分析学练习

这是我阅读Exercises in Analysis (Part 1) 所做的笔记, 当然很大一部分其实是翻译.

第1章度量空间

第1.1节导论

第1.1.1小节基本定义和记号

例子1.3.

设 ${(X_{k}, d_{X_{k}})}_{k = 1}^{N}$ 是度量空间, 置 $X = \prod_{k = 1}^{N} X_{k}$ 且 ${\hat{d}}_{p} (x, y) = {(\sum_{k = 1}^{N} {d_{X_{k}} (x_{k}, y_{k})}^{p})}^{\frac{1}{p}}, \forall x, y \in X$ 而 ${\hat{d}}_{\infty} (x, y) = \max {d_{X_{k}} (x_{k}, y_{k}) | 1 \leq k \leq N}, \forall x, y \in X$ 其中 $1 \leq p < \infty$ , $x = {(x_{k})}_{k = 1}^{N}, y = {(y_{k})}_{k = 1}^{N} \in X$ . 那么, $(X, {\hat{d}}_{p})$ 和 $(X, {\hat{d}}_{\infty})$ 是度量空间. 以下是一个例子. 如果 $d_{ℝ} (x, y) = | x - y |, \forall x, y \in ℝ$ 那么 $d_{ℝ}$ 是 $ℝ$ 上的一个度量. 对于 $N \geq 1$ , 如果每个 $X_{k} = ℝ$ , 那么 ${\hat{d}}_{2}$ 是 $ℝ^{N}$ 上所谓的Euclid度量.

第1.1.2小节序列和完备度量空间

第1.1.3小节度量空间的拓扑

第1.1.4小节 Baire纲定理

度量空间最重要的性质之一是完备性, 而许多分析学的基础结果都严重依赖于该性质. 完备性是藉由所谓的Baire纲定理而成为强大的工具的.

定义1.25. 令

(X, d_{X})

是一个度量空间. 一个集合

E \subseteq X

被称为是无处稠密 (nowhere dense), 如果

int \overline{E} = \emptyset

. 一个集合

E \subseteq X

被称为是meager的或者第一纲的, 如果

E

可以被写成是可数无处稠密集合之并. 如果

E \subseteq X

不是第一纲的, 那么我们就称其为第二纲的.

定理1.26. (Baire纲定理)
如果

(X, d_{X})

是一个完备度量空间, 那么

可数多开稠密集之交在 $X$ 中仍然是稠密的;
如果 $X = ⋃_{n \geq 1} C_{n}$ , 其中 $C_{n} \subseteq X$ 是闭集, 那么至少存在一个 $n_{0} \geq 1$ 使得 $int C_{n_{0}} \neq \emptyset$ .

第1.1.5小节连续函数和一致连续函数

第1.1.6小节度量空间的完备化: 度量的等价

第1.1.7小节映射的逐点收敛和一致收敛

第1.1.8小节紧度量空间

第1.1.9小节单位分解

第1.1.10小节度量空间的积

第1.1.11小节辅助概念

第1.2节练习

证明. 从收敛推出存在收敛的子序列不需要证明, 那么对于另外一个方向, 我们假设Cauchy序列

{x_{n}}_{n \geq 1}

的一个子序列

{x_{n_{k}}}_{k \geq 1}

是收敛的, 现在需要证明

{x_{n}}_{n \geq 1}

也是收敛的. 当然, 这是显然的, 因为收敛子序列是一种控制手段, 迫使原本的Cauchy序列收敛. 既然

{x_{n_{k}}}_{k \geq 1}

收敛, 设其收敛于

a

, 那么对于任意的

ε > 0

, 存在一个正整数

m_{0}

使得对于每个

k \geq m_{0}

, 我们都有

d_{X} (x_{n_{k}}, a) < ε / 2

. 另外, 既然

{x_{n}}_{n \geq 1}

是一个Cauchy序列, 对于和之前相同的

ε

, 存在正整数

m_{1}

使得对于任意的

m, n \geq m_{1}

都有

d_{X} (x_{m}, x_{n}) < ε / 2

. 令

k_{0}

是大于等于

m_{0}

的诸正整数

k

中满足

n_{k} \geq m_{1}

的最小的那个, 那么对于每个

n \geq m_{1}

, 我们知道

d_{X} (x_{n}, a) \leq d_{X} (x_{n}, x_{n_{k_{0}}}) + d_{X} (x_{n_{k_{0}}}, a) < ε / 2 + ε / 2 = ε .

换言之,

{x_{n}}_{n \geq 1}

收敛且收敛至

a

. (必须要抱怨一句, 虽然题目很简单, 写起来我总觉得很费劲, 可能是因为我太垃圾了.)

