几何代数

第1章 预备概念

第1.1节 集合论的概念

我们从一列习用符号开始:$$\begin{array}{cc}a\in S\hfill & \text{意味着}a\text{是集合}S\text{的一个元素.}\hfill \\ S\subset T\hfill & \text{意味着}S\text{是}T\text{的一个子集.}\hfill \\ S\cap T\hfill & \text{的意思是集合}S\text{和}T\text{的交集; 如果其为空, 我们则称它们不相交.}\hfill \\ S\cup T\hfill & \text{代表}S\text{和}T\text{的并集.}\hfill \end{array}$$

$\bigcap _i{S}_i$和$\bigcup _i{S}_i$代表一族被索引集合的交集和并集. 若$i\ne j$时有$S_i\ne S_j$, 则称$\bigcup _i{S}_i$为无交并. 集合有时用符号$\{\cdots \}$定义, 其中元素在括号间被枚举出来. 或者, 通过符号$\{x|A\}$, 其中$A$是关于$x$的性质. 这个符号应该读作"所有具有性质$A$的$x$的集合". 因此, 例如$$S\cap T=\{x|x\in S,x\in T\}$$

若$f$是从一非空集合$S$到集合$T$的映射, 即一对于所有元素$s\in S$有定义的函数$f(s)$, 其值在$T$之中, 那么我们记成$$f:S\to T\text{或}S\stackrel{f}{\to }T$$

若有$S\stackrel{f}{\to }T$和$T\stackrel{g}{\to }U$, 那么我们也写成$S\stackrel{f}{\to }T\stackrel{g}{\to }U$. 如果$s\in S$, 那么我们可以构造$g(f(s))\in U$, 因此得到了一个从$S$到$U$的映射, 用$S\stackrel{gf}{\to }U$表示. 注意到对于这些映射的"积", 结合律平凡地成立. 两个因子$gf$的顺序来源于元素的像的记号$f(s)$. 若我们写作$(s)f$而不是$f(s)$, 那么记成$fg$而不是$gf$可能更加自然. 尽管我们仍然将坚持使用记号$f(s)$ (很少有例外), 读者也应该能够以相反的记号处理一切. 有时写成$s^f$而不是$f(s)$甚至更加方便, 我们应该注意到在此记号之下有${(s^f)}^g=s^{gf}$.

如果有$S\stackrel{f}{\to }T$和$S_0\subset S$, 那么$S_0$所有元素的像的集合记作$f(S_0)$, 其被称为$S_0$的像. 当然可以对于$S$这样做, 那么有$f(S)\subset T$. 若$f(S)=T$, 则称该映射为映上的 (onto), 并称$f$将$S$映上至$T$. [译注: 这是英文的传统表达, 现多使用Bourbaki的术语, 称$f$为满射的 (surjective).]

令$T_0$是$T$的一个子集. 所有满足$f(s)\in T_0$的$s\in S$构成的集合被称为$T_0$的逆像, 用$f^{-1}(T_0)$表示. 注意到即便在$T_0$不为空的情况下$f^{-1}(T_0)$当然也有可能是空集, 也要记住$f^{-1}$不是一个映射. 对于一个特定的$t\in T$, 记号$f^{-1}(t)$的意思是仅包含一个元素$t$的集合$\{t\}$的逆像. $f^{-1}(t)$从不包含多于一个元素是有可能发生的, 那么我们称$f$是一一的 (one-to-one) 映射. [译注: 更现代的说法是单射的 (injective).] 如果$f$是一个映上且一一的映射, 那么我们称$f$是一个一一映上, 或者"一一对应". [译注: 更现代的说法是双射 (bijection).] 仅在这种情况下$f^{-1}$可以被解释为一个映射$T\stackrel{f^{-1}}{\to }S$, 其也是一个一一映上. 注意到$f^{-1}f:S\to S$和$f{f}^{-1}:T\to T$均为恒等映射, 分别在$S$上和$T$上.

如果$t_1\ne t_2$是$T$的元素, 那么集合$f^{-1}(t_1)$和$f^{-1}(t_2)$是不相交的. 如果$s$是集合$S$的一个给定元素并且$f(s)=t$, 那么$s$就在$f^{-1}(t)$中, 这表明$S$是所有集合$f^{-1}(t)$的无交并:$$S=\bigcup _{t\in T}{f}^{-1}(t)$$集合$f^{-1}(t)$之中可能有某些是空集. 我们只保留非空的集合并称以这些非空的$f^{-1}(t)$为元素的集合为$S_f$. 注意$S_f$的元素是集合, 而不是$S$的元素. $S_f$被称为商集, 其元素也被称为等价类. 因此, $s_1$和$s_2$在相同的等价类之中当且仅当$f(s_1)=f(s_2)$. 任何给定的$s$都恰处于一个等价类中. 如果$f(s)=t$, 那么$s$的等价类是$f^{-1}(t)$.

现在我们构造一个映射$f_1:S\to S_f$, 将每个$s\in S$映射至其等价类. 因此, 如果$f(s)=t$, 那么$f_1(s)=f^{-1}(t)$. 该映射为满射. [译注: 自此之后, 我们将用单射, 满射, 双射代替一一, 映上, 一一映上.]

