分析学练习

这是我阅读Exercises in Analysis (Part 1) 所做的笔记, 当然很大一部分其实是翻译.

第1章度量空间

第1.1节导论

第1.1.1小节基本定义和记号

定义1.1. 度量空间的定义而已, 略去.

评注1.2. 若是修改度量空间的定义, 允许互异的元素之间的距离为零, 那么我们就得到了伪度量空间, 或者说半度量空间, 此时的距离函数被称为伪度量, 半度量, 或者ecart.

例子1.3.

设 ${(X_{k}, d_{X_{k}})}_{k = 1}^{N}$ 是度量空间, 置 $X = \prod_{k = 1}^{N} X_{k}$ 且 ${\hat{d}}_{p} (x, y) = {(\sum_{k = 1}^{N} {d_{X_{k}} (x_{k}, y_{k})}^{p})}^{\frac{1}{p}}, \forall x, y \in X$ 而 ${\hat{d}}_{\infty} (x, y) = \max {d_{X_{k}} (x_{k}, y_{k}) | 1 \leq k \leq N}, \forall x, y \in X$ 其中 $1 \leq p < \infty$ , $x = {(x_{k})}_{k = 1}^{N}, y = {(y_{k})}_{k = 1}^{N} \in X$ . 那么, $(X, {\hat{d}}_{p})$ 和 $(X, {\hat{d}}_{\infty})$ 是度量空间. 以下是一个例子. 如果 $d_{ℝ} (x, y) = | x - y |, \forall x, y \in ℝ$ 那么 $d_{ℝ}$ 是 $ℝ$ 上的一个度量. 对于 $N \geq 1$ , 如果每个 $X_{k} = ℝ$ , 那么 ${\hat{d}}_{2}$ 是 $ℝ^{N}$ 上所谓的Euclid度量.

第1.1.2小节序列和完备度量空间

第1.1.3小节度量空间的拓扑

第1.1.4小节 Baire纲定理

度量空间最重要的性质之一是完备性, 而许多分析学的基础结果都严重依赖于该性质. 完备性是藉由所谓的Baire纲定理而成为强大的工具的.

第1.1.5小节连续函数和一致连续函数

第1.1.6小节度量空间的完备化: 度量的等价

第1.1.7小节映射的逐点收敛和一致收敛

第1.1.8小节紧度量空间

第1.1.9小节单位分解

第1.1.10小节度量空间的积

第1.1.11小节辅助概念

第1.2节练习

第1.3节解答

第2章拓扑空间

第2.1节导论

定义2.1. 拓扑空间的定义.

定义2.4. 令

(X, τ)

是一个拓扑空间.

$X$ 是一个 $T_{0}$ 空间, 或者说Kolmogorov空间, 如果对于不同的点 $x, y \in X$ , 我们可以找到一个 $U \in τ$ 满足 $x \in U, y \notin U$ 或者 $x \notin U, y \in U$ . [注记: 原文有误.]
$X$ 是一个 $T_{1}$ 空间, 或者说Hausdorff空间, 或者说分离空间, 如果对于不同的点 $x, y \in X$ , 我们可以找到 $U, V \in τ$ 满足 $x \in U, y \notin U$ 且 $x \notin V, y \in V$ .
$X$ 是一个 $T_{2}$ 空间, 如果对于不同的点 $x, y \in X$ , 我们可以找到 $U, V \in τ$ 满足 $x \in U, y \in V$ 且 $U \cap V = \emptyset$ .
$X$ 是一个 $T_{3}$ 空间, 或者说正则空间, 或者说Vietoris空间, 如果对于每个 $x \in X$ 和每个闭集 $C \subseteq X$ , 我们可以找到 $U, V \in τ$ 满足 $x \in U, C \subseteq V$ 且 $U \cap V = \emptyset$ .
$X$ 是一个 $T_{4}$ 空间, 或者说正规空间, 或者说Tietze空间, 如果对于不相交的闭集 $C, D \subseteq X$ , 我们可以找到 $U, V \in τ$ 满足 $C \subseteq U, D \subseteq V$ 且 $U \cap V = \emptyset$ .

分析学练习

第1章 度量空间

第1.1节 导论

第1.1.1小节 基本定义和记号

第1.1.2小节 序列和完备度量空间

第1.1.3小节 度量空间的拓扑

第1.1.4小节 Baire纲定理

第1.1.5小节 连续函数和一致连续函数

第1.1.6小节 度量空间的完备化: 度量的等价

第1.1.7小节 映射的逐点收敛和一致收敛

第1.1.8小节 紧度量空间

第1.1.9小节 单位分解

第1.1.10小节 度量空间的积

第1.1.11小节 辅助概念

第1.2节 练习

第1.3节 解答

第2章 拓扑空间

第2.1节 导论

第2.1.1小节 基本定义和记号

第2.1.2小节 拓扑基和子基

第2.1.3小节 网

第2.1.4小节 连续函数和半连续函数

第2.1.5小节 开映射和闭映射: 同胚

第2.1.6小节 弱拓扑和强拓扑 (或者说始拓扑和终拓扑)

