分析三 (Amann & Escher)

第九章 测度论基础

第9.1节 可测空间

本节的X,X1,X2代表非空集合.

σ代数

我们公理化地引入之后于其上定义"测度"的集族: 𝔓⁡(X)的一个子集A被称为X上的一个σ代数, 如果其满足以下性质:

  1. X∈A;
  2. A∈A可以推出Ac∈A;
  3. 对于(Aj)∈Aℕ, ⋃j∈ℕAj∈A.
如果A是X上的一个σ代数, (X,A)则被称为一个可测空间, 而每个A∈A都被称作是A可测的.

我们称S⊂𝔓⁡(X)是X上的一个代数, 如果其满足以下性质:

  1. X∈S;
  2. A∈S可以推出Ac∈S;
  3. A,B∈S可以推出A∪B∈S.

评注. 设S⊂𝔓⁡(X)含有元素X.
  1. S是一个代数当且仅当其在有限集合操作下封闭.
  2. S是一个σ代数当且仅当其在可数集合操作下封闭.
例子.
  1. {∅,X}和𝔓⁡(X)是σ代数.
  2. {A⊂X|A或者Ac可数}是一个σ代数.
  3. {A⊂X|A或者Ac有限}是一个代数, 其为σ代数当且仅当X有限.
  4. 设A是一个非空指标集, 对于每个α∈A有Aα是X上的一个σ代数, 那么⋂α∈AAα也是X上的一个σ代数.
  5. 设Y是一个非空集合, f∈YX, A和B分别是X和Y上的σ代数, 那么f−1⁡(B)≔{f−1⁡(B)|B∈B}和f⁎⁡(A)≔{B⊂Y|f−1⁡(B)∈A}分别是X和Y上的σ代数. f−1⁡(B)被称为B在f下的逆像, f⁎⁡(A)被称为A在f下的前推.

Borel σ代数

令S是𝔓⁡(X)的一个非空子集, 那么Aσ⁡(S)≔⋂{A⊂𝔓⁡(X)|A⊃S是X上的一个σ代数}是由S生成的σ代数.

评注.
  1. Aσ⁡(S)良定且是包含S的最小σ代数.
  2. S⊂T可以推出Aσ⁡(S)⊂Aσ⁡(T).
  3. 对于S={A}, 我们有Aσ⁡(S)={∅,A,Ac,X}.

令X≔(X,T)是一个拓扑空间. 既然T是非空的, 它生成了一个良定的σ代数, 其被称为X的Borel σ代数, 记作B⁡(X). B⁡(X)的元素被称为X的Borel子集. 作为简写, 我们记Bn≔B⁡(ℝn).

X的一个子集A被称为一个Gδ, 如果存在开集Oj使得A=⋂j∈ℕOj. 集合A被称为一个Fσ, 如果其是可数闭集之并. A是一个Fσ当且仅当Ac是一个Gδ.

例子.
  1. 对于F≔{A⊂X|A是闭集}, 我们有B⁡(X)=Aσ⁡(F).
  2. 每个Gδ和Fσ都是Borel集.
  3. 每个闭区间I既是Fσ也是Gδ.

第二可数性条件

令(X,T)是一个拓扑空间. 我们称M⊂T是T的一个基, 如果对于每个O∈T, 存在M′⊂M使得O=⋃M′. 换言之, 每个开集都可以表达为M中的一些集合之并. 一个拓扑空间(X,T)满足第二可数性条件, 如果T拥有一个可数的基. (X,T)被称为一个Lindelöf空间, 如果每个X的开覆盖都有一个可数的子覆盖. 显然, 每个紧空间都是Lindelöf空间.

评注.
  1. M⊂T是T的一个基当且仅当对于每个点x∈X和x的每个邻域U, 存在M∈M满足x∈M⊂U.
  2. 任意满足第二可数性条件的拓扑空间也满足第一可数性条件.
  3. 反之则不然.
引理. 设X是一个度量空间而A⊂X在X中稠密, 并令M≔{𝔹⁡(a,r)|a∈A,r∈ℚ+}, 那么每个X中的开集都可以写成来自于M的集合之并.
命题. 令X是一个度量空间, 以下陈述等价:
  1. X满足第二可数性条件.
  2. X是一个Lindelöf空间.
  3. X是一个可分空间.
推论.
  1. 设X是一个可分度量空间而A是X的一个可数稠密子集, 那么B⁡(X)=Aσ⁡({𝔹⁡(a,r)|a∈A,r∈ℚ+}).
  2. 设X⊂ℝn非空, 那么度量空间X有可数的基.
推论. 设X是一个具有可数基的拓扑空间, 那么X是可分的且是Lindelöf的.

使用区间生成Borel σ代数

我们赋予ℝn其上的自然序, 即对于a,b∈ℝn, a≤b当且仅当ak≤bk,1≤k≤n.