线性代数第3章线性变换

第3章线性变换

第3.1节线性变换

我们将引入线性变换, 本书的剩余部分我们将研究的对象. 读者或许会发现阅读 (或重读) 附录里关于函数的部分是有用的, 因为我们将自由地使用其中的术语.

定义. 令

V

和

W

是域

F

上的向量空间. 一个从

V

到

W

的线性变换是一个从

V

到

W

的函数

T

满足

T (c α + β) = c (T α) + T β

对于所有

V

中

α

和

β

以及所有

F

中标量

c

成立.

例子1. 如果

V

是任意的向量空间, 恒等变换

I

, 由

I α = α

定义, 是一个从

V

到

V

的线性变换. 零变换, 由

0 α = 0

定义, 也是一个从

V

到

V

的线性变换.

例子2. 令

F

是一个域,

V

是从

F

到

F

的多项式函数

f

构成的空间,

f

由

f (x) = c_{0} + c_{1} x + \dots + c_{k} x^{k}

给定. 令

(D f) (x) = c_{1} + 2 c_{1} x + \dots + k c_{k} x^{k - 1} .

那么

D

是一个从

V

到

V

的线性变换, 即微分变换.

例子3. 令

A

是域

F

上一个固定的

m \times n

矩阵, 由

T (X) = A X

定义的函数

T

是一个从

F^{n \times 1}

到

F^{m \times 1}

的线性变换. 由

U (α) = α A

定义的函数

U

是一个从

F^{m}

到

F^{n}

的线性变换.

例子4. 令

P

是域

F

上一个固定的

m \times m

矩阵, 令

Q

是域

F

上一个固定的

n \times n

矩阵. 定义一个从

F^{m \times n}

到自身的函数

T

T (A) = P A Q

. 那么

T

是一个线性变换, 因为

\begin{array}{rcl} T (c A + B) & = & P (c A + B) Q \\ = & (c P A + P B) Q \\ = & c P A Q + P B Q \\ = & c T (A) + T (B) \end{array}

例子5. 令

V

是所有从

ℝ

到

ℝ

的连续函数构成的空间, 由

(T f) (x) = \int_{0}^{x} f (t) d t

定义

T

, 那么

T

是一个从

V

到

V

的线性变换. 函数

T f

不仅是连续的, 还拥有连续的一阶导数. 积分的线性性质是其根本性质之一.

读者验证例子1, 2, 3, 5是线性变换是没有难度的. 当我们了解更多关于线性变换的东西时, 例子也会随之得到扩展.

注意到以下事实是重要的. 如果 $T$ 是一个从 $V$ 到 $W$ 的线性变换, 那么 $T (0) = 0$ . 人们可以从定义中看出来, 因为 $T (0) = T (0 + 0) = T (0) + T (0) .$ 这点对于线性代数的初学者而言有时令人迷惑, 因为他可能已经接触过术语"线性函数"一个稍微有点不同的用法. 扼要的注记应该能够扫清这种迷惑. 设 $V$ 是向量空间 $ℝ^{1}$ , 那么一个从 $V$ 到 $V$ 的线性变换是一种特定的实数轴 $ℝ$ 上的实值函数. 在一个微积分课程中, 人们可能会将图像是直线的函数称为线性的. 一个从 $ℝ^{1}$ 到 $ℝ^{1}$ 的线性变换, 根据我们的定义, 将会是一个从 $ℝ$ 到 $ℝ$ 的函数, 其图像是经过原点的直线.

不仅是 $T (0) = 0$ , 让我们指出一般的线性变换 $T$ 的另一个性质. 这样的线性变换"保持"线性组合, 也就是说, 如果 $α_{1}, \dots, α_{n}$ 是 $V$ 中的向量, $c_{1}, \dots, c_{n}$ 是标量, 那么 $T (c_{1} α_{1} + \dots + c_{n} α_{n}) = c_{1} (T α_{1}) + \dots + c_{n} (T α_{n})$ 这可由定义直接推得, 例如 $\begin{array}{rcl} T (c_{1} α_{1} + c_{2} α_{2}) & = & c_{1} (T α_{1}) + T (c_{2} α_{2}) \\ = & c_{1} (T α_{1}) + c_{2} (T α_{2}) \end{array}$

定理1. 令

V

是一个域

F

上的有限维向量空间, 令

{α_{1}, \dots, α_{n}}

是

V

的一个有序基. 令

W

也是域

F

上的一个向量空间, 并且令

β_{1}, \dots, β_{n}

是

W

中任意的向量. 那么, 恰存在唯一的从

V

到

W

的线性映射

T

满足

T α_{j} = β_{j}, j = 1, \dots, n

证明. 为了证明存在某个线性变换

T

满足

T α_{j} = β_{j}

我们按照以下方式推进. 给定

V

中的

α

, 存在唯一的

n

元组

(x_{1}, \dots, x_{n})

满足

α = x_{1} α_{1} + \dots + x_{n} α_{n} .

对于这个向量

α

我们定义

T α = x_{1} β_{1} + \dots + x_{n} β_{n} .

那么

T

是一个将每个

V

中的向量

α

与一个

W

中的向量

T α

联系起来的良定义的规则. 从此定义中显然可以看出对于每个

j

有

T α_{j} = β_{j}

. 为了说明

T

是线性的, 令

β = y_{1} α_{1} + \dots + y_{n} α_{n}

是

V

中的向量, 令

c

是任意的标量. 现在

c α + β = (c x_{1} + y_{1}) α_{1} + \dots + (c x_{n} + y_{n}) α_{n}

于是根据定义

T (c α + β) = (c x_{1} + y_{1}) β_{1} + \dots + (c x_{n} + y_{n}) β_{n}

另一方面

\begin{array}{rcl} c (T α) + T β & = & c \sum_{i = 1}^{n} x_{i} β_{i} + \sum_{i = 1}^{n} y_{i} β_{i} \\ = & \sum_{i = 1}^{n} (c x_{i} + y_{i}) β_{i} \end{array}

因此

T (c α + β) = c (T α) + T β .

如果

U

也是一个满足

U α_{j} = β_{j}, j = 1, \dots, n

的从

V

到

W

的线性变换, 那么对于向量

α = \sum_{i = 1}^{n} x_{i} α_{i}

我们有

\begin{array}{rcl} U α & = & U (\sum_{i = 1}^{n} x_{i} α_{i}) \\ = & \sum_{i = 1}^{n} x_{i} (U α_{i}) \\ = & \sum_{i = 1}^{n} x_{i} β_{i} \end{array}

因此

U

恰是我们之前所定义的规则

T

. 这表明满足

T α_{j} = β_{j}

的线性变换

T

是唯一的.

◻

定理1是相当初等的. 然而, 它是如此基本以至于我们形式化地陈述了该定理. 函数的概念是非常一般的. 如果 $V$ 和 $W$ 是(非零的)向量空间, 那么从 $V$ 到 $W$ 的函数存在相当多样的可能性. 定理1强调了线性函数是极其特殊的.

