线性代数

附录

这个附录逻辑上分为两个部分. 第一部分由前三节构成, 包含了整本书 (实际上是整个数学) 会出现的特定基础概念. 对于本书而言其更像引论而非附录. 第二部分则诚然作为本书的实际附录出现.

第1节包含了对于集合以及交集和并集的讨论.

第A.1节 集合

第A.2节 函数

一个函数包含以下资料:

1. 一个集合$X$, 被称为函数的定义域;
2. 一个集合$Y$, 被称为函数的陪域 (codomain);
3. 一个规则 (或者说对应关系) $f$, 其将$X$的每个元素$x$联系以$Y$的单独一个元素$f(x)$.

如果$(X,Y,f)$是一个函数, 我们也称$f$是一个从$X$到$Y$的函数. 这稍微有些混乱了, 因为$f$本身不是函数, 而是函数的规则. [译注: 实际上, $X$和$Y$可以被视为附着在规则$f$上的元数据. 另外, 规则在现代数学中通常被解释/实现为序对的集合, 这是外延性的观念.] 然而, 对于函数和规则使用相同的符号为我们提供了更加容易的讨论函数的方式. 因此, 当我们说$f$是从$X$到$Y$的函数, 或者$X$是$f$的定义域, $Y$是$f$的陪域时, 这意味着$(X,Y,f)$是一个如之前所定义的那样的函数. 许多词汇经常用于代替函数, 例如变换, 算子, 映射. 它们在特定的上下文中使用以暗示函数所扮演的角色.

如果$f$是一个从$X$到$Y$的函数, 那么$f$的值域 (或者说像) 是由所有$X$中$x$的$f(x)$构成的集合. 换言之, $f$的值域由$Y$中所有满足存在$X$中的$x$使得$y=f(x)$的元素$y$构成. 如果$f$的值域是整个$Y$, 那么我们称$f$是从$X$到$Y$的满射, 或者就说$f$是一个满射. $f$的值域经常被记为$f(X)$. [译注: 这里术语稍有修改, 以符合数学界的潮流.]

第A.3节 等价关系

第A.4节 商空间

令$V$是域$F$上的一个向量空间, $W$是$V$的子空间. 一般来说, 存在许多与$W$互补的子空间$W^{\prime }$, 即满足$V=W\oplus W^{\prime }$的子空间. 如果$V$上定义了一个内积, 而且$W$是有限维的, 在某种意义上存在可以称得上是自然的$W$的补子空间, 即$W$的正交补. 但是, 如果$V$没有附加于其向量空间结构之上的其他结构, 那么我们并不能挑选出一个自然的补子空间. 然而, 我们可以从$V$和$W$中构造出向量空间$V/W$, 所谓的$V$和$W$的商, 其可以扮演$W$的自然的补的角色. 这个商空间并非$V$的子空间, 但是其仅由$V$和$W$定义, 并且同构于任何与$W$互补的子空间$W^{\prime }$.

令$W$是$V$的一个子空间, 如果$\alpha$和$\beta$是$V$中任意的向量, 那么我们称$\alpha$模$W$与$\beta$同余, 若向量$(\alpha -\beta )$在$W$之中. 如果$\alpha$模$W$与$\beta$同余, 我们将其记为 $$\alpha \equiv \beta (\mathrm{mod}W)\text{.}$$ 现在模$W$的同余关系是$V$上的一个等价关系.

1. $\alpha \equiv \alpha (\mathrm{mod}W)$, 因为$\alpha -\alpha =0$在$W$之中.
2. 如果$\alpha \equiv \beta (\mathrm{mod}W)$, 那么$\beta \equiv \alpha (\mathrm{mod}W)$, 因为向量$(\alpha -\beta )$在$W$中当且仅当向量$(\beta -\alpha )$在$W$中.
3. 如果$\alpha \equiv \beta (\mathrm{mod}W)$且$\beta \equiv \gamma (\mathrm{mod}W)$, 那么$\alpha \equiv \gamma (\mathrm{mod}W)$, 因为若$(\alpha -\beta )$和$(\beta -\gamma )$都在$W$中, 则有$\alpha -\gamma =(\alpha -\beta )+(\beta -\gamma )$在$W$之中.

