学习物理是困难的. 一部分问题在于物理以数学语言自然地表达. 当我们进行教学的时候, 我们使用数学语言的方式和我们使用自然语言的方式是相同的. 我们依赖于大量的共享知识和文化, 并且我们仅仅是以数学习语勾勒出想法. 我们没有做到足够精确以向不懂我们文化的人传达想法. 我们的问题在于, 因为我们共享着一种文化, 所以我们很难发现我们所说的话是非常不精确的, 以至于初来乍到的学生无法清晰地理解这些话语. 学生必须同时学习数学语言以及以这样的语言表达的内容. 这就像还在挣扎于法语的语法时就试图阅读悲惨世界(Les Misérables).
本书是改善教授微分几何时遇到的问题的尝试, 微分几何是深刻理解广义相对论或者量子场论的必要基础. 我们的方法在以下几个方面不同于传统的教学方式.
微分几何是一种可以用来表达物理概念的数学语言. 在这个引入部分里, 我们展示了这种语言的典型用法. Do not panic! 在这个阶段, 我们并不期望你能理解我们所展示的东西的细节. 一切都将在本书的后文中按照需要进行解释. 本章的目的在于熟悉这个材料的风味.
在北极于冰上刻出一条垂直于Greenwich子午线的直线. 拿着一根平行于该线的棍子, 沿着Greenewich子午线往下走, 走的时候保持这根棍子平行于自身. (用语平行于自身
是说, 当你走的时候, 保持棍子的朝向不变. 棍子将会与东西方向吻合, 垂直于你旅行的方向.) 当你走到赤道时, 棍子将会平行于赤道. 向东转, 沿着赤道走, 保持棍子平行于赤道. 继续走下去, 直至到达东经90度线. 当你到达东经90度线时, 向北转, 走回北极并保持棍子垂直于你旅行的方向. 当你到达极点时, 注意到棍子将垂直于你在冰上所刻的线. 但是, 出发时棍子平行于该线, 并且在旅途中你保持着棍子指向相同的方向——棍子的朝向是怎么改变的呢?
答案是, 你在曲面上走了一个封闭的圈.
流形(manifold)是我们对于嵌入Euclid空间的光滑曲面的概念的泛化. 对于一个维流形, 每个点的周围都存在着一个简单连通的开集, 即坐标补丁(coordinate patch), 以及一个单射的连续函数, 即坐标函数(coordinate function)或者说坐标卡(chart), 其将这个开集的每个点都映射至一个由个实数构成的元组, 即坐标(coordinate). 一般而言, 可能需要数个坐标卡以标记一个流形上的所有点.