例子6. 向量

α_{1} = (1, 2), α_{2} = (3, 4)

是线性无关的, 因此构成了

ℝ^{2}

的一个基. 根据定理1, 存在唯一的一个从

ℝ^{2}

到

ℝ^{3}

的线性变换满足

T α_{1} = (3, 2, 1), T α_{2} = (6, 5, 4)

如果是这样的话, 我们必须能够找出

T (ε_{1})

. 我们先找到满足

ε_{1} = c_{1} α_{1} + c_{2} α_{2}

的标量

c_{1}

和

c_{2}

, 然后我们就知道

T ε_{1} = c_{1} T α_{1} + c_{2} T α_{2}

. 如果

(1, 0) = c_{1} (1, 2) + c_{2} (3, 4)

, 那么

c_{1} = - 2

且

c_{2} = 1

, 因此

\begin{array}{rcl} T (1, 0) & = & - 2 (3, 2, 1) + (6, 5, 4) \\ = & (0, 1, 2) \end{array}

例子7. 令

T

是一个从

m

元组空间

F^{m}

到

n

元组空间

F^{n}

的线性变换. 定理1告诉我们

T

由向量的序列

β_{1}, \dots, β_{m}

唯一地确定, 其中

β_{i} = T ε_{i}, i = 1, \dots, m .

简而言之,

T

由其在标准基向量下的像唯一地确定, 而这个确定就是

α = (x_{1}, \dots, x_{m}), T α = x_{1} β_{1} + \dots + x_{m} β_{m} .

如果

B

是一个以

β_{1}, \dots, β_{m}

为行向量的

m \times n

矩阵, 那么上面就是在说

T α = α B .

换言之, 如果

β_{i} = (B_{i, 1}, \dots, B_{i, n})

, 那么

T (x_{1}, \dots, x_{m}) = [\begin{matrix} x_{1} & \dots & x_{m} \end{matrix}] [\begin{matrix} B_{1, 1} & \dots & B_{1, n} \\ ⋮ & ⋮ \\ B_{m, 1} & \dots & B_{m, n} \end{matrix}] .

这是一种对于线性变换相当显式的刻画. 在第3.4节我们将严肃地研究线性变换和矩阵之间的关系. 之后我们并不会追求

T α = α B

这种特定的描述, 因为它将矩阵

B

置于向量

α

的右边, 而这可能会引起一些困惑. 这个例子的要点在于展现了我们对于所有从

F^{m}

到

F^{n}

的线性变换可以给出显式且相当简单的描述.

如果 $T$ 是一个从 $V$ 到 $W$ 的线性变换, 那么 $T$ 的像不仅是 $W$ 的子集, 而且是 $W$ 的子空间. 令 $R_{T}$ 是 $T$ 的像, 即满足存在某个 $V$ 中 $α$ 使得 $β = T α$ 的所有 $W$ 中向量 $β$ 构成的集合. 令 $β_{1}$ 和 $β_{2}$ 是 $R_{T}$ 的元素, 令 $c$ 是一个标量. 存在 $V$ 中向量 $α_{1}$ 和 $α_{2}$ 满足 $T α_{1} = β_{1}$ 和 $T α_{2} = β_{2}$ . 既然 $T$ 是线性的, 那么 $\begin{array}{rcl} T (c α_{1} + α_{2}) & = & c T α_{1} + T α_{2} \\ = & c β_{1} + β_{2} \end{array}$ 这表明 $c β_{1} + β_{2}$ 也在 $R_{T}$ 之中.

另一个与线性变换 $T$ 相关的有趣子空间是由所有满足 $T α = 0$ 的 $V$ 中的向量 $α$ 构成的集合 $N$ . 它是 $V$ 的一个子空间, 因为

$T (0) = 0$ , 于是 $N$ 非空;
如果 $T α_{1} = T α_{2} = 0$ , 那么 $\begin{array}{rcl} T (c α_{1} + α_{2}) & = & c T α_{1} + T α_{2} \\ = & c 0 + 0 \\ = & 0 \end{array}$ 于是 $c β_{1} + β_{2}$ 也在 $N$ 之中.

定义. 令

V

和

W

是域

F

上的向量空间, 令

T

是一个从

V

到

W

的线性变换.

T

的零空间是所有满足

T α = 0

的

V

中向量

α

构成的集合. 如果

V

是有限维的, 那么称

T

的像的维数为

T

的秩,

T

的零空间的维数为

T

的零化度.

以下是线性代数中最重要的结果之一.

定理2. 令

V

和

W

是域

F

上的向量空间, 令

T

是一个从

V

到

W

的线性变换, 设

V

是有限维的, 那么

rank (T) + nullity (T) = \dim V .

证明. 令

{α_{1}, \dots, α_{k}}

是

N

的一个基,

N

即

T

的零空间. 存在

V

中向量

α_{k + 1}, \dots, α_{n}

满足

{α_{1}, \dots, α_{n}}

是

V

的一个基. 我们将证明

{T α_{k + 1}, \dots, T α_{n}}

是

T

的像的一个基. 向量

T α_{1}, \dots, T α_{n}

当然能够张成

T

的像, 并且既然对于

j \leq k

有

T α_{j} = 0

, 我们可以看出

T α_{k + 1}, \dots, T α_{n}

能够张成像. 为了看出这些像是线性无关的, 设我们有标量

c_{i}

满足

\sum_{i = k + 1}^{n} c_{i} (T α_{i}) = 0 .

这说明

T (\sum_{i = k + 1}^{n} c_{i} α_{i}) = 0

并且可知

α = \sum_{i = k + 1}^{n} c_{i} α_{i}

在

T

的零空间中. 既然

α_{1}, \dots, α_{k}

构成了

N

的一个基, 那么必须存在标量

b_{1}, \dots, b_{k}

满足

α = \sum_{i = 1}^{k} b_{i} α_{i} .

因此

\sum_{i = 1}^{k} b_{i} α_{i} - \sum_{j = k + 1}^{n} c_{j} α_{j} = 0

并且既然

α_{1}, \dots, α_{n}

是线性无关的, 我们必须有

b_{1} = \dots = b_{k} = c_{k + 1} = \dots = c_{n} = 0 .

如果

r

是

T

的秩, 那么

T α_{k + 1}, \dots, T α_{n}

构成了

T

的像的基的事实告诉我们

r = n - k

. 既然

k

是

T

的零化度而

n

是

V

的维数, 证明结束了.

◻

定理3. 如果

A

是域

F

上的一个

m \times n

矩阵, 那么

row-rank (A) = column-rank (A) .

证明. 令

T

是由

T (X) = A X

定义的从

F^{n \times 1}

到

F^{m \times 1}

的线性变换.

T

的零空间是线性方程组

A X = 0

的解空间, 即由所有满足

A X = 0

的列矩阵

X

构成的集合.

