线性代数

附录

这个附录逻辑上分为两个部分. 第一部分由前三节构成, 包含了整本书 (实际上是整个数学) 会出现的特定基础概念. 对于本书而言其更像引论而非附录. 第二部分则诚然作为本书的实际附录出现.

第1节包含了对于集合以及交集和并集的讨论.

第A.1节 集合

第A.2节 函数

一个函数包含以下资料:

  1. 一个集合X, 被称为函数的定义域;
  2. 一个集合Y, 被称为函数的陪域 (codomain);
  3. 一个规则 (或者说对应关系) f, 其将X的每个元素x联系以Y的单独一个元素f(x).
如果(X,Y,f)是一个函数, 我们也称f是一个从XY的函数. 这稍微有些混乱了, 因为f本身不是函数, 而是函数的规则. [译注: 实际上, XY可以被视为附着在规则f上的元数据. 另外, 规则在现代数学中通常被解释/实现为序对的集合, 这是外延性的观念.] 然而, 对于函数和规则使用相同的符号为我们提供了更加容易的讨论函数的方式. 因此, 当我们说f是从XY的函数, 或者Xf的定义域, Yf的陪域时, 这意味着(X,Y,f)是一个如之前所定义的那样的函数. 许多词汇经常用于代替函数, 例如变换, 算子, 映射. 它们在特定的上下文中使用以暗示函数所扮演的角色.

如果f是一个从XY的函数, 那么f的值域 (或者说像) 是由所有Xxf(x)构成的集合. 换言之, f的值域由Y中所有满足存在X中的x使得y=f(x)的元素y构成. 如果f的值域是整个Y, 那么我们称f是从XY的满射, 或者就说f是一个满射. f的值域经常被记为f(X). [译注: 这里术语稍有修改, 以符合数学界的潮流.]

例子2.
  1. X是实数集, Y=X, 那么由f(x)=x2定义的从XY的函数f的值域是非负实数构成的集合, 所以f不是满射.

第A.3节 等价关系

第A.4节 商空间

V是域F上的一个向量空间, WV的子空间. 一般来说, 存在许多与W互补的子空间W, 即满足V=WW的子空间. 如果V上定义了一个内积, 而且W是有限维的, 在某种意义上存在可以称得上是自然的W的补子空间, 即W的正交补. 但是, 如果V没有附加于其向量空间结构之上的其他结构, 那么我们并不能挑选出一个自然的补子空间. 然而, 我们可以从VW中构造出向量空间V/W, 所谓的VW的商, 其可以扮演W的自然的补的角色. 这个商空间并非V的子空间, 但是其仅由VW定义, 并且同构于任何与W互补的子空间W.

WV的一个子空间, 如果αβV中任意的向量, 那么我们称αWβ同余, 若向量(αβ)W之中. 如果αWβ同余, 我们将其记为αβ(modW).现在模W的同余关系是V上的一个等价关系.

  1. αα(modW), 因为αα=0W之中.
  2. 如果αβ(modW), 那么βα(modW), 因为向量(αβ)W中当且仅当向量(βα)W中.
  3. 如果αβ(modW)βγ(modW), 那么αγ(modW), 因为若(αβ)(βγ)都在W中, 则有αγ=(αβ)+(βγ)W之中.

这个等价关系的等价类被称为W的陪集. 一个向量α的等价类 (陪集) 是什么样的呢? 其由所有V中所有满足(βα)属于W的向量β构成. 换言之, 其由所有具有形式β=α+γ的向量β构成, 其中γW中. 出于此缘由, α的陪集记作α+W.在某种意义上, 将α相对于W的陪集想成是将子空间W平移向量α得到的集合是合理的. 为了描绘出这些陪集, 读者或许可以想象一下以下的特殊情形. 令V是空间2, WV的一个一维子空间. 如果我们将V画成是Euclid平面, 那么W就是穿过原点的一条直线. 如果α=(x1,x2)V中的一个向量, 那么陪集α+W是经过点(x1,x2)且与W平行的直线.

所有W的陪集构成的集合被记为V/W. 我们现在定义V/W上的向量加法与标量乘法如下:(α+W)+(β+W)=(α+β)+Wc(α+W)=(cα)+W换言之, α的陪集加上β的陪集是(α+β)的陪集, 标量cα的陪集的乘积是向量cα的陪集. 既然V中许多不同的向量都可能拥有相同的相对于W的陪集, 那么我们必须验证向量加法和标量乘法只依赖于其所牵涉的陪集. 也就是说, 我们必须证明以下事实:

  1. 如果αα(modW)ββ(modW), 那么α+βα+β(modW).
  2. 如果αα(modW), 那么cαcα(modW).
这些事实是容易验证的. a. 如果αα属于Wββ属于W, 那么因为(α+β)(α+β)=(αα)+(ββ), 我们看到α+βWα+β同余. b. 如果αα属于Wc是任意的标量, 那么cαcα=c(αα)也属于W.

现在很容易验证V/W在上述向量加法和标量乘法下是一个域F上的向量空间. 读者必须直接验证向量空间的每条公理. 向量加法和标量乘法的每条性质都是从相应的V中的运算性质推得的. 还有要说的一件事情是, V/W的零向量是V的零向量的陪集. 换言之, WV/W的零向量.

向量空间V/W被称为VW的商 (在这种情况下偶尔也有人使用"差"). 存在一个自然的从VV/W的满射的线性变换Q, 其由Q(α)=α+W定义. 根据刚才定义的V/W上的运算, 变换Q的线性性质是显然的. 注意到Q的零空间恰是子空间W. 我们称Q是从VV/W的商变换 (或者商映射).

现在我们可以陈述商空间V/WW的补子空间之间的关系了.

定理.W是向量空间V的一个子空间, Q是从VV/W的商变换. 设WV的一个子空间, 那么V=WW当且仅当QW的限制是从WV/W的同构.
证明.

第A.5节 线性代数中的等价关系

第A.6节 选择公理