分析学练习

这是我阅读Exercises in Analysis (Part 1) 所做的笔记, 当然很大一部分其实是翻译.

第1章 度量空间

第1.1节 导论

第1.1.1小节 基本定义和记号

定义1.1. 度量空间的定义而已, 略去.
评注1.2. 若是修改度量空间的定义, 允许互异的元素之间的距离为零, 那么我们就得到了伪度量空间, 或者说半度量空间, 此时的距离函数被称为伪度量, 半度量, 或者ecart.
例子1.3.
  1. {(Xk,dXk)}k=1N是度量空间, 置X=k=1NXkd^p(x,y)=(k=1NdXk(xk,yk)p)1p,x,yXd^(x,y)=max{dXk(xk,yk)|1kN},x,yX其中1p<, x=(xk)k=1N,y=(yk)k=1NX. 那么, (X,d^p)(X,d^)是度量空间. 以下是一个例子. 如果d(x,y)=|xy|,x,y那么d上的一个度量. 对于N1, 如果每个Xk=, 那么d^2N上所谓的Euclid度量.
命题1.4.
评注1.5.
定义1.6.

第1.1.2小节 序列和完备度量空间

定义1.7.

第1.1.3小节 度量空间的拓扑

定义1.8.
命题1.9.
命题1.10.
命题1.11.
定义1.12.
定义1.13.
定理1.14.
命题1.15.
定义1.16.
评注1.17.
命题1.18.
推论1.19.
定义1.20.
定义1.21.
命题1.22.
评注1.23.
命题1.24.

第1.1.4小节 Baire纲定理

度量空间最重要的性质之一是完备性, 而许多分析学的基础结果都严重依赖于该性质. 完备性是藉由所谓的Baire纲定理而成为强大的工具的.

定义1.25. (X,dX)是一个度量空间. 一个集合EX被称为是无处稠密 (nowhere dense), 如果intE=. 一个集合EX被称为是meager的或者第一纲的, 如果E可以被写成是可数无处稠密集合之并. 如果EX不是第一纲的, 那么我们就称其为第二纲的.
定理1.26. (Baire纲定理)
如果(X,dX)是一个完备度量空间, 那么
  1. 可数多开稠密集之交在X中仍然是稠密的;
  2. 如果X=n1Cn, 其中CnX是闭集, 那么至少存在一个n01使得intCn0.
证明.
推论1.27.
  1. 一个完备度量空间是第二纲的.
  2. 在一个完备度量空间之中, 一个meager集合具有空的内部, 即其补在X中稠密.
定理1.28. (Cantor交定理)
如果(X,dX)是一个度量空间, 那么以下陈述是等价的:

第1.1.5小节 连续函数和一致连续函数

第1.1.6小节 度量空间的完备化: 度量的等价

第1.1.7小节 映射的逐点收敛和一致收敛

第1.1.8小节 紧度量空间

第1.1.9小节 单位分解

第1.1.10小节 度量空间的积

第1.1.11小节 辅助概念

第1.2节 练习

练习1.1. (X,dX)是一个度量空间. 证明X中的一个Cauchy序列收敛当且仅当其有一个收敛的子序列.
证明. 从收敛推出存在收敛的子序列不需要证明, 那么对于另外一个方向, 我们假设Cauchy序列{xn}n1的一个子序列{xnk}k1是收敛的, 现在需要证明{xn}n1也是收敛的. 当然, 这是显然的, 因为收敛子序列是一种控制手段, 迫使原本的Cauchy序列收敛. 既然{xnk}k1收敛, 设其收敛于a, 那么对于任意的ε>0, 存在一个正整数m0使得对于每个km0, 我们都有dX(xnk,a)<ε/2. 另外, 既然{xn}n1是一个Cauchy序列, 对于和之前相同的ε, 存在正整数m1使得对于任意的m,nm1都有dX(xm,xn)<ε/2. 令k0是大于等于m0的诸正整数k中满足nkm1的最小的那个, 那么对于每个nnk0, 我们知道dX(xn,a)dX(xn,xnk0)+dX(xnk0,a)<ε/2+ε/2=ε.换言之, {xn}n1收敛且收敛至a. (必须要抱怨一句, 虽然题目很简单, 写起来我总觉得很费劲, 可能是因为我太垃圾了.)
练习1.2. (X,dX)是一个度量空间而{xn}n1X中的一个序列. 如果子序列{x2n}n1, {x2n+1}n1, {x3n}n1均收敛, 证明{xn}n1是一个收敛序列.
证明.{x2n}n1收敛于a, {x2n+1}n1收敛于b. 我们只需要证明a=b即可推出{xn}n1收敛. 那么, 考虑{x3n}n1的两个子序列, 一个是{x3(2n)}n1, 另一个是{x3(2n+1)}n1. 我们发现前者也是{x2n}n1的子序列, 所以收敛于a, 而后者也是{x2n+1}n1的子序列, 所以收敛于b. 然而, 既然{x3n}n1是收敛的, 那么其子序列都应该收敛, 且收敛至相同的极限. 因此, a=b.
练习1.3. (X,dX)是一个度量空间, xX{xn}n1X中一个序列, 如果其满足对于任意的子序列{xnk}k1{xn}n1, 我们都可以找到一个更深层次的子序列{xnkl}l1{xnk}k1使得liml+xnkl=x, 那么limn+xn=x. (我们称这个性质为收敛的Urysohn判则.)
证明.
练习1.4. (X,dX)是一个度量空间而{xn}n1是一个Cauchy序列, 证明我们可以找到{xn}n1的一个子序列{xnk}k1使得dX(xnk,xnm)12k,k,m1,km.
练习1.5. (X,dX)是一个度量空间,

