

e_{G}

应该记成

1_{⁎}

. 从记号里省略

G

并非不常见 (只要这个群在上下文中是已知的), 使用不同于

e

的符号来表示该元素也是如此:

1

和

0

都是常见的替代选择, 依赖于上下文. 在任何情况下, 对于任意给定的群

G

, 这种元素都是唯一的. 也就是说,

G

中没有其他元素可以充当恒元:

意外地, 这使得群在第1章的例子3.8的意义下成为带点集合: 每个群都有一个良定义的突出元素.

证明. 首先运用

e_{G}

是一个恒元的事实, 然后运用

h

也是一个恒元的事实, 我们得到

h = e_{G} h = e_{G} .

(有趣的是, 以上论证中只用到

e_{G}

是一个左恒元和

h

是一个右恒元的事实.)

◻

证明. 这实际上是第1章的命题4.2的推论 (通过将

G

看作是只有一个对象的群胚的同构的集合). 通过使用相同的论证技巧, 读者应该可以构造一个自足的证明, 无需引用任何与态射有关的概念.

◻

命题1.7授权 (authorize) 我们去为

g

的唯一(the)的逆命名: 通常这被记为

g^{- 1}

第1.4小节消去律 (cancellation)

第1.5小节交换群

第1.6小节阶

定义1.9. 群

G

是一个元素

g

具有有限的阶, 如果对于某个正整数

n

有

g^{n} = e

. 在这种情况下, 阶

| g |

是满足

g^{n} = e

的最小正整数

n

. 如果

g

没有有限的阶, 我们记

| g | = \infty

根据定义, 如果对于某个正整数

n

有

g^{n} = e

, 那么

| g | \leq n

, 实际上还可以更精确.

第2节群的例子

第2.1小节对称群

在第1章的第4.1小节中我们已经观察到每个范畴

C

中的每个对象

A

都决定了一个群, 被称为

{Aut}_{C} (A)

, 即

A

的自同构群. 从某种有些人工刻意的角度来说, 显然每个群都以这种方式产生 (参见练习1.1); 这个事实可以更有意义的方式成立, 当我们讨论群作用 (第9节) 时会变得显而易见: 参见定理9.5和练习9.17.

在任何情况下, 以下观察都为读者提供了一类无限多的重要例子.

这术语的由来是很容易澄清的: 一个集合

A

的自同构当然是集合的同构, 即从

A

到自身的双射; 应用这样一个双射恰相当于对于

A

的元素施行置换 (或者说打乱). 这种操作可以被视为不改变

A

(作为集合) 的对于

A

的变换, 因而是一个对称.

群

S_{A}

是出了名的大: 正如读者在第1章的练习2.1中所验证的那样,

| S_{n} | = n!

. 例如,

| S_{70} | > 10^{100}

, 这比可观察宇宙的基本粒子的估计数目明显还要来得更大.

第2.2小节二面体群

一个对称是一个保持结构的变换. 这当然是一种言及自同构的宽松方式, 当我们太过懒惰以至于不想严格定义相关的范畴时. 作为范畴的对象的自同构, 对称自然地形成了群.

群的概念在某些上下文中可以被生动地视觉化, 其中一种这样的上下文是关于几何形状的, 例如平面中的多边形和空间中的多面体. 相关的范畴可以定义如下: 令对象是一个常规的平面

ℝ^{2}

的子集,

第2.3小节循环群和模算术

第3节范畴

Grp

第3.1小节群同态

第3.2小节

Grp

: 定义

第3.3小节暂停以反思

第3.4小节积, ...

第3.5小节 abel群

第4节群同态

第4.1小节例子

第4.2小节同态和序

第4.3小节同构

第4.4小节 abel群的同态

第5节自由群

第5.1小节动机

第5.2小节泛性质

第5.3小节具体构造

第5.4小节自由abel群

第6节子群

第6.1小节定义

第6.2小节例子: 核与像

第6.3小节例子: 由子集生成的子群

第6.4小节循环群的子群

第6.5小节单态射

第7节商群

第7.1小节正规子群

第7.2小节商群

第7.3小节陪集

第7.4小节由正规子群得到的商

第7.5小节例子

第7.6小节核

\Leftrightarrow

正规

第8节典范分解和Lagrange定理

第8.1小节典范分解

第8.2小节表示

第8.3小节商的子群

第9节群作用

第9.1小节作用

正如第4.1小节所提及的, 一个群

G

于一个范畴

C

中的一个对象

A

上的一个作用不过就是一个同态

σ : G \to {Aut}_{C} (A) .

解释这个的方式在于每个元素

g \in G

都确定了一个从

A

到自身的变换, 即

C

中

A

的一个同构, 而且作用需要与

G

的运算和

C

中的复合相兼容.

以一种非常强烈的语气说, 我们关心群真的只是因为其作用在东西上: 知道

G

作用于

A

上告诉我们关于

A

的某些事情; 群作用是研究几何与代数实体的关键工具.

实际上, 群作用在研究群自身时也是关键工具: 我们理解一个群的最好方法之一是使其作用于某个对象

A

上, 希望相应的同态

σ

是一个同构, 或者至少是一个单态射.

第9.2小节集合上的作用

在

A

为集合的情形下写出我们对于作用的定义, 于是

{Aut}_{C} (A)

就成了对称群

S_{A}

, 由此我们得到以下定义:

定义9.2. 一个群

G

在一个集合

A

上的一个作用是一个集合函数 (set-function)

ρ : G \times A \to A

其满足对于所有

a \in A

有

ρ (e_{G}, a) = a

, 并且

(\forall g, h \in G), (\forall a \in A) : ρ (g h, a) = ρ (g, ρ (h, a)) .

