分析学练习

这本书看上去内容符合我的期望, 我想我或许可以通过这本书学会分析.

这里不是对于本书的翻译, 只是一些笔记, 但是不排除我会翻译其中一些内容.

第1章度量空间

第1.1节介绍

第1.1.1小节基本定义和记号

评注1.2. 若是修改度量空间的定义, 允许互异的元素之间的距离为

0

, 那么我们就得到了伪度量空间, 或者说半度量空间, 此时的距离函数被称为伪度量, 半度量, 或者ecart (这应该是法语).

评注1.5. 注意到

{\hat{d}}_{X} (x, y) < 1

而且, 使用以上命题, 我们可以发现实序列的空间

X

在装备了距离

d_{X} (x, y) = \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{2^{k}} \frac{| x_{k} - y_{k} |}{1 + | x_{k} - y_{k} |}

之后就成为一个度量空间 (见例子1.3的b).

第1.1.2小节序列和完备度量空间

定义1.7. 令

(X, d_{X})

是一个度量空间,

{x_{n}}_{n \geq 1} \subseteq X

是一个序列.

我们称序列 ${x_{n}}_{n \geq 1} \subseteq X$ 收敛至 $x \in X$ 当且仅当对于任意的 $r > 0$ , 我们可以找到一个整数 $n_{0} = n_{0} (r) \geq 1$ 使得

第1.1.3小节度量空间的拓扑

第1.1.4小节 Baire定理

度量空间最重要的性质之一是完备性, 而许多分析学的基础结果都严重依赖于该性质. 完备性是藉由所谓的Baire纲定理而成为强大的工具的.

定义1.25. 令

(X, d_{X})

是一个度量空间. 集合

E \subseteq X

被称为是无处稠密的, 如果

int \overline{E} = \emptyset

. 集合

E \subseteq X

被称为是meager的, 或者第一纲的, 如果其可以被写成可数个无处稠密集合之并. 如果

E \subseteq X

不是第一纲集, 那么它就被称为是第二纲的.

第1.2节问题

证明. 给定Cauchy序列

{x_{n}}_{n \geq 1} \subseteq X

. 鉴于收敛序列的每个子序列都收敛, 所以我们只需要证明当

{x_{n}}_{n \geq 1}

具有一个收敛的子序列时, 其在

X

中收敛即可. 设这个收敛的子序列为

{x_{k_{n}}}_{n \geq 1}

, 其中

k

应该理解为一个从正整数集到正整数集的严格单调映射, 并且我们设其极限为

x \in X

. 对于

ε > 0

, 存在正整数

n_{1}

使得对于每个

m \geq n_{1}

, 都有

d_{X} (x_{k_{m}}, x) < ε / 2

. 另外, 根据Cauchy序列的定义, 对于相同的

ε

, 存在正整数

n_{2}

使得对于每个

l, m \geq n_{2}

, 都有

d_{X} (x_{l}, x_{m}) < ε / 2

. 置

n_{3} = \max (n_{1}, n_{2})

. 因为

n_{3} \geq n_{1}

, 所以

d_{X} (x_{k_{n_{3}}}, x) < ε / 2

. 并且, 我们还知道

k_{n_{3}} \geq k_{n_{2}} \geq n_{2}

. 因此, 对于每个

m \geq n_{2}

, 我们有

\begin{array}{rcl} d_{X} (x_{m}, x) & \leq & d_{X} (x_{m}, x_{k_{n_{3}}}) + d_{X} (x_{k_{n_{3}}}, x) \\ < & \frac{ε}{2} + \frac{ε}{2} \\ = & ε \end{array}

即

d_{X} (x_{m}, x) < ε

. 根据定义, 我们知道

{x_{n}}_{n \geq 1}

收敛并且极限为

x

, 这就完成了证明.

◻

第2章拓扑空间

第2.1节介绍

第2.1.1小节基本定义和记号

定义2.1. 一个拓扑空间是一个序对

(X, τ)

, 其中

X

是一个集合, 而

τ

是一个

X

的子集的族, 其元素被称为开集, 它们需要满足以下三个要求:

$\emptyset, X \in τ$ ;
$τ$ 在任意的并下封闭, 即 $如果 {U_{i}}_{i \in I} \subseteq τ, 那么 ⋃_{i \in I} U_{i} \in τ;$
$τ$ 在有限的交下封闭, 即

第2.1.2小节拓扑基和子基

定义2.19. 令

(X, τ)

是一个拓扑空间.

一个族 $B \subseteq τ$ 是 $τ$ 的一个基, 如果每个 $U \in τ$ 都是 $B$ 中的某些元素之并.
一个族 $Y \subseteq τ$ 是 $τ$ 的一个子基, 如果 $Y$ 中的集合的所有的有限的交 [注记: 包含空交, 即 $X$ ] 之集构成了 $τ$ 的一个基.

[注记: 子基的一个等价定义是,

Y

生成了

τ

, 即

τ

是包含

Y

的最小的拓扑.]

证明. 如果

B

是一个基, 那么对于

x \in X

和

U \in N (x)

, 存在

W \in τ

满足

x \in W

且

W \subseteq U

. 既然

W

是一个开集, 那么其可以表示为

B

的一些元素之并. 因此, 我们可以断言存在

V \in B

满足

x \in V

. 反过来, 如果我们对于每个

x \in X

和每个

U \in N (x)

都可以找到一个

V \in B

使得

x \in V \subseteq U

, 那么对于任意的

W \in τ

, 对于

W

的每个点

x

, 我们都可以找到一个

V (x) \in B

满足

x \in V (x)

且

V (x) \subseteq W

, 既然

W \in N (x)

. 我们考虑

⋃_{x \in W} V (x)

, 这个集合显然是

W

的子集, 并且既然

x \in V (x)

, 所以

W

也是该集合的子集. 换言之,

W = ⋃_{x \in W} V (x)

. 因为

W

是任意的开集, 所以这告诉我们

B

是

τ

的一个基.