T

的像是由所有满足线性方程组

A X = Y

有解的

m \times 1

的列矩阵

Y

构成的集合. 如果

A_{1}, \dots, A_{n}

是

A

的列, 那么

A X = x_{1} A_{1} + \dots + x_{n} A_{n}

于是

T

的像是由

A

的列张成的子空间. 换句话说,

T

的像就是

A

的列空间, 因此

rank (T) = column-rank (A) .

定理2告诉我们如果

S

是线性方程组

A X = 0

的解空间, 那么

\dim S + column-rank (A) = n .

我们现在引用第2章的例子15. 我们的意图在于, 如果

r

是

A

的行空间的维数, 那么解空间

S

拥有一个由

n - r

个向量构成的基:

\dim S = n - row-rank (A) .

现在显然有

row-rank (A) = column-rank (A) .

◻

刚刚我们给出的对于定理3的证明依赖于和线性方程组有关的显式计算. 实际上存在一个不依赖于这样的计算的概念性证明. 我们将在第3.7节给出这个证明.

练习1. 以下哪些函数

T

是从

ℝ^{2}

到

ℝ^{2}

的线性变换呢?

$T (x_{1}, x_{2}) = (1 + x_{1}, x_{2})$ ;
$T (x_{1}, x_{2}) = (x_{2}, x_{1})$ ;
$T (x_{1}, x_{2}) = (x_{1}^{2}, x_{2})$ ;
$T (x_{1}, x_{2}) = (\sin x_{1}, x_{2})$ ;
$T (x_{1}, x_{2}) = (x_{1} - x_{2}, 0)$ .

练习2. 找出有限维向量空间

V

上的零变换和恒等变换的像, 秩, 零空间, 零化度.

练习3. 描述例子2的微分变换和例子5的积分变换的像和零空间.

练习4. 存在从

ℝ^{3}

到

ℝ^{2}

的线性变换满足

T (1, - 1, 1) = (1, 0)

且

T (1, 1, 1) = (0, 1)

吗?

练习5. 如果

α_{1} = (1, - 1), β_{1} = (1, 0), α_{2} = (2, - 1), β_{2} = (0, 1), α_{3} = (- 3, 2), β_{3} = (1, 1)

存在从

ℝ^{2}

到

ℝ^{2}

的线性变换

T

满足

T α_{i} = β_{i}

对于

i = 1, 2, 3

成立吗?

练习6. 显式描述 (如练习1和2) 满足

T ε_{1} = (a, b), T ε_{2} = (c, d)

的从

F^{2}

到

F^{2}

的线性变换

T

练习7. 令

F

是一个复数域的子域, 令

T

是由

T (x_{1}, x_{2}, x_{3}) = (x_{1} - x_{2} + 2 x_{3}, 2 x_{1} + x_{2}, - x_{1} - 2 x_{2} + 2 x_{3})

定义的从

F^{3}

到

F^{3}

的函数.

验证 $T$ 是一个线性变换.
如果 $(a, b, c)$ 是 $F^{3}$ 中向量, 那么 $a, b, c$ 满足什么条件时向量在 $T$ 的像中? $T$ 的秩是多少?
$a, b, c$ 满足什么条件时 $(a, b, c)$ 在 $T$ 的零空间中? $T$ 的零化度是多少?

练习8. 显式描述一个从

ℝ^{3}

到

ℝ^{3}

的线性变换, 其像是由

(1, 0, - 1)

和

(1, 2, 2)

张成的子空间.

练习9. 令

V

是域

F

上的所有

n \times n

矩阵构成的向量空间, 令

B

是一个固定的

n \times n

矩阵. 如果

T (A) = A B - B A

验证

T

是一个从

V

到

V

的线性变换.

练习10. 令

V

是所有复数的集合, 其被当作实数域上的向量空间 (在通常的运算下). 找出一个从

V

到

V

的线性变换, 但不是

ℂ^{1}

上的线性变换, 即不是复线性的.

练习11. 令

V

是

F

上的

n \times 1

矩阵的空间, 令

W

是

F

上的

m \times 1

矩阵的空间. 令

A

是

F

上的一个固定的

m \times n

矩阵, 令

T

是由

T (X) = A X

定义的从

V

到

W

的线性变换. 证明

T

是零变换当且仅当

A

是零矩阵.

练习12. 令

V

是域

F

上的一个

n

维向量空间, 令

T

是一个从

V

到

V

的线性变换, 并且

T

的像和零空间是相等的. 证明

n

是偶数. (你能给出这样的线性变换

T

的例子吗?)

练习13. 令

V

是一个向量空间, 令

T

是一个从

V

到

V

的线性变换. 证明以下两个关于

T

的陈述是等价的.

$T$ 的像与零空间之交是 $V$ 的零子空间.
如果 $T (T α) = 0$ , 那么 $T α = 0$ .

第3.2节线性变换的代数

在研究从 $V$ 到 $W$ 的线性变换时, 这些变换的集合继承了自然的向量空间结构具有根本的重要性. 从空间 $V$ 到自身的线性变换的集合甚至有着更多的代数结构, 因为通常的函数复合提供了这样的变换的"乘法". 我们将在本节探索这些想法.

定理4. 令

V

和

W

是域

F

上的向量空间. 令

T

和

U

是从

V

到

W

的线性变换. 由

(T + U) (α) = T α + U α

定义的函数

(T + U)

是一个从

V

到

W

的线性变换. 如果

c

是

F

任意的元素, 那么由

(c T) (α) = c (T α)

定义的函数

(c T)

是一个从

V

到

W

的线性变换. 所有从

V

到

W

的线性变换的集合, 与其上定义的加法和标量乘法一起, 构成了一个域

F

上的向量空间.

证明. 设

T

和

U

是从

V

到

W

的线性变换, 而

(T + U)

定义如上, 那么

\begin{array}{rcl} (T + U) (c α + β) & = & T (c α + β) + U (c α + β) \\ = & c (T α) + T β + c (U α) + U β \\ = & c (T α + U α) + (T β + U β) \\ = & c (T + U) (α) + (T + U) (β) \end{array}

这表明

(T + U)

是一个线性变换. 类似地,

\begin{array}{rcl} (c T) (d α + β) & = & c [T (d α + β)] \\ = & c [d (T α) + T β] \\ = & c d (T α) + c (T β) \\ = & d [c (T α)] + c (T β) \\ = & d [(c T) α] + (c T) β \end{array}

这表明

(c T)

是一个线性变换.
为了验证从

V

到

W

的线性变换的集合 (以及这些运算) 是一个向量空间, 我们还必须直接检验每个向量加法和数乘上的条件是否满足. 我们将这些工作留给读者, 并满足于以下的评论: 这个空间里的零向量是零变换, 其将每个

V

的向量送至

W

的零向量; 这两个运算的每个性质都对应于空间

W

的运算的相应性质.

◻

或许我们应该提及另一种看待这个定理的方式. 如果我们如果上面那样定义和与标量积, 那么所有从 $V$ 到 $W$ 的函数构成了一个域 $F$ 上的向量空间. 这与 $V$ 是向量空间无关, $V$ 是一个非空集合足矣. 当 $V$ 是向量空间的时候我们可以定义从 $V$ 到 $W$ 的线性变换, 那么定理4告诉我们这些变换构成了从 $V$ 到 $W$ 的所有函数构成的空间的一个子空间.