第1.3节 解答

第2章 拓扑空间

第2.1节 导论

定义2.1. 拓扑空间的定义.
评注2.2.
定义2.3.
定义2.4. (X,τ)是一个拓扑空间.
  1. X是一个T0空间, 或者说Kolmogorov空间, 如果对于不同的点x,yX, 我们可以找到一个Uτ满足xU,yU或者xU,yU. [注记: 原文有误.]
  2. X是一个T1空间, 或者说Hausdorff空间, 或者说分离空间, 如果对于不同的点x,yX, 我们可以找到U,Vτ满足xU,yUxV,yV.
  3. X是一个T2空间, 如果对于不同的点x,yX, 我们可以找到U,Vτ满足xU,yVUV=.
  4. X是一个T3空间, 或者说正则空间, 或者说Vietoris空间, 如果对于每个xX和每个闭集CX, 我们可以找到U,Vτ满足xU,CVUV=.
  5. X是一个T4空间, 或者说正规空间, 或者说Tietze空间, 如果对于不相交的闭集C,DX, 我们可以找到U,Vτ满足CU,DVUV=.
评注2.5.
评注2.6.
定义2.7.

第2.1.1小节 基本定义和记号

第2.1.2小节 拓扑基和子基

第2.1.3小节 网

第2.1.4小节 连续函数和半连续函数

第2.1.5小节 开映射和闭映射: 同胚

第2.1.6小节 弱拓扑和强拓扑 (或者说始拓扑和终拓扑)

第2.1.7小节 紧拓扑空间

第2.1.8小节 连通性

第2.1.9小节 Urysohn延拓定理和Tietze延拓定理

第2.1.10小节 仿紧空间和Baire空间

第2.1.11小节 波兰集合和Suslin集合

第2.1.12小节 Michael选择定理

第2.1.13小节 C(X;Y)空间

第2.1.14小节 代数拓扑基础I: 同伦

第2.1.15小节 代数拓扑基础II: 同调

第2.2节 练习

第2.3节 解答

第3章 测度, 积分, 鞅

第3.1节 导论

第3.1.1小节 基本定义和记号

第3.1.2小节 测度和外测度

第3.1.3小节 Lebesgue测度

第3.1.4小节 原子测度和非原子测度

第3.1.5小节 积测度

第3.1.6小节 Lebesgue-Stieltjes测度

第3.1.7小节 可测函数

第3.1.8小节 Lebesgue积分

第3.1.9小节 收敛定理

第3.1.10小节 Lp空间

第3.1.11小节 多重积分: 换元法

第3.1.12小节 一致可积: Modes of Convergence

第3.1.13小节 带符号的测度

第3.1.14小节 Radon-Nikodym定理

第3.1.15小节 极大函数和Lyapunov凸定理

第3.1.16小节 条件期望和鞅

第3.2节 练习

第3.3节 解答

第4章 测度和拓扑

第4.1节 导论

第4.1.1小节 Borel σ代数和Baire σ代数

第4.1.2小节 正则测度和Radon测度

第4.1.3小节 连续函数的Riesz表示定理

第4.1.4小节 概率测度的空间: Prohorov定理

第4.1.5小节 波兰空间, Suslin空间, Borel空间

第4.1.6小节 可测多值函数: 选择定理

第4.1.7小节 投影定理

第4.1.8小节 对于1pLp(Ω)的对偶

第4.1.9小节 测度的序列: Lp(Ω)中的弱收敛

第4.1.10小节 覆盖定理

第4.1.11小节 Lebesgue微分定理

第4.2节 练习

第4.3节 解答

第5章 泛函分析

第5.1节 导论

第5.2节 练习

第5.3节 解答