第2.1.7小节 紧拓扑空间

第2.1.8小节 连通性

第2.1.9小节 Urysohn延拓定理和Tietze延拓定理

第2.1.10小节 仿紧空间和Baire空间

第2.1.11小节 波兰集合和Suslin集合

第2.1.12小节 Michael选择定理

第2.1.13小节 C⁡(X;Y)空间

第2.1.14小节 代数拓扑基础I: 同伦

第2.1.15小节 代数拓扑基础II: 同调

第2.2节 练习

第2.3节 解答

第3章 测度, 积分, 鞅

第3.1节 导论

第3.1.1小节 基本定义和记号

第3.1.2小节 测度和外测度

第3.1.3小节 Lebesgue测度

第3.1.4小节 原子测度和非原子测度

第3.1.5小节 积测度

第3.1.6小节 Lebesgue-Stieltjes测度

第3.1.7小节 可测函数

第3.1.8小节 Lebesgue积分

第3.1.9小节 收敛定理

第3.1.10小节 Lp空间

第3.1.11小节 多重积分: 换元法

第3.1.12小节 一致可积: Modes of Convergence

第3.1.13小节 带符号的测度

第3.1.14小节 Radon-Nikodym定理

第3.1.15小节 极大函数和Lyapunov凸定理

第3.1.16小节 条件期望和鞅

第3.2节 练习

第3.3节 解答

第4章 测度和拓扑

第4.1节 导论

第4.1.1小节 Borel σ代数和Baire σ代数

第4.1.2小节 正则测度和Radon测度

第4.1.3小节 连续函数的Riesz表示定理

第4.1.4小节 概率测度的空间: Prohorov定理

第4.1.5小节 波兰空间, Suslin空间, Borel空间

第4.1.6小节 可测多值函数: 选择定理

第4.1.7小节 投影定理

第4.1.8小节 对于1≤p≤∞的Lp⁡(Ω)的对偶

第4.1.9小节 测度的序列: Lp⁡(Ω)中的弱收敛

第4.1.10小节 覆盖定理

第4.1.11小节 Lebesgue微分定理

第4.2节 练习

第4.3节 解答

第5章 泛函分析

第5.1节 导论

第5.2节 练习

第5.3节 解答

第1章度量空间

第1.1节导论

第1.1.1小节基本定义和记号

第1.1.2小节序列和完备度量空间

第1.1.3小节度量空间的拓扑

第1.1.5小节连续函数和一致连续函数

第1.1.6小节度量空间的完备化: 度量的等价

第1.1.7小节映射的逐点收敛和一致收敛

第1.1.8小节紧度量空间

第1.1.9小节单位分解

第1.1.10小节度量空间的积

第1.1.11小节辅助概念

第1.2节练习

第1.3节解答

第2章拓扑空间

第2.1节导论

第2.1.1小节基本定义和记号

第2.1.2小节拓扑基和子基

第2.1.3小节网

第2.1.4小节连续函数和半连续函数

第2.1.5小节开映射和闭映射: 同胚

第2.1.6小节弱拓扑和强拓扑 (或者说始拓扑和终拓扑)

第2.1.7小节紧拓扑空间

第2.1.8小节连通性

第2.1.10小节仿紧空间和Baire空间

第2.1.11小节波兰集合和Suslin集合

第2.1.13小节 $C (X; Y)$ 空间

第2.1.14小节代数拓扑基础I: 同伦

第2.1.15小节代数拓扑基础II: 同调

第2.2节练习

第2.3节解答

第3章测度, 积分, 鞅

第3.1节导论

第3.1.1小节基本定义和记号

第3.1.2小节测度和外测度

第3.1.4小节原子测度和非原子测度

第3.1.5小节积测度

第3.1.7小节可测函数

第3.1.9小节收敛定理

第3.1.10小节 $L^{p}$ 空间

第3.1.11小节多重积分: 换元法

第3.1.12小节一致可积: Modes of Convergence

第3.1.13小节带符号的测度

第3.1.15小节极大函数和Lyapunov凸定理

第3.1.16小节条件期望和鞅

第3.2节练习

第3.3节解答

第4章测度和拓扑

第4.1节导论

第4.1.1小节 Borel $σ$ 代数和Baire $σ$ 代数

第4.1.2小节正则测度和Radon测度

第4.1.3小节连续函数的Riesz表示定理

第4.1.4小节概率测度的空间: Prohorov定理

第4.1.5小节波兰空间, Suslin空间, Borel空间

第4.1.6小节可测多值函数: 选择定理

第4.1.7小节投影定理

第4.1.8小节对于 $1 \leq p \leq \infty$ 的 $L^{p} (Ω)$ 的对偶

第4.1.9小节测度的序列: $L^{p} (Ω)$ 中的弱收敛

第4.1.10小节覆盖定理

第4.2节练习

第4.3节解答

第5章泛函分析

第5.1节导论

第5.2节练习

第5.3节解答