复平面中的古典分析笔记

第0章 预备

第0.1节 集合论

第0.2节 代数

第0.3节 战场

$ℂ$是在$ℝ$向量空间${ℝ}^2≔ℝ\times ℝ$之中引入一个乘法得到的. 一个自然的要求是这个乘法使得${ℝ}^2$成为一个$ℝ$代数而${\epsilon }_1≔(1,0)$充当了幺元. 设${\epsilon }_2≔(0,1)$, 这意味着对于所有的$a,b,c,d\in ℝ$有$$\begin{array}{rcl}(a,b)(c,d)& =& (a{\epsilon }_1+b{\epsilon }_2)(c{\epsilon }_1+d{\epsilon }_2)\\ & =& ac{\epsilon }_1+bd{\epsilon }_2{\epsilon }_2+(ad+bc){\epsilon }_2\end{array}$$这个乘法显然是交换的, 而且只要知道${\epsilon }_2{\epsilon }_2$, 整个积就是完全确定的. 更进一步的自然要求是向量之积的长度等于其长度之积, 而这个要求就足以将该乘法确定下来. 设$(x,y)≔{\epsilon }_2{\epsilon }_2$. 首先, 这个要求可以推出$x^2+y^2=1$. 其次, 考虑${\epsilon }_1+{\epsilon }_2$和${\epsilon }_1-{\epsilon }_2$相乘. 它们的长度都是$\sqrt{2}$, 所以乘积的长度应该是$2$, 于是$$\begin{array}{rcl}({\epsilon }_1+{\epsilon }_2)({\epsilon }_1-{\epsilon }_2)& =& {\epsilon }_1-{\epsilon }_2{\epsilon }_2\\ & =& (1-x){\epsilon }_1-y{\epsilon }_2\end{array}$$的长度也应该是$2$, 那么$$\begin{array}{rcl}\sqrt{{(1-x)}^2+y^2}& =& \sqrt{1-2x+x^2+y^2}\\ & =& \sqrt{2-2x}\\ & =& 2\end{array}$$这可以推出$x=-1,y=0,{\epsilon }_2{\epsilon }_2=-{\epsilon }_1$. $ℂ$中的乘法因此必然是$$(a,b)(c,d)=(ac-bd,ad+bc)\text{.}$$容易验证代数恒等式$${(ac-bd)}^2+{(ad+bc)}^2=(a^2+b^2)(c^2+d^2)$$这个积的确保持向量长度, 或者说对于长度具有乘性.

一个有趣的事实是, François Viète所谓的三角演算可以称得上是对于复数的早期几何预示. 他考虑了将一个直角边为$a$和$b$而斜边为$c$的直角三角形"乘上"一个直角边为$\alpha$和$\beta$而斜边为$\gamma$的直角三角形以得到一个斜边为$c\gamma$的直角三角形. 作为结果的直角三角形的直角边分别为$a\alpha -b\beta$和$a\beta +b\alpha$. 实际上, Viète的著作里没有写绝对值, 因为他总考虑正值. (而且, 更准确地说, Viète考虑的其实是$b\beta -a\alpha$.) 对于Viète而言, 他已经知道了代数恒等式$$(a^2+b^2)({\alpha }^2+{\beta }^2)={(a\alpha -b\beta )}^2+{(a\beta +b\alpha )}^2$$用以将平方和之积表达为平方和.

复数系统构造中所牵涉的长度的几何概念实际上是可以避免的. 我们可以转而要求使得${ℝ}^2$成为一个$ℝ$代数的乘法也使其成为一个整环 (也就是非平凡的无零因子的含幺交换环) 并具有一个乘法恒元${\epsilon }_1^{⁎}$, 无零因子是一个弱于保持向量长度的条件. (这个想法可以追溯至1867年Hermann Hankel的所作所为. Hermann Hankel是一个数学家和数学史家, 其最早意识到Grassman代数的重要性.) 将$\{{\epsilon }_1^{⁎}\}$扩展为一个基$\{{\epsilon }_0^{⁎},{\epsilon }_1^{⁎}\}$, 那么存在$c,d\in ℝ$满足${\epsilon }_0^{⁎}{\epsilon }_0^{⁎}=c{\epsilon }_1^{⁎}+2d{\epsilon }_0^{⁎}$. 也就是说, ${({\epsilon }_0^{⁎}-d{\epsilon }_1^{⁎})}^2=(c+d^2){\epsilon }_1^{⁎}$. 如果$k≔c+d^2$是非负的, 那么${\epsilon }_0^{⁎}-d{\epsilon }_1^{⁎}\pm \sqrt{k}{\epsilon }_1^{⁎}$均不可能为$0$, 但是它们的积却是$0$, 因此只能有$k<0$. 令${\epsilon }_2^{⁎}≔(1/\sqrt{-k})({\epsilon }_0^{⁎}-d{\epsilon }_1^{⁎})$, 其线性无关于${\epsilon }_1^{⁎}$, 满足${\epsilon }_2^{⁎}{\epsilon }_2^{⁎}=-{\epsilon }_1^{⁎}$. 在基$\{{\epsilon }_1^{⁎},{\epsilon }_2^{⁎}\}$下乘法具有之前的形式:$$(a{\epsilon }_1^{⁎}+b{\epsilon }_2^{⁎})(c{\epsilon }_1^{⁎}+d{\epsilon }_2^{⁎})=(ac-bd){\epsilon }_1^{⁎}+(ad+bc){\epsilon }_2^{⁎}\text{.}$$