第10节范畴中的群对象

第3章环和模

第1节环的定义

第2节范畴

Ring

第3节理想和商环

第4节理想和商: 评注和例子; 主理想和极大理想

第5节环上的模

第6节

R

模中的积, 余积, ...

第7节复形和同调

第4章群, 第二次接触

第5章

第6章线性代数

在许多科学分支中, 代数意味着线性代数: 对于向量空间和线性映射的研究, 也就是说, 研究一个特别的环

R

上的模的范畴, 其中

R

是一个域 (而且往往人们限制其注意力于特别的域, 例如

ℝ

或

ℂ

这将会是本章的主题之一. 然而, 我会强调许多在域上做的事情实际上也可以在不那么特别的环上进行.

代数: 第0章

第1章 预备: 集合论和范畴

第1节 朴素集合论

第1.1小节 集合

第1.2小节 集合的包含关系

第1.3小节 集合之间的运算

第1.4小节 无交并和积

第1.5小节 等价关系, 划分, 商

第2节 集合之间的函数

第2.1小节 定义

第2.2小节 例子: 多重集, 指标集

第2.3小节 函数的复合

第2.4小节 单射, 满射, 双射

第2.5小节 单射, 满射, 双射: 第二种观点

第2.6小节 单态射和满态射

第2.7小节 基本例子

第2.8小节 典范分解

第2.9小节 澄清

第3节 范畴

第3.1小节 定义

第3.2小节 例子

第4节 态射

第4.1小节 同构

第4.2小节 单态射和满态射

第5节 泛性质

第5.1小节 始对象和终对象

第5.2小节 泛性质

第5.3小节 商

第5.4小节 积

第5.5小节 余积

第2章 群, 第一次接触

第1节 群的定义

第1.1小节 群和群胚

第1.2小节 定义

第1.3小节 基本性质

第1.4小节 消去律 (cancellation)

第1.5小节 交换群

第1.6小节 阶

第2节 群的例子

第2.1小节 对称群

第2.2小节 二面体群

第2.3小节 循环群和模算术

第3节 范畴Grp

第3.1小节 群同态

第3.2小节 Grp: 定义

第3.3小节 暂停以反思

第3.4小节 积, ...

第3.5小节 abel群

第4节 群同态

第4.1小节 例子

第4.2小节 同态和序

第4.3小节 同构

第4.4小节 abel群的同态

第5节 自由群

第5.1小节 动机

第5.2小节 泛性质

第5.3小节 具体构造

第5.4小节 自由abel群

第6节 子群

第6.1小节 定义

第6.2小节 例子: 核与像

第6.3小节 例子: 由子集生成的子群

第6.4小节 循环群的子群

第6.5小节 单态射

第7节 商群

第7.1小节 正规子群

第7.2小节 商群

第7.3小节 陪集

第7.4小节 由正规子群得到的商

第7.5小节 例子

第7.6小节 核⇔正规

第8节 典范分解和Lagrange定理

第8.1小节 典范分解

第8.2小节 表示

第8.3小节 商的子群

第9节 群作用

第9.1小节 作用

第9.2小节 集合上的作用

第10节 范畴中的群对象

第3章 环和模

第1章预备: 集合论和范畴

第1节朴素集合论

第1.1小节集合

第1.2小节集合的包含关系

第1.3小节集合之间的运算

第1.4小节无交并和积

第1.5小节等价关系, 划分, 商

第2节集合之间的函数

第2.1小节定义

第2.2小节例子: 多重集, 指标集

第2.3小节函数的复合

第2.4小节单射, 满射, 双射

第2.5小节单射, 满射, 双射: 第二种观点

第2.6小节单态射和满态射

第2.7小节基本例子

第2.8小节典范分解

第2.9小节澄清

第3节范畴

第3.1小节定义

第3.2小节例子

第4节态射

第4.1小节同构

第4.2小节单态射和满态射

第5节泛性质

第5.1小节始对象和终对象

第5.2小节泛性质

第5.3小节商

第5.4小节积

第5.5小节余积

第2章群, 第一次接触

第1节群的定义

第1.1小节群和群胚

第1.2小节定义

第1.3小节基本性质

第1.4小节消去律 (cancellation)

第1.5小节交换群

第1.6小节阶

第2节群的例子

第2.1小节对称群

第2.2小节二面体群

第2.3小节循环群和模算术

第3节范畴 $Grp$

第3.1小节群同态

第3.2小节 $Grp$ : 定义

第3.3小节暂停以反思

第3.4小节积, ...

第4节群同态

第4.1小节例子

第4.2小节同态和序

第4.3小节同构

第5节自由群

第5.1小节动机

第5.2小节泛性质

第5.3小节具体构造

第5.4小节自由abel群

第6节子群

第6.1小节定义

第6.2小节例子: 核与像

第6.3小节例子: 由子集生成的子群

第6.4小节循环群的子群

第6.5小节单态射

第7节商群

第7.1小节正规子群

第7.2小节商群

第7.3小节陪集

第7.4小节由正规子群得到的商

第7.5小节例子

第7.6小节核 $\Leftrightarrow$ 正规

第8节典范分解和Lagrange定理

第8.1小节典范分解

第8.2小节表示

第8.3小节商的子群

第9节群作用

第9.1小节作用

第9.2小节集合上的作用

第10节范畴中的群对象

第3章环和模

第1节环的定义

第2节范畴 $Ring$

第3节理想和商环