我们将从 $V$ 到 $W$ 的线性变换的空间记作 $L (V, W)$ . 我们提醒读者只有当 $V$ 和 $W$ 是定义于同一个域上的向量空间时 $L (V, W)$ 才有定义.

定理5. 令

V

是域

F

上的

n

维向量空间而

W

是域

F

上的

m

维向量空间, 那么

L (V, W)

是有限维的, 并且维数是

m n

证明. 令

𝔅 = {α_{1}, \dots, α_{n}} 和 𝔅^{'} = {β_{1}, \dots, β_{m}}

分别是

V

和

W

的有序基. 对于每个满足

1 \leq p \leq m

和

1 \leq q \leq n

的整数序对

(p, q)

, 我们定义从

V

到

W

的线性变换

E^{p, q}

如下.

\begin{array}{rcl} E^{p, q} (α_{i}) & = & {\begin{matrix} 0 & , 如果 i \neq q \\ β_{p} & , 如果 i = q \end{matrix} \\ = & δ_{i, q} β_{p} \end{array}

根据定理1, 存在唯一的从

V

到

W

的线性变换满足这些条件. 我们要证明的是这

m n

个线性变换构成了

L (V, W)

的一个基.
令

T

是从

V

到

W

的线性变换. 对于每个

j, 1 \leq j \leq n

, 令

A_{1, j}, \dots, A_{m, j}

是向量

T α_{j}

相对于有序基

𝔅^{'}

的坐标, 即

T α_{j} = \sum_{p = 1}^{m} A_{p, j} β_{p} .

我们想要表明

T = \sum_{p = 1}^{m} \sum_{q = 1}^{n} A_{p, q} E^{p, q} .

令

U

是上面这个式子右侧的线性变换, 那么对于每个

j

\begin{array}{rcl} U α_{j} & = & \sum_{p = 1}^{m} \sum_{q = 1}^{n} A_{p, q} E^{p, q} (α_{j}) \\ = & \sum_{p = 1}^{m} \sum_{q = 1}^{n} A_{p, q} δ_{j, q} β_{p} \\ = & \sum_{p = 1}^{m} A_{p, j} β_{p} \\ = & T α_{j} \end{array}

因此

U = T

. 目前我们已经证明了

E^{p, q}

可以张成

L (V, W)

, 我们必须还要证明它们是线性无关的, 然而从我们上面写下的东西来看这是显然的, 因为如果变换

U = \sum_{p = 1}^{m} \sum_{q = 1}^{n} A_{p, q} E^{p, q}

是零变换, 那么对于每个

j

有

U α_{j} = 0

, 于是

\sum_{p = 1}^{m} A_{p, j} β_{p} = 0

而

β_{p}

的线性无关性质又可推出对于每个

p

和

j

我们有

A_{p, j} = 0

◻

定理6. 令

V, W, Z

是域

F

上的向量空间, 令

T

是从

V

到

W

的线性变换, 令

U

是从

W

到

Z

的线性变换, 那么由

(U T) (α) = U (T (α))

定义的复合函数

U T

是一个从

V

到

Z

的线性变换.

证明.

\begin{array}{rcl} U T (c α + β) & = & U [T (c α + β)] \\ = & U (c T α + T β) \\ = & c [U (T α)] + U (T β) \\ = & c (U T) (α) + (U T) (β) \end{array}

◻

接下来, 我们将主要关注从一个向量空间到自身的线性变换. 鉴于我们经常得说" $T$ 是一个从 $V$ 到 $V$ 的线性变换", 以后我们将说" $T$ 是 $V$ 上的一个线性算子".

定义. 如果

V

是域

F

上的一个向量空间, 那么一个

V

上的线性算子就是一个从

V

到

V

的线性变换.

在定理6的情况下, 当 $V = W = Z$ 时, 以至于 $U$ 和 $T$ 都是空间 $V$ 上的线性算子, 那么其复合 $U T$ 也是一个 $V$ 上的线性算子. 因此, 空间 $L (V, V)$ 有一个乘法定义于其上, 即复合. 当然算子 $T U$ 也是有定义的, 不过读者应该注意一般 $U T \neq T U$ , 即 $U T - T U \neq 0$ . 我们还应该特别注意如果 $T$ 是一个 $V$ 上的线性算子, 那么我们可以将 $T$ 和 $T$ 复合. 我们将使用记号 $T^{2} = T T$ , 而一般地, 对于 $n = 1, 2, 3, \dots$ , $T^{n} = T \dots T$ ( $n$ 个 $T$ 相乘). 我们定义 $T^{0} = I$ , 如果 $T \neq 0$ . [译注: $T = 0$ 时定义 $T^{0} = I$ 也是合理且必要的.]

引理. 令

V

是域

F

上的向量空间, 令

U, T_{1}, T_{2}

是

V

上的线性算子, 令

c

是

F

的元素.

$I U = U I = U$ ;
$U (T_{1} + T_{2}) = U T_{1} + U T_{2}$ ; $(T_{1} + T_{2}) U = T_{1} U + T_{2} U$ ;
$c (U T_{1}) = (c U) T_{1} = U (c T_{1})$ .

证明.

这个关于恒等函数的性质是显然的, 我们列在这里仅是为了强调一下.
$\begin{array}{rcl} [U (T_{1} + T_{2})] (α) & = & U [(T_{1} + T_{2}) (α)] \\ = & U (T_{1} α + T_{2} α) \\ = & U (T_{1} α) + U (T_{2} α) \\ = & (U T_{1}) (α) + (U T_{2}) (α) \end{array}$ 于是 $U (T_{1} + T_{2}) = U T_{1} + U T_{2}$ . 另外, $\begin{array}{rcl} [(T_{1} + T_{2}) U] (α) & = & (T_{1} + T_{2}) (U α) \\ = & T_{1} (U α) + T_{2} (U α) \\ = & (T_{1} U) (α) + (T_{2} U) (α) \end{array}$ 于是 $(T_{1} + T_{2}) U = T_{1} U + T_{2} U$ . (读者或许注意到了这两个分配律的证明并没有用到 $T_{1}$ 和 $T_{2}$ 是线性的这个事实, 而且第二个证明也没有用到 $U$ 是线性的.)
我们将c的证明留给读者.

◻

这个引理的内容和定理5的一部分告诉我们向量空间 $L (V, V)$ 和复合运算构成了一个叫做含幺元的线性代数的结构. 我们将在第4章讨论这个东西. [译注: 其实在一般的代数学书籍里这种结构就叫代数.]