乘法的另一个几何性质在于其赋予乘积向量的方向. 如果$u≔(a,b)$是具有单位长度的向量, 而$v≔(c,d)$是任意的向量, 那么平凡的计算告诉我们$uv$是向量$cu+d{u}^{\perp }$, 其中$u^{\perp }≔(-b,a)$. 换言之, $uv$相对于基$\{u,u^{\perp }\}$的坐标是$v$相对于基$\{{\epsilon }_1,{\epsilon }_2\}$的坐标. 也就是说, $uv$是将$v$旋转$u$的结果. 反过来, 对于$u=v={\epsilon }_2$, 这可以推出${\epsilon }_2{\epsilon }_2=-{\epsilon }_1$. 那么, 这个性质也要求乘法具有之前我们所推出的令人熟悉的形式. 而且, 每个旋转变换都是乘上某个具有单位长度的向量$u$, 因为每个${ℝ}^2$的自映射若固定$(0,0)$且保持距离则必然具有$(x,y)\mapsto (a,b)(x,y)$或者$(x,y)\mapsto (a,b)(x,-y)$的形式, 其中$(a,b)$是一个具有单位长度的向量. 既然$(x,y)\mapsto (x,-y)$是一个$ℝ$线性变换, 其非恒等算子且固定了非零向量${\epsilon }_1$, 那么它肯定不是旋转. 于是, 此变换再复合一个旋转得到的$(x,y)\mapsto (a,b)(x,-y)$当然也不可能是旋转变换.

因为旋转性质和对于长度具有乘性是相当有用的, 所以该${ℝ}^2$中的乘法被用作定义$ℂ$的运算. 其不仅是一个$ℝ$代数, 还是一个域. 非零元素$(a,b)$的乘法逆元为$({(a^2+b^2)}^{-1}a,-{(a^2+b^2)}^{-1}b)$. 对于长度具有乘性其实是代数乘法上的一个相当强的假设, 如著名的Gelfand-Mazur定理所刻画的那样: 任意的装备了一个乘性范数的$ℂ$代数都必然拥有一个乘法恒元, 且其为该乘法恒元的所有$ℂ$倍数构成的集合. (?不是很懂)

当${ℝ}^2$的元素写成列向量的形式时, 乘上$(a,b)$这个$ℝ$线性变换由矩阵$\left[\begin{array}{cc}a& -b\\ b& a\end{array}\right]$表示. 所有这样的$2\times 2$实矩阵构成的集合在通常的矩阵乘法下是一个$ℝ$代数, 其同构于装备了复数乘法的${ℝ}^2$. $ℂ$实际上可以被定义为这个矩阵的子代数.

如果将${ℝ}^2$考虑成所有从$\{1,2\}$到$ℝ$的函数构成的集合, 那么在通常的函数运算下其成为一个交换含幺$ℝ$代数. 但是, 这个逐坐标乘法没什么好的性质, 所以这个代数尚未发现什么重要用途.

除了恒等映射之外的唯一的$ℂ$的unital $ℝ$代数自同态是$(x,y)\mapsto (x,-y)$. 这是一个对合的例子, 其被称为(复)共轭. $z$的像记作$\bar{z}$, 即$z$的共轭. 数字$(0,1)$被称为虚数单位, 一般(遵循Euler)记成$i$, 其实倍数被称为纯虚数. $ℝ$向量空间的等式$z=(x,y)=x\cdot (1,0)+y\cdot (0,1)$通常被记为$(x,y)=x+yi$, 即$ℝ$被等同为${ℝ}^2$中与之同构的复制$ℝ\cdot (1,0)$. 我们将$\sqrt{z\bar{z}}$记成$|z|$, 即$z\bar{z}=x^2+y^2$的非负平方根. 这个数字被称为向量$z$的范数, 长度, 模 (modulus), 或者绝对值. $x$被称为$z$的实部或者横坐标, $y$被称为$z$的虚部或者纵坐标, 记$\mathrm{Re}z≔x$和$\mathrm{Im}z≔y$. ${|zw|}^2=zw\overline{zw}=zw\bar{z}\bar{w}={|z|}^2{|w|}^2$, 以及从$z\bar{z}={|z|}^2$中可以看出$z^{-1}={|z|}^{-2}\bar{z}$.

第0.4节 度量空间

回忆一下一个度量空间是一个(非空)集合, 附带有一个距离函数或者说度量$d:X\times X\to [0,\infty )$, 其对于所有$x_1,x_2,x_3\in X$满足

1. $d(x_1,x_2)=d(x_2,x_1)$ (对称性);
2. $d(x_1,x_2)=0\iff x_1=x_2$ (自反性);
3. $d(x_1,x_3)\le d(x_1,x_2)+d(x_2,x_3)$ (三角不等式).

第1章 曲线, 连通性和凸性

第1.1节 连通性的初等事实

本节的$M$代表一个任意的度量空间.