接下来, 我们构造一个映射$f_2:S_f\to f(S)$, 将非空的等价类$f^{-1}(t)$映射至$t\in f(S)$. 如果$t\in f(S)$, 因而$t=f(s)$, 那么$t$是等价类$f^{-1}(t)$的像, 别无其他. 因此, $f_2$是单射也是满射. 若$s\in S$且$f(s)=t$, 那么$f_1(s)=f^{-1}(t)$并有$f^{-1}(t)$在$f_2$下的像为$t$. 于是, $f_2{f}_1(s)=t$.

最终, 我们构造一个非常平凡的映射$f_3:f(S)\to T$, 对于每个$t\in f(S)$设置$f_3(t)=t$. 这个映射不应该被称为恒等映射, 因为它是将一个子集映射至一个可能更大的集合$T$. 这样的映射被称为嵌入, 当然是单射的. 对于$f(s)=t$, 我们有$f_2{f}_1(s)=t$, 故$f_3{f}_2{f}_1(s)=t$. 我们有$S\stackrel{f_1}{\to }{S}_f\stackrel{f_2}{\to }f(S)\stackrel{f_3}{\to }T$, 于是$f_3{f}_2{f}_1:S\to T$. 我们看到我们原本的映射$f$被分解为了三个映射$$f=f_3{f}_2{f}_1$$

重复一下: $f_1$是满射, $f_2$是一一对应, $f_3$是单射. 我们将称其为映射$f$的典范分解. 术语"典范"或者"自然"可在相当宽泛的意义下应用于这样的数学构造, 其中对象的选择没有什么自由.

作为一个例子, 令$G$和$H$是群, $f:G\to H$是一个从$G$到$H$的同态, 即对于所有$x,y\in G$满足$f(xy)=f(x)f(y)$的映射. 设$x=y=1$ ($G$的单位元), 我们得到了$f(1)=1$ ($H$的单位元). 置$y=x^{-1}$, 接着我们得到了$f(x^{-1})={[f(x)]}^{-1}$. 现在我们将描述$f$的典范分解, 等于说必须首先找到商集$G_f$. 元素$x$和$y$在相同的等价类之中当且仅当$f(x)=f(y)$, 或者$f(x{y}^{-1})=1$, 又或是$f(y^{-1}x)=1$. 用$K$代表$1$的逆像, 这意味着$x{y}^{-1}\in K$和$y^{-1}x\in K$都成立 (或者说$x\in Ky$和$x\in yK$都成立). 两个陪集$yK$和$Ky$因此是相同的, 而等价于$y$的元素$x$构成了陪集$yK$. 若$y$已经在$K$之中, 因而$y$在$1$的等价类之中, 我们就得到了$yK=K$, 故$K$是一个群. 左陪集和右陪集的相等意味着$K$是一个不变子群, 因而我们的商集不过就是商群 (factor group) $G/K$. 映射$f_1$对于每个$x\in G$联系以陪集$xK$作为像: $f_1(x)=xK$. 现在的要点在于$f_1$是一个同态 (也是满射), 的确$f_1(xy)=xyK=xyK\cdot K=x\cdot Ky\cdot K=xK\cdot yK=f_1(x)f_1(y)$.

这个映射被称为从一个群到 (onto) 其商群的典范同态.

映射$f_2$将$xK$映射至 (onto) $f(x)$: $f_2(xK)=f(x)$. 因为$f_2(xK\cdot yK)=f_2(xy\cdot K)=f(xy)=f(x)f(y)=f_2(xK)f_2(yK)$, 所以它是一个同态. 既然它是一个一一对应, 那么它也是一个同构, 于是可知商群$G/K$同构于像群$f(G)$. $G$的不变子群$K$被称为映射$f$的核.

映射$f_3$不过就是一个嵌入, 因此它是一个到$H$的同态.

第1.2节 向量空间上的定理

我们将假定读者熟悉向量空间的概念和最基本的性质, 但是将重复其定义, 并讨论一些读者可能不熟悉的方面.

对于左向量空间, 这个运算被写成$aA$, 也有类似的法则成立.

令$V$是一个$k$上的右向量空间而$S$是$V$的任意一个子集.

第1.3节 同态更细致的结构

第1.4节 对偶与配对

第1.5节 线性方程

第1.6节

第1.7节 群论的概念

第1.8节 域论的概念

第1.9节 有序域

第1.10节 赋值

第2章 仿射几何与投影几何

第2.1节 引论和最初三条公理

我们都熟悉解析几何, 其中平面上的点由实数序对$(x,y)$描述, 直线由线性方程描述, 圆锥曲线由二次方程描述. 解析几何使得我们能够将任何初等几何问题规约为仅仅一个代数问题. 然而, 直线与圆相交的问题提示我们扩大这个系统, 引入一个新的平面, 其中的点是复数的序对. 这种过程显见的泛化如下.

第3章 辛几何与正交几何

第3.1节 向量空间上的度量结构

第3.2节 辛几何与正交几何的定义

第4章 一般线性群

第4.1节 非交换行列式

J. Dieudonné将行列式的理论扩展到了非交换的域上.

第4.2节 ${\mathrm{GL}}_n(k)$的结构

第4.3节 有限域上的向量空间

第5章 辛群和正交群的结构