范畴论作业

练习1. $\mathbf{Rel}$的对象是集合, 而其箭头$f:A\to B$是从$A$到$B$的关系, 即子集$f\subseteq A\times B$. 等于关系$\{⟨a,a⟩\in A\times A|a\in A\}$是集合$A$上的恒等箭头. $\mathbf{Rel}$中的复合由$$g\circ f=\{⟨a,c⟩\in A\times C|\exists b(⟨a,b⟩\in f\&⟨b,c⟩\in g)\}$$定义, 其中$f\subseteq A\times B$而$g\subseteq B\times C$.
证明$\mathbf{Rel}$是一个范畴, 并证明存在函子$G:\mathbf{Sets}\to \mathbf{Rel}$, 其将对象送至自身, 而将每个函数$f:A\to B$送至其图, 即$$G(f)=\{⟨a,f(a)⟩\in A\times B|a\in A\}\text{.}$$

练习2. 考虑以下范畴的同构, 判断其中哪些成立.

1. $\mathbf{Rel}\cong {\mathbf{Rel}}^{\mathrm{op}}$
2. $\mathbf{Sets}\cong {\mathbf{Sets}}^{\mathrm{op}}$
3. 对于固定的集合$X$, 其幂集为$P(X)$, 作为偏序集范畴$P(X)\cong {P(X)}^{\mathrm{op}}$, $P(X)$中的箭头是子集包含关系.

练习3.

1. 证明$\mathbf{Sets}$中的同构恰是双射.
2. 证明$\mathbf{Monoids}$中的同构恰是双射的同态.
3. 证明$\mathbf{Posets}$中的同构和双射的同态并非等价的概念.

练习4.

练习5.