例子8. 如果

A

是一个元素来源于

F

的

m \times n

矩阵, 我们可以由

T (X) = A X

定义一个从

F^{n \times 1}

到

F^{m \times 1}

的线性变换

T

. 如果

B

是一个

p \times m

的矩阵, 那么我们可以通过

U (Y) = B Y

定义一个从

F^{m \times 1}

到

F^{p \times 1}

的线性变换

U

. 它们的复合

U T

是很容易描述的:

\begin{array}{rcl} (U T) (X) & = & U (T (X)) \\ = & U (A X) \\ = & B (A X) \\ = & (B A) X \end{array}

因此

U T

即"左乘积矩阵

B A

例子9. 令

F

是一个域而

V

是所有从

F

到

F

的多项式函数构成的向量空间. 令

D

是例子2所定义的微分算子, 令

T

是"乘上

x

"的线性算子:

(T f) (x) = x f (x) .

那么

D T \neq T D

. 实际上, 读者应该很容易验证

D T - T D = I

, 即恒等算子.

即便我们定义的 $L (V, V)$ 上的乘法并不交换, 其与 $L (V, V)$ 的向量空间运算有着很好的联系.

例子10. 令

𝔅 = {α_{1}, \dots, α_{n}}

是向量空间

V

的一个有序基. 考虑定理5的证明中出现的线性算子

E^{p, q}

E^{p, q} (α_{i}) = δ_{i, q} α_{p} .

这

n^{2}

个线性算子构成了

V

上的线性算子空间的一个基.

E^{p, q} E^{r, s}

是什么呢? 我们有

\begin{array}{rcl} (E^{p, q} E^{r, s}) (α_{i}) & = & E^{p, q} (δ_{i, s} α_{r}) \\ = & δ_{i, s} E^{p, q} (α_{r}) \\ = & δ_{i, s} δ_{r, q} α_{p} \end{array}

因此

E^{p, q} E^{r, s} = {\begin{matrix} 0 & , 如果 r \neq q \\ E^{p, s} & , 如果 q = r \end{matrix}

令

T

是一个

V

上的线性算子, 我们在定理5的证明中表明如果

A_{j} = {[T α_{j}]}_{𝔅}, A = [A_{1}, \dots, A_{n}]

那么

T = \sum_{p = 1}^{n} \sum_{q = 1}^{n} A_{p, q} E^{p, q} .

如果

U = \sum_{r = 1}^{n} \sum_{s = 1}^{n} B_{r, s} E^{r, s}

是

V

上另一个线性算子, 那么上一条引理告诉我们

\begin{array}{rcl} T U & = & (\sum_{p = 1}^{n} \sum_{q = 1}^{n} A_{p, q} E^{p, q}) (\sum_{r = 1}^{n} \sum_{s = 1}^{n} B_{r, s} E^{r, s}) \\ = & \sum_{p = 1}^{n} \sum_{q = 1}^{n} \sum_{r = 1}^{n} \sum_{s = 1}^{n} A_{p, q} B_{r, s} E^{p, q} E^{r, s} \end{array}

我们注意到, 这巨大的求和之中只有满足

q = r

的项才能活下来, 又因为

E^{p, r} E^{r, s} = E^{p, s}

, 我们有

\begin{array}{rcl} T U & = & \sum_{p = 1}^{n} \sum_{s = 1}^{n} (\sum_{r = 1}^{n} A_{p, r} B_{r, s}) E^{p, s} \\ = & \sum_{p = 1}^{n} \sum_{s = 1}^{n} {(A B)}_{p, s} E^{p, s} \end{array}

因此, 复合

T

和

U

的效用相当于矩阵

A

和

B

相乘.

在我们对于线性变换的代数运算的讨论中, 我们还没有说任何与可逆性相关的东西. 我们所特别关心的问题之一是, 对于向量空间 $V$ 上什么样的线性算子 $T$ 存在线性算子 $T^{- 1}$ 满足 $T T^{- 1} = T^{- 1} T = I$ ? [译注: 读者应该将这里的 $T^{- 1}$ 当作一个整体, 而不是 $T$ 的逆, 因为还没有定义逆运算.]

从 $V$ 到 $W$ 的函数称为可逆的, 如果存在一个从 $W$ 到 $V$ 的函数 $U$ 满足 $U T$ 是 $V$ 上的恒等函数而 $T U$ 是 $W$ 上的恒等函数. 如果 $T$ 是可逆的, 那么函数 $U$ 是唯一的, 我们将其记作 $T^{- 1}$ . (见附录.) 而且, $T$ 可逆当且仅当

$T$ 是一一的, 即 $T α = T β$ 可以推出 $α = β$ ;
$T$ 是映上的, 即 $T$ 的像是(整个的) $W$ .

[译注: 一一和映上是过时的术语, 之后我们将用单射和满射.]

定理7. 令

V

和

W

是域

F

上的向量空间, 令

T

是从

V

到

W

的线性变换. 如果

T

是可逆的, 那么逆函数是一个从

W

到

V

的线性变换. [译注: 这里说的可逆是函数的可逆.]

证明. 这里我们重复以强调一个点. 当

T

是单射且是满射, 那么存在唯一决定的从

W

到

V

的逆函数

T^{- 1}

满足

T^{- 1} T

是

V

上的恒等函数而

T T^{- 1}

是

W

上的恒等函数. 现在我们要证明的是, 如果线性函数

T

是可逆的, 那么其逆

T^{- 1}

也是线性的.
令

β_{1}

和

β_{2}

是

W

的向量而

c

是一个标量, 我们想要证明

T^{- 1} (c β_{1} + β_{2}) = c T^{- 1} β_{1} + T^{- 1} β_{2} .

令

α_{i} = T^{- 1} β_{i}, i = 1, 2

, 即令

α_{i}

是

V

中唯一满足

T α_{i} = β_{i}

的向量. 既然

T

是线性的, 那么

\begin{array}{rcl} T (c α_{1} + α_{2}) & = & c T α_{1} + T α_{2} \\ = & c β_{1} + β_{2} \end{array}

因此

c α_{1} + α_{2}

是

V

中唯一的由

T

送至

c β_{1} + β_{2}

的向量, 于是

\begin{array}{rcl} T^{- 1} (c β_{1} + β_{2}) & = & c α_{1} + α_{2} \\ = & c (T^{- 1} β_{1}) + T^{- 1} β_{2} \end{array}

◻

设我们有一个从 $V$ 到 $W$ 的可逆的线性变换 $T$ 和一个从 $W$ 到 $Z$ 的可逆的线性变换 $U$ , 那么 $U T$ 是可逆的并且 ${(U T)}^{- 1} = T^{- 1} U^{- 1}$ . 这个结论并不需要线性性质, 也不需要分开检验 $U T$ 是单射和满射. 所有需要做的事情只是验证 $T^{- 1} U^{- 1}$ 既是 $U T$ 的左逆也是 $U T$ 的右逆.

如果 $T$ 是线性的, 那么 $T (α - β) = T α - T β$ . 因此, $T α = T β$ 当且仅当 $T (α - β) = 0$ . 这极大地简化了对于 $T$ 是否为单射的验证. 让我们称一个线性变换是非奇异的, 如果 $T γ = 0$ 可以推出 $γ = 0$ , 即 $T$ 的零空间是 ${0}$ . 显然, $T$ 是单射当且仅当 $T$ 非奇异. 这个评注的一个扩展是非奇异的线性变换就是那些保持线性无关的线性变换.