◻

练习1.2. 设

(X, d_{X})

是一个度量空间而

{x_{n}}_{n \geq 1}

是

X

中的一个序列. 如果子序列

{x_{2 n}}_{n \geq 1}

{x_{2 n + 1}}_{n \geq 1}

{x_{3 n}}_{n \geq 1}

均收敛, 证明

{x_{n}}_{n \geq 1}

是一个收敛序列.

证明. 设

{x_{2 n}}_{n \geq 1}

收敛于

a

{x_{2 n + 1}}_{n \geq 1}

收敛于

b

. 我们只需要证明

a = b

即可推出

{x_{n}}_{n \geq 1}

收敛. 那么, 考虑

{x_{3 n}}_{n \geq 1}

的两个子序列, 一个是

{x_{3 (2 n)}}_{n \geq 1}

, 另一个是

{x_{3 (2 n + 1)}}_{n \geq 1}

. 我们发现前者也是

{x_{2 n}}_{n \geq 1}

的子序列, 所以收敛于

a

, 而后者也是

{x_{2 n + 1}}_{n \geq 1}

的子序列, 所以收敛于

b

. 然而, 既然

{x_{3 n}}_{n \geq 1}

是收敛的, 那么其子序列都应该收敛, 且收敛至相同的极限. 因此,

a = b

◻

练习1.3. 设

(X, d_{X})

是一个度量空间,

x \in X

而

{x_{n}}_{n \geq 1}

是

X

中一个序列, 如果其满足对于任意的子序列

{x_{n_{k}}}_{k \geq 1} \subseteq {x_{n}}_{n \geq 1}

, 我们都可以找到一个更深层次的子序列

{x_{n_{k_{l}}}}_{l \geq 1} \subseteq {x_{n_{k}}}_{k \geq 1}

使得

\lim_{l \to + \infty} x_{n_{k_{l}}} = x

, 那么

\lim_{n \to + \infty} x_{n} = x

. (我们称这个性质为收敛的Urysohn判则.)

练习1.4. 设

(X, d_{X})

是一个度量空间而

{x_{n}}_{n \geq 1}

是一个Cauchy序列, 证明我们可以找到

{x_{n}}_{n \geq 1}

的一个子序列

{x_{n_{k}}}_{k \geq 1}

使得

d_{X} (x_{n_{k}}, x_{n_{m}}) \leq \frac{1}{2^{k}}, \forall k, m \geq 1, k \leq m .

第1.3节解答

第2章拓扑空间

第2.1节导论

定义2.4. 令

(X, τ)

是一个拓扑空间.

$X$ 是一个 $T_{0}$ 空间, 或者说Kolmogorov空间, 如果对于不同的点 $x, y \in X$ , 我们可以找到一个 $U \in τ$ 满足 $x \in U, y \notin U$ 或者 $x \notin U, y \in U$ . [注记: 原文有误.]
$X$ 是一个 $T_{1}$ 空间, 或者说Hausdorff空间, 或者说分离空间, 如果对于不同的点 $x, y \in X$ , 我们可以找到 $U, V \in τ$ 满足 $x \in U, y \notin U$ 且 $x \notin V, y \in V$ .
$X$ 是一个 $T_{2}$ 空间, 如果对于不同的点 $x, y \in X$ , 我们可以找到 $U, V \in τ$ 满足 $x \in U, y \in V$ 且 $U \cap V = \emptyset$ .
$X$ 是一个 $T_{3}$ 空间, 或者说正则空间, 或者说Vietoris空间, 如果对于每个 $x \in X$ 和每个闭集 $C \subseteq X$ , 我们可以找到 $U, V \in τ$ 满足 $x \in U, C \subseteq V$ 且 $U \cap V = \emptyset$ .
$X$ 是一个 $T_{4}$ 空间, 或者说正规空间, 或者说Tietze空间, 如果对于不相交的闭集 $C, D \subseteq X$ , 我们可以找到 $U, V \in τ$ 满足 $C \subseteq U, D \subseteq V$ 且 $U \cap V = \emptyset$ .

分析学练习

第1章 度量空间

第1.1节 导论

第1.1.1小节 基本定义和记号

第1.1.2小节 序列和完备度量空间

第1.1.3小节 度量空间的拓扑

第1.1.4小节 Baire纲定理

第1.1.5小节 连续函数和一致连续函数

第1.1.6小节 度量空间的完备化: 度量的等价

第1.1.7小节 映射的逐点收敛和一致收敛

第1.1.8小节 紧度量空间

第1.1.9小节 单位分解

第1.1.10小节 度量空间的积

第1.1.11小节 辅助概念

第1.2节 练习

第1.3节 解答

第2章 拓扑空间

第2.1节 导论

第2.1.1小节 基本定义和记号

第2.1.2小节 拓扑基和子基

第2.1.3小节 网

第2.1.4小节 连续函数和半连续函数

第2.1.5小节 开映射和闭映射: 同胚

第2.1.6小节 弱拓扑和强拓扑 (或者说始拓扑和终拓扑)

