分析学练习

这本书看上去内容符合我的期望, 我想我或许可以通过这本书学会分析.

这里不是对于本书的翻译, 只是一些笔记, 但是不排除我会翻译其中一些内容.

第1章度量空间

第1.1节引论

第1.1.1小节基本定义和记号

唉, 又是标号狂魔.

定义1.1. 度量空间的定义而已, 没必要写了.

评注1.2. 若是修改度量空间的定义, 允许互异的元素之间的距离为

0

, 那么我们就得到了伪度量空间, 或者说半度量空间, 此时的距离函数被称为伪度量, 半度量, 或者ecart (这应该是法语).

例子1.3. 举了不少不那么平凡的例子, 之后再抄吧.

命题1.4. 如果

(X, d_{X})

是一个度量空间, 并且

{\hat{d}}_{X} (x, y) = \frac{d_{X} (x, y)}{1 + d_{X} (x, y)}

那么

(X, {\hat{d}}_{X})

也是一个度量空间.

评注1.5. 注意到

{\hat{d}}_{X} (x, y) < 1

而且, 使用以上命题, 我们可以发现实序列的空间

X

在装备了距离

d_{X} (x, y) = \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{2^{k}} \frac{| x_{k} - y_{k} |}{1 + | x_{k} - y_{k} |}

之后就成为一个度量空间 (见例子1.3的b).

定义1.6. 唉, 又是一些基本概念的定义.

第1.1.2小节序列和完备度量空间

定义1.7. 令

(X, d_{X})

是一个度量空间,

{x_{n}}_{n \geq 1} \subseteq X

是一个序列.

我们称序列 ${x_{n}}_{n \geq 1} \subseteq X$ 收敛至 $x \in X$ 当且仅当对于任意的 $r > 0$ , 我们可以找到一个整数 $n_{0} = n_{0} (r) \geq 1$ 使得

第1.1.3小节度量空间的拓扑

第1.1.4小节 Baire定理

度量空间最重要的性质之一是完备性, 而许多分析学的基础结果都严重依赖于该性质. 完备性是藉由所谓的Baire纲定理而成为强大的工具的.

定义1.25. 令

(X, d_{X})

是一个度量空间. 集合

E \subseteq X

被称为是无处稠密的, 如果

int \overline{E} = \emptyset

. 集合

E \subseteq X

被称为是meager的, 或者第一纲的, 如果其可以被写成可数个无处稠密集合之并. 如果

E \subseteq X

分析学练习

第1章度量空间

第1.1节引论

第1.1.1小节基本定义和记号

第1.1.2小节序列和完备度量空间

第1.1.3小节度量空间的拓扑

第1.1.4小节 Baire定理

第2章拓扑空间

第3章测度, 积分和鞅

第4章测度和拓扑

第5章泛函分析

分析学练习

第1章 度量空间

第1.1节 引论

第1.1.1小节 基本定义和记号

第1.1.2小节 序列和完备度量空间

第1.1.3小节 度量空间的拓扑

第1.1.4小节 Baire定理

第2章 拓扑空间

第3章 测度, 积分和鞅

第4章 测度和拓扑

第5章 泛函分析

第1章度量空间

第1.1节引论

第1.1.1小节基本定义和记号

第1.1.2小节序列和完备度量空间

第1.1.3小节度量空间的拓扑

第2章拓扑空间

第3章测度, 积分和鞅

第4章测度和拓扑

第5章泛函分析