定理8. 令

T

是一个从

V

到

W

的线性变换, 那么

T

是非奇异的当且仅当

V

的每个线性无关子集在

T

下的像是

W

的线性无关子集.

证明. 首先设

T

是非奇异的. 令

S

是

V

的一个线性无关子集. 如果

α_{1}, \dots, α_{k}

是

S

中的向量 [译注: 不同的向量], 那么

T α_{1}, \dots, T α_{k}

是线性无关的, 因为如果

c_{1} (T α_{1}) + \dots + c_{k} (T α_{k}) = 0

那么

T (c_{1} α_{1} + \dots + c_{k} α_{k}) = 0

既然

T

是非奇异的, 那么

c_{1} α_{1} + \dots + c_{k} α_{k} = 0

从中我们可以得出每个

c_{i} = 0

, 因为

S

是一个线性无关的集合. 这个论证表明

S

在

T

下的像是线性无关的.
设

T

将线性无关的子集映射至线性无关的子集. 令

α

是

V

的一个非零向量, 那么仅包含

α

的集合

S

是线性无关的.

S

的像是仅包含向量

T α

的集合, 而这个集合是线性无关的. 因而

T α \neq 0

, 否则的话就是线性相关的了. 这表明

T

的零空间是零子空间, 即

T

是非奇异的.

◻

例子11. 令

F

是一个复数域的子域 (或者特征为零的域), 令

V

是域

F

上的多项式函数的空间. 考虑例子9的微分算子

D

和"乘上

x

"的算子

T

. 既然

D

将每个常函数送至

0

D

是奇异的. 然而, 因为

V

不是有限维的,

D

的像是整个

V

, 于是定义一个

D

的右逆是有可能的. 例如, 如果

E

是不定积分算子:

E (c_{0} + c_{1} x + \dots + c_{n} x^{n}) = c_{0} x + \frac{1}{2} c_{1} x^{2} + \dots + \frac{1}{n + 1} c_{n} x^{n + 1}

那么

E

是

V

上的线性算子并且

D E = I

. 另一方面,

E D \neq I

, 因为

E D

将每个常函数都送至

0

. 与之相对地, 算子

T

是非奇异的, 因为如果对于每个

x

有

x f (x) = 0

, 那么

f = 0

. 因此, 可以找到

T

的一个左逆. 例如, 如果

U

是"移除常数项并除以

x

"的操作:

U (c_{0} + c_{1} x + \dots + c_{n} x^{n}) = c_{1} + c_{2} x + \dots + c_{n} x^{n - 1}

那么

U

是一个

V

上的线性算子并且

U T = I

. 但是

T U \neq I

, 因为每个

T U

的像中的函数自然也在

T

的像中, 而

T

的像是所有满足

f (0) = 0

的函数

f

构成的空间. [译注: 而不是整个

V

例子12. 令

F

是一个域而

T

是一个

F^{2}

上的线性算子, 其由

T (x_{1}, x_{2}) = (x_{1} + x_{2}, x_{1})

定义. 那么,

T

是非奇异的, 因为如果

T (x_{1}, x_{2}) = 0

, 我们有

{\begin{matrix} x_{1} & + & x_{2} & = & 0 \\ x_{1} & = & 0 \end{matrix}

于是

x_{1} = x_{2} = 0

. 我们也看出

T

是满射, 因为如果令

(z_{1}, z_{2})

是

F^{2}

中任意的向量, 为了证明

(z_{1}, z_{2})

在

T

的像中, 我们必须找出满足

{\begin{matrix} x_{1} & + & x_{2} & = & z_{1} \\ x_{1} & = & z_{2} \end{matrix}

的标量

x_{1}

和

x_{2}

, 而

x_{1} = z_{2}, x_{2} = z_{1} - z_{2}

就是显而易见的解. 这个计算为我们提供了

T^{- 1}

的显式公式, 即

T^{- 1} (z_{1}, z_{2}) = (z_{2}, z_{1} - z_{2}) .

在例子11之中我们看到一个线性变换可能是非奇异的但不是满射, 或者可能是满射但不是非奇异的. 然而, 上面这个例子为我们刻画了一种情形, 其中例子11的这种事情不可能发生.

定理9. 令

V

和

W

是域

F

上的有限维向量空间, 并且

\dim V = \dim W

. 如果

T

是一个从

V

到

W

的线性变换, 那么以下陈述是等价的:

$T$ 是可逆的.
$T$ 是非奇异的.
$T$ 是满射, 即 $T$ 的像是 $W$ .

证明. 令

n = \dim V = \dim W

, 从定理2我们知道

rank (T) + nullity (T) = n .

既然

T

是非奇异的当且仅当

nullity (T) = 0

T

的像是

W

当且仅当

rank (T) = n

(因为

n = \dim W

), 而且零化度是

0

当且仅当秩为

n

, 那么

T

是非奇异的当且仅当

T (V) = W

. 于是, 只要ii或iii其中之一成立, 那么另一条也成立, 那么

T

就是可逆的了.

◻

我们提醒读者一下, 除非有限维和 $\dim V = \dim W$ 的条件都满足, 否则就不要应用定理9. 在定理9的假设下, 条件i, ii, iii还等价于以下陈述.

如果 ${α_{1}, \dots, α_{n}}$ 是 $V$ 的一个基, 那么 ${T α_{1}, \dots, T α_{n}}$ 是 $W$ 的一个基.
存在 $V$ 的某个基 ${α_{1}, \dots, α_{n}}$ 使得 ${T α_{1}, \dots, T α_{n}}$ 是 $W$ 的一个基.

我们将给出一个这五个条件等价的证明, 它不同于之前给出的三个条件等价的证明.

i推出ii. 如果 $T$ 是可逆的, $T$ 当然是非奇异的. ii推出iii. 设 $T$ 是非奇异的. 令 ${α_{1}, \dots, α_{n}}$ 是 $V$ 的一个基, 那么根据定理8, ${T α_{1}, \dots, T α_{n}}$ 是 $W$ 的一个线性无关集合. 而且, 因为 $W$ 的维数也是 $n$ , 所以这个集合也构成了 $W$ 的一个基. 现在令 $β$ 是 $W$ 任意的向量, 那么存在标量 $c_{1}, \dots, c_{n}$ 满足 $\begin{array}{rcl} β & = & c_{1} (T α_{1}) + \dots + c_{n} (T α_{n}) \\ = & T (c_{1} α_{1} + \dots + c_{n} α_{n}) \end{array}$ 这表明 $β$ 在 $T$ 的像之中. iii推出iv. 现在我们假定 $T$ 是满射. 如果 ${α_{1}, \dots, α_{n}}$ 是 $V$ 任意的基, 那么 ${T α_{1}, \dots, T α_{n}}$ 可以张成 $T$ 的像, 根据假设也就是整个 $W$ . 既然 $W$ 的维数是 $n$ , 那么这 $n$ 个向量必然是线性无关的, 也就是说构成了 $W$ 的一个基. iv推出v. 这不需要证明. v推出i. 设存在 $V$ 的某个基满足 ${T α_{1}, \dots, T α_{n}}$ 是 $W$ 的一个基. 既然 $T α_{i}$ 可以张成 $W$ , 那么显然 $T$ 的像是整个 $W$ . 如果 $α = c_{1} α_{1} + \dots + c_{n} α_{n}$ 在 $T$ 的零空间之中, 那么 $T (c_{1} α_{1} + \dots + c_{n} α_{n}) = 0$ 或者 $c_{1} (T α_{1}) + \dots + c_{n} (T α_{n}) = 0$ 既然 $T α_{i}$ 是线性无关的, 那么每个 $c_{i} = 0$ , 因此 $α = 0$ . 我们已经证明了 $T$ 的像是 $W$ 和 $T$ 是非奇异的, 所以 $T$ 是可逆的.

