流形上的分析

第2章 微分

第5节 导数

先来回顾单实变元的实值函数的导数的定义. 令$A$是$ℝ$的一个子集, 考虑函数$\phi :A\to ℝ$. 对于$a\in A$, 若$A$包含$a$的一个邻域, 那么$\phi$在点$a$的导数被定义为$${\phi }^{\prime }(a)=\underset{t\to 0}{lim}\frac{\phi (a+t)-\phi (a)}{t}$$在这个极限存在的情况下, 我们称$\phi$在点$a$是可微/可导的.

那么, 若$f$是一个从${ℝ}^m$的某个子集到${ℝ}^n$的函数时, 该如何合理地推广导数的定义呢?

这是第一个尝试. 令$A$是${ℝ}^m$的一个子集, 而函数$f:A\to {ℝ}^n$. 对于$a\in A$, 假设$A$包含$a$的一个邻域, 考虑非零向量$u\in {ℝ}^m$, 那么$f$在点$a$沿着方向$u$的导数被定义为$$f^{\prime }(a;u)=\underset{t\to 0}{lim}\frac{f(a+tu)-f(a)}{t}$$这个定义的确是有用的, 然而并没有勾勒出"导数就是线性近似"的完整神韵.

以下是Munkres对于导数/微分的定义, 条件与前一段相同. 若存在$B\in {ℝ}^{n\times m}$使得$$\underset{h\to 0}{lim}\frac{f(a+h)-f(a)-Bh}{|h|}=0$$其中$|h|$代表$h$的确界范数, 但是使用Euclid范数也完全是等价的, 那么称$f$在点$a$可微/可导. 这个$B$是唯一的, 其被称为$f$在点$a$的导数. 实际上, 导数应该是一个类型为${ℝ}^m\to {ℝ}^n$的线性映射, Munkres这里的矩阵是线性映射的具体的矩阵表示.

让我们看一个简单的例子, 令$f:{ℝ}^m\to {ℝ}^n$是一个仿射函数, 即存在$B\in {ℝ}^{n\times m}$和$b\in {ℝ}^n$满足$$f(x)=Bx+b$$那么$f$在${ℝ}^m$的每个点上的导数都是$B$. 这相当合理, 因为度量每个点的"变化率"的量自然是这个仿射函数的"线性部分".

可微性, 很自然地蕴涵了方向导数的存在性. 令$A\subset {ℝ}^m$且$f:A\to {ℝ}^n$, 设$A$包含点$a$的一个邻域, 以及$f$在点$a$是可微的, 那么$f$在点$a$的所有方向上的导数都是存在的, 且$$f^{\prime }(a;u)=(Df)(a)u\text{.}$$