函数论基础

此书是Knopp所写的简明扼要的复变函数引论.

第1部分 复数及其几何表示

第1章 基础

第1节 引论

第2节 实数系

第3节 平面的点和向量

第2章 复数系和高斯平面

第4节 历史注记

第5节 复数系介绍; 记号

第6节 等式和不等式

第7节 加法和减法

第8节 乘法和除法

第9节 衍生规则; 幂

第10节 作为实数系扩张的复数系

第11节 复数的三角表示

第12节 乘法和除法的几何表示

第13节 不等式和绝对值; 例子

第3章 黎曼球面

第14节 球极平面投影

第15节 数字的黎曼球面; 点$\infty$; 例子

第2部分 线性函数和循环变换

第4章 根据线性函数得到的映射

第16节 根据整线性函数 (entire linear function) 得到的映射

函数的概念将在第4部分更加密集地占据着我们的身心. 我们所言称的函数, 指的是对于每个复数$z$, 设法根据某种规则, 与一个新的复数$w$对应起来. 本节我们只处理一种非常简单的对应关系: 如果$a,b,c,d$是给定的复数, 那么对于每个值$z$, 可以对应于值$$w=\frac{az+b}{cz+d}\text{.}$$这种情况下, 我们所说的是一个线性函数. 在实域上, 一个函数$y=f(x)$的行为可以通过画图展现, 这里的画图指的是在$xy$-平面上画出以$y=f(x)$为方程的相应曲线. 在复域上, 则需要两个平面. 一个平面是$z$-平面, 我们画的是独立变量$z$的值.

第3部分 集合和序列; 幂级数

第4部分 解析函数和共形映射

第5部分 初等函数