一个空间 $V$ 上的可逆线性算子, 连带着复合运算, 提供了一个代数中被称为"群"的例子. 尽管我们没有时间细致地讨论群, 但是我们至少可以给出群的定义.

定义. 一个群由以下资料构成.

一个集合 $G$ ;
一个法则 (或者说一个运算), 其联系G中每对元素x和y以一个G中元素x⁢y, 并且满足
1. 对于所以 $G$ 中 $x, y, z$ , $x (y z) = (x y) z$ ;
2. 存在一个 $G$ 中的元素 $e$ 满足对于每个 $G$ 中的 $x$ 有 $e x = x e = x$ ;
3. 对于每个 $G$ 的元素 $x$ 存在一个 $G$ 中元素 $x^{- 1}$ 与之对应, 满足 $x x^{- 1} = x^{- 1} x = e$ .

我们已经证明了复合 $(U, T) \mapsto U T$ 联系空间 $V$ 上的每对可逆线性算子以另一个 $V$ 上的可逆线性算子. 复合是一个结合运算. 恒等算子 $I$ 对于每个 $T$ 有 $I T = T I = T$ . 对于可逆的 $T$ , (根据定理7)存在一个可逆的线性算子 $T^{- 1}$ 满足 $T T^{- 1} = T^{- 1} T = I$ . 因此, $V$ 上的可逆线性算子的集合, 连带着复合运算, 构成了一个群. 以矩阵乘法作为运算的 $n \times n$ 可逆矩阵的集合是另一个群的例子. 一个群是交换的, 如果它满足对于每个 $x$ 和 $y$ 有 $x y = y x$ . 以上两个我们给出的例子一般不是交换群. 人们经常将交换群的运算写成 $(x, y) \mapsto x + y$ 而不是 $(x, y) \mapsto x y$ , 并用符号 $0$ 表示"恒元" $e$ . 向量空间的向量的集合, 连带着向量加法, 是一个交换群. 一个域可以被描述为一个带有加法和乘法运算的集合, 其在加法下是一个交换群, 而非零元素在乘法下也构成了一个交换群, 并且分配律 $x (y + z) = x y + x z$ 成立.

练习1. 令

T

和

U

是

ℝ^{2}

上由

T (x_{1}, x_{2}) = (x_{2}, x_{1}) 和 U (x_{1}, x_{2}) = (x_{1}, 0)

定义的线性算子.

如何几何地描述 $T$ 和 $U$ ?
像定义 $T$ 和 $U$ 一样给出刻画 $(U + T), U T, T U, T^{2}, U^{2}$ 的规则.

练习2. 令

T

是

ℂ^{3}

上满足

T ε_{1} = (1, 0, i), T ε_{2} = (0, 1, 1), T ε_{3} = (i, 1, 0)

的(唯一的)线性算子.

T

可逆吗?

练习3. 令

T

是

ℝ^{3}

上由

T (x_{1}, x_{2}, x_{3}) = (3 x_{1}, x_{1} - x_{2}, 2 x_{1} + x_{2} + x_{3})

定义的线性算子.

T

可逆吗? 如果可逆的话, 像定义

T

一样给出

T^{- 1}

的规则.

练习4. 对于练习3的线性算子

T

, 证明

(T^{2} - I) (T - 3 I) = 0 .

练习5. 令

B = [\begin{matrix} 1 & - 1 \\ - 4 & 4 \end{matrix}]

令

T

是由

T (A) = B A

定义的

ℂ^{2 \times 2}

上的线性算子.

T

的秩是多少? 你能描述

T^{2}

吗?

练习6. 令

T

是从

ℝ^{3}

到

ℝ^{2}

的线性变换, 令

U

是从

ℝ^{2}

到

ℝ^{3}

的线性变换. 证明变换

U T

是不可逆的. 给出这个定理的一般化版本.

练习7. 找出

ℝ^{2}

上两个线性算子

T

和

U

满足

T U = 0

但是

U T \neq 0

练习8. 令

V

是域

F

上的向量空间, 令

T

是

V

上的一个线性算子. 如果

T^{2} = 0

, 关于

T

的像和零空间的关系你有什么可说的? 给出一个

ℝ^{2}

上的线性算子

T

的例子, 其满足

T^{2} = 0

但

T \neq 0

练习9. 令

T

是有限维向量空间

V

上的一个线性算子. 设存在一个

V

上的线性算子

U

满足

T U = I

. 证明

T

是可逆的, 并且

U = T^{- 1}

. 给出一个例子表明在

V

不是有限维的情况下这是错的. (提示: 令

T = D

, 多项式函数空间上的微分算子.)

练习10. 令

A

是域

F

上的一个

m \times n

矩阵, 令

T

是由

T (X) = A X

定义的从

F^{n \times 1}

到

F^{m \times 1}

的线性变换. 说明在

m < n

的情况下

T

可以是满射但不是非奇异的. 类似地, 说明在

m > n

的情况下

T

可以是非奇异的但不是满射.

练习11. 令

V

是一个有限维向量空间, 令

T

是

V

上的一个线性算子. 设

rank (T^{2}) = rank (T)

. 证明

T

的像和零空间是不相交的 (disjoint), 即只有零向量作为共同元素.

练习12. 令

p, m, n

是正整数而

F

是一个域. 令

V

是域

F

上的

m \times n

矩阵的空间,

W

是域

F

上的

p \times n

矩阵的空间. 令

B

是一个固定的

p \times m

矩阵而

T

是一个由

T (A) = B A

定义的从

V

到

W

的线性变换. 证明

T

可逆当且仅当

p = m

且

B

是一个可逆的

m \times m

矩阵.

第3.3节同构

如果 $V$ 和 $W$ 是域 $F$ 上的向量空间, 那么任何从 $V$ 到 $W$ 的双射的线性变换 $T$ 都被称为从 $V$ 到 $W$ 的同构. 如果存在从 $V$ 到 $W$ 的同构, 那么就称 $V$ 同构于 $W$ . [译注: 更直接和正确的说法其实是可逆而不是双射, 不过在向量空间的情况下这二者是等价的.]