第2.1.7小节 紧拓扑空间

第2.1.8小节 连通性

第2.1.9小节 Urysohn延拓定理和Tietze延拓定理

第2.1.10小节 仿紧空间和Baire空间

第2.1.11小节 波兰集合和Suslin集合

第2.1.12小节 Michael选择定理

第2.1.13小节 C⁡(X;Y)空间

第2.1.14小节 代数拓扑基础I: 同伦

第2.1.15小节 代数拓扑基础II: 同调

第2.2节 练习

第2.3节 解答

第3章 测度, 积分, 鞅

第3.1节 导论

第3.1.1小节 基本定义和记号

第3.1.2小节 测度和外测度

第3.1.3小节 Lebesgue测度

第3.1.4小节 原子测度和非原子测度

第3.1.5小节 积测度

第3.1.6小节 Lebesgue-Stieltjes测度

第3.1.7小节 可测函数

第3.1.8小节 Lebesgue积分

第3.1.9小节 收敛定理

第3.1.10小节 Lp空间

第3.1.11小节 多重积分: 换元法

第3.1.12小节 一致可积: Modes of Convergence

第3.1.13小节 带符号的测度

第3.1.14小节 Radon-Nikodym定理

第3.1.15小节 极大函数和Lyapunov凸定理

第3.1.16小节 条件期望和鞅

第3.2节 练习

第3.3节 解答

第4章 测度和拓扑

第4.1节 导论

第4.1.1小节 Borel σ代数和Baire σ代数

第4.1.2小节 正则测度和Radon测度

第4.1.3小节 连续函数的Riesz表示定理

第4.1.4小节 概率测度的空间: Prohorov定理

第4.1.5小节 波兰空间, Suslin空间, Borel空间

第4.1.6小节 可测多值函数: 选择定理

第4.1.7小节 投影定理

第4.1.8小节 对于1≤p≤∞的Lp⁡(Ω)的对偶

第4.1.9小节 测度的序列: Lp⁡(Ω)中的弱收敛

第4.1.10小节 覆盖定理

第4.1.11小节 Lebesgue微分定理

第4.2节 练习

第4.3节 解答

第5章 泛函分析

第5.1节 导论

第5.2节 练习

第5.3节 解答

第1章度量空间

第1.1节导论

第1.1.1小节基本定义和记号

第1.1.2小节序列和完备度量空间

第1.1.3小节度量空间的拓扑

第1.1.5小节连续函数和一致连续函数

第1.1.6小节度量空间的完备化: 度量的等价

第1.1.7小节映射的逐点收敛和一致收敛

第1.1.8小节紧度量空间

第1.1.9小节单位分解

第1.1.10小节度量空间的积

第1.1.11小节辅助概念

第1.2节练习

第1.3节解答

第2章拓扑空间

第2.1节导论

第2.1.1小节基本定义和记号

第2.1.2小节拓扑基和子基

第2.1.3小节网

第2.1.4小节连续函数和半连续函数

第2.1.5小节开映射和闭映射: 同胚

第2.1.6小节弱拓扑和强拓扑 (或者说始拓扑和终拓扑)

第2.1.7小节紧拓扑空间

第2.1.8小节连通性

第2.1.10小节仿紧空间和Baire空间

第2.1.11小节波兰集合和Suslin集合

第2.1.13小节 $C (X; Y)$ 空间

第2.1.14小节代数拓扑基础I: 同伦

第2.1.15小节代数拓扑基础II: 同调

第2.2节练习

第2.3节解答

第3章测度, 积分, 鞅

第3.1节导论

第3.1.1小节基本定义和记号

第3.1.2小节测度和外测度

第3.1.4小节原子测度和非原子测度

第3.1.5小节积测度

第3.1.7小节可测函数

第3.1.9小节收敛定理

第3.1.10小节 $L^{p}$ 空间

第3.1.11小节多重积分: 换元法

第3.1.12小节一致可积: Modes of Convergence

第3.1.13小节带符号的测度

第3.1.15小节极大函数和Lyapunov凸定理

第3.1.16小节条件期望和鞅

第3.2节练习

第3.3节解答

第4章测度和拓扑

第4.1节导论

第4.1.1小节 Borel $σ$ 代数和Baire $σ$ 代数

第4.1.2小节正则测度和Radon测度

第4.1.3小节连续函数的Riesz表示定理

第4.1.4小节概率测度的空间: Prohorov定理

第4.1.5小节波兰空间, Suslin空间, Borel空间

第4.1.6小节可测多值函数: 选择定理

第4.1.7小节投影定理

第4.1.8小节对于 $1 \leq p \leq \infty$ 的 $L^{p} (Ω)$ 的对偶

第4.1.9小节测度的序列: $L^{p} (Ω)$ 中的弱收敛

第4.1.10小节覆盖定理

第4.2节练习

第4.3节解答

第5章泛函分析

第5.1节导论

第5.2节练习

第5.3节解答