◻

证明. 前者推出后者是2.20的一个推论. 对于后者推出前者, 基本上也可以按照2.20的证明方式推进, 即

U = ⋃_{x \in U} V (x)

, 其中

V (x)

是一个满足

V (x) \in B

且

x \in V (x) \subseteq U

的集合. 鉴于

B \subseteq τ

, 故

U

是开集无疑.

◻

注记: 取

B = τ

, 那么命题2.21即

U

是开集当且仅当

U

的每个点都是内部点 (interior point).

定义2.26. 令

(X, τ)

是一个拓扑空间.

令 $Y \subseteq τ$ . 我们称 $Y$ 是 $X$ 的一个开覆盖, 如果 $X = ⋃_{U \in Y} U$ . 如果子族 $Y^{'} \subseteq Y$ 也是一个覆盖, 那么其被称为 $Y$ 的子覆盖.
$X$ 被称为是一个Lindelöf空间, 如果 $X$ 的每个开覆盖都有一个可数子覆盖.

第2.1.3小节网

序列在度量空间的研究中非常有用, 但是对于不必是第一可数的一般拓扑空间而言, 我们对于序列的兴趣是相当有限的. 转而, 我们使用网, 这是对于序列的一般化. 在对于网的索引中, (序列所用的)正整数集被代之以更一般的概念, 即有向集合.

定义2.29.

一个集合 $I$ 上的一个关系 $\leq$ 是一个偏序, 如果它是自反的, 反对称的和传递的.
由一个集合 $I$ 和 $I$ 上的一个偏序 $\leq$ 构成的序对 $(I, \leq)$ 被称为是一个有向集合, 如果对于任意的 $x, y \in I$ , 我们可以找到一个 $z \in I$ 使得 $x \leq z$ 且 $y \leq z$ .

例子2.30.

如果 $I = ℕ$ 而 $\leq$ 是 $ℕ$ 上通常的序关系, 那么 $(ℕ, \leq)$ 是一个有向集合.
令 $X$ 是一个非空集合而 $I$ 是 $X$ 的有限子集构成的族, 令 $I$ 上的偏序关系 $\leq$ 定义为 $F_{1} \leq F_{2}$ (其中 $F_{1}, F_{2} \in I$ ) 当且仅当 $F_{1} \subseteq F_{2}$ , 那么 $(I, \leq)$ 是一个有向集合.
令 $(X, τ)$ 是一个拓扑空间, 令 $x \in X$ 而 $I = N (x)$ . 在 $I$ 上, 我们可以考虑定义序关系 $\leq$ 为 $U \leq V$ (其中 $U, V \in N (x)$ ) 当且仅当 $U \supseteq V$ (即反向的包含关系), 那么 $(N (x), \leq)$ 是一个有向集合.
令 $(I_{1}, \leq_{1})$ 和 $(I_{2}, \leq_{2})$ 是两个有向集合. 在 $I = I_{1} \times I_{2}$ 上我们可以考虑定义偏序关系 $\leq$ 为 $(x_{1}, x_{2}) \leq (u_{1}, u_{2})$ 当且仅当 $x_{1} \leq_{1} u_{1}$ 且 $x_{2} \leq_{2} u_{2}$ , 那么 $(I, \leq)$ 是一个有向集合.

定义2.31. 令

X

是任意的集合. 一个网

{x_{i}}_{i \in I} \subseteq X

是任意的函数

x : I \to X

, 其中

(I, \leq)

是一个有向集合. 特别地, 一个序列是一个网, 其定义在带有通常序关系的有向集合

ℕ

上.

分析学练习

第1章度量空间

第1.1节介绍

第1.1.1小节基本定义和记号

第1.1.2小节序列和完备度量空间

第1.1.3小节度量空间的拓扑

第1.1.4小节 Baire定理

第1.2节问题

第2章拓扑空间

第2.1节介绍

第2.1.1小节基本定义和记号

第2.1.2小节拓扑基和子基

第2.1.3小节网

第2.1.4小节连续和半连续函数

第2.2节问题

第3章测度, 积分和鞅

第4章测度和拓扑

第5章泛函分析

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第1章 度量空间

第1.1节 介绍

第1.1.1小节 基本定义和记号

第1.1.2小节 序列和完备度量空间

第1.1.3小节 度量空间的拓扑

第1.1.4小节 Baire定理

第1.2节 问题

第2章 拓扑空间

第2.1节 介绍

第2.1.1小节 基本定义和记号

第2.1.2小节 拓扑基和子基

第2.1.3小节 网

第2.1.4小节 连续和半连续函数

第2.2节 问题

第3章 测度, 积分和鞅

第4章 测度和拓扑

第5章 泛函分析

第1章度量空间

第1.1节介绍

第1.1.1小节基本定义和记号

第1.1.2小节序列和完备度量空间

第1.1.3小节度量空间的拓扑

第1.2节问题

第2章拓扑空间

第2.1节介绍

第2.1.1小节基本定义和记号

第2.1.2小节拓扑基和子基

第2.1.3小节网

第2.1.4小节连续和半连续函数

第2.2节问题

第3章测度, 积分和鞅

第4章测度和拓扑

第5章泛函分析