注意到 $V$ 平凡地同构于 $V$ , 恒等算子是一个从 $V$ 到 $V$ 的同构. 并且, 如果 $V$ 通过 $T$ 同构于 $W$ , 那么 $W$ 也同构于 $V$ , 因为 $T^{- 1}$ 是一个从 $W$ 到 $V$ 的同构. 读者应该很容易验证如果 $V$ 同构于 $W$ 且 $W$ 同构于 $Z$ , 那么 $V$ 同构于 $Z$ . 简而言之, 同构是向量空间的类上的等价关系. [译注: 这里的用词是class而不是set, 因为所有的向量空间的确不构成一个集合.] 当存在一个从 $V$ 到 $W$ 的同构时, 我们有时也说 $V$ 和 $W$ 是同构的, 而不说 $V$ 同构于 $W$ . 鉴于 $V$ 同构于 $W$ 当且仅当 $W$ 同构于 $V$ , 这不会引起歧义.

定理10. 每个域

F

上的

n

维向量空间都同构于空间

F^{n}

证明. 令

V

是域

F

上的

n

维向量空间, 令

𝔅 = {α_{1}, \dots, α_{n}}

是

V

的一个有序基. 我们按照以下方式定义从

V

到

F^{n}

的函数

T

: 如果

α

在

V

中, 令

T α

是

α

相对于有序基

𝔅

的坐标

n

元组

(x_{1}, \dots, x_{n})

, 即满足

α = x_{1} α_{1} + \dots + x_{n} α_{n}

的

n

元组. 根据我们第2章对于坐标的讨论, 我们验证这个

T

是线性的且是双射的.

◻

出于许多目的我们可以将同构的向量空间视为"相同的", 尽管空间中的向量和运算可能是相当不同的. 我们目前不会详细讨论这个想法, 但将在我们对于向量空间的研究中积累对于同构的理解以及同构空间是"相同的"这个感觉.

我们将作出一些简要的评注. 设 $T$ 是一个从 $V$ 到 $W$ 的同构. 如果 $S$ 是 $V$ 的一个子集, 那么定理8告诉我们 $S$ 是线性无关的当且仅当集合 $T (S)$ 在 $W$ 中是线性无关的. 因此, 在判断 $S$ 是否线性无关时, 检视 $S$ 还是 $T (S)$ 是无关紧要的. 从中我们可以看出, 同构是"维数保持的", 也就是说对于 $V$ 任意的有限维子空间, 其在 $T$ 下的像有着相同的维数. 现在我们给出这个想法的一个非常简单的刻画. 设 $A$ 是域 $F$ 上的一个 $m \times n$ 矩阵, 实际上我们给过两种对于矩阵 $A$ 的解空间的定义. 第一种是 $F^{n}$ 中所有满足线性方程组 $A X = 0$ 的每个方程的 $n$ 元组 $(x_{1}, \dots, x_{n})$ 构成的集合. 第二种是所有满足 $A X = 0$ 的 $n \times 1$ 列矩阵 $X$ 构成的集合. 第一种解空间是 $F^{n}$ 的子空间, 第二种解空间是 $F^{n \times 1}$ 的子空间. 实际上 $F^{n}$ 和 $F^{n \times 1}$ 之间有一个显见的同构, 即 $(x_{1}, \dots, x_{n}) \mapsto [\begin{matrix} x_{1} \\ ⋮ \\ x_{n} \end{matrix}] .$ 在这个同构下, $A$ 的第一种解空间被映射至第二种解空间. 这两个空间有着相同的维数, 于是在证明关于解空间的维数的定理时, 选择那个空间来讨论是无关紧要的. 实际上, 读者或许并不会产生一点犹豫, 如果我们选择将 $F^{n}$ 和 $F^{n \times 1}$ 视为等同的. 当方便的时候, 我们就会这么做, 而不方便的时候, 我们就不这么做.

练习1. 令

V

是复数集, 令

F

是实数域. 在通常的运算下,

V

是

F

上的一个向量空间. 显式描述一个从该空间到

ℝ^{2}

的同构.

练习2. 令

V

是复数域上的向量空间, 并设存在一个从

V

到

ℂ^{3}

的同构

T

. 令

α_{1}, α_{2}, α_{3}, α_{4}

是

V

中向量, 满足

T α_{1} = (1, 0, i), T α_{2} = (- 2, 1 + i, 0), T α_{3} = (- 1, 1, 1), T α_{4} = (\sqrt{2}, i, 3) .

$α_{1}$ 在 $α_{2}$ 和 $α_{3}$ 张成的子空间中吗?
令 $W_{1}$ 是 $α_{1}$ 和 $α_{2}$ 张成的子空间, 令 $W_{2}$ 是 $α_{3}$ 和 $α_{4}$ 张成的子空间, 那么 $W_{1}$ 和 $W_{2}$ 的交是什么呢?
找出一个这四个向量 $α_{j}$ 张成的 $V$ 的子空间的基.

练习3. 令

W

是所有

2 \times 2

的复Hermite矩阵构成的集合. 正如我们在第2章的例子6中所指出的, 在通常的运算下,

W

是一个实数域上的向量空间. 验证

(x, y, z, t) \mapsto [\begin{matrix} t + x & y + i z \\ y - i z & t - x \end{matrix}]

是一个从

ℝ^{4}

到

W

的同构.

练习4. 表明

F^{m \times n}

同构于

F^{m n}

练习5. 令

V

是复数集, 其可以被视为实数域上的向量空间 (练习1). 我们按照以下方式定义一个从

V

到

2 \times 2

实矩阵空间的函数

T

. 如果

z = x + i y

, 其中

x

和

y

是实数, 那么

T (z) = [\begin{matrix} x + 7 y & 5 y \\ - 10 y & x - 7 y \end{matrix}] .

验证 $T$ 是一个单射的(实)线性变换.
验证 $T (z_{1} z_{2}) = T (z_{1}) T (z_{2})$ .
你如何描述 $T$ 的像?

练习6. 令

V

和

W

是域

F

上的有限维向量空间. 证明

V

和

W

同构当且仅当

\dim V = \dim W

练习7. 令

V

和

W

是域

F

上的向量空间,

U

是一个从

V

到

W

的同构. 证明

T \mapsto U T U^{- 1}

是一个从

L (V, V)

到

L (W, W)

的同构.

第3.4节通过矩阵表示变换

令 $V$ 是域 $F$ 上的 $n$ 维向量空间, 令 $W$ 是域 $F$ 上的 $m$ 维向量空间. 令 $𝔅 = {α_{1}, \dots, α_{n}}$ 是 $V$ 的一个有序基, 令 $𝔅^{'} = {β_{1}, \dots, β_{m}}$ 是 $W$ 的一个有序基. 如果 $T$ 是任意的从 $V$ 到 $W$ 的线性变换, 那么 $T$ 由其施加于向量 $α_{j}$ 的作用决定. 每个向量 $T α_{j}$ 皆可唯一地表示为 $β_