这个等价关系的等价类被称为$W$的陪集. 一个向量$\alpha$的等价类 (陪集) 是什么样的呢? 其由所有$V$中所有满足$(\beta -\alpha )$属于$W$的向量$\beta$构成. 换言之, 其由所有具有形式$\beta =\alpha +\gamma$的向量$\beta$构成, 其中$\gamma$在$W$中. 出于此缘由, $\alpha$的陪集记作 $$\alpha +W\text{.}$$ 在某种意义上, 将$\alpha$相对于$W$的陪集想成是将子空间$W$平移向量$\alpha$得到的集合是合理的. 为了描绘出这些陪集, 读者或许可以想象一下以下的特殊情形. 令$V$是空间${ℝ}^2$, $W$是$V$的一个一维子空间. 如果我们将$V$画成是Euclid平面, 那么$W$就是穿过原点的一条直线. 如果$\alpha =(x_1,x_2)$是$V$中的一个向量, 那么陪集$\alpha +W$是经过点$(x_1,x_2)$且与$W$平行的直线.

所有$W$的陪集构成的集合被记为$V/W$. 我们现在定义$V/W$上的向量加法与标量乘法如下: $$\begin{array}{ccc}\hfill (\alpha +W)+(\beta +W)& =& (\alpha +\beta )+W\hfill \\ \hfill c(\alpha +W)& =& (c\alpha )+W\hfill \end{array}$$ 换言之, $\alpha$的陪集加上$\beta$的陪集是$(\alpha +\beta )$的陪集, 标量$c$和$\alpha$的陪集的乘积是向量$c\alpha$的陪集. 既然$V$中许多不同的向量都可能拥有相同的相对于$W$的陪集, 那么我们必须验证向量加法和标量乘法只依赖于其所牵涉的陪集. 也就是说, 我们必须证明以下事实:

1. 如果$\alpha \equiv {\alpha }^{\prime }(\mathrm{mod}W)$且$\beta \equiv {\beta }^{\prime }(\mathrm{mod}W)$, 那么 $$\alpha +\beta \equiv {\alpha }^{\prime }+{\beta }^{\prime }(\mathrm{mod}W)\text{.}$$
2. 如果$\alpha \equiv {\alpha }^{\prime }(\mathrm{mod}W)$, 那么$c\alpha \equiv c{\alpha }^{\prime }(\mathrm{mod}W)$.

这些事实是容易验证的. a. 如果$\alpha -{\alpha }^{\prime }$属于$W$且$\beta -{\beta }^{\prime }$属于$W$, 那么因为$(\alpha +\beta )-({\alpha }^{\prime }+{\beta }^{\prime })=(\alpha -{\alpha }^{\prime })+(\beta -{\beta }^{\prime })$, 我们看到$\alpha +\beta$模$W$与${\alpha }^{\prime }+{\beta }^{\prime }$同余. b. 如果$\alpha -{\alpha }^{\prime }$属于$W$且$c$是任意的标量, 那么$c\alpha -c{\alpha }^{\prime }=c(\alpha -{\alpha }^{\prime })$也属于$W$.

现在很容易验证$V/W$在上述向量加法和标量乘法下是一个域$F$上的向量空间. 读者必须直接验证向量空间的每条公理. 向量加法和标量乘法的每条性质都是从相应的$V$中的运算性质推得的. 还有要说的一件事情是, $V/W$的零向量是$V$的零向量的陪集. 换言之, $W$是$V/W$的零向量.

向量空间$V/W$被称为$V$和$W$的商 (在这种情况下偶尔也有人使用"差"). 存在一个自然的从$V$到$V/W$的满射的线性变换$Q$, 其由$Q(\alpha )=\alpha +W$定义. 根据刚才定义的$V/W$上的运算, 变换$Q$的线性性质是显然的. 注意到$Q$的零空间恰是子空间$W$. 我们称$Q$是从$V$到$V/W$的商变换 (或者商映射).

现在我们可以陈述商空间$V/W$和$W$的补子空间之间的关系了.

第A.5节 线性代数中的等价关系

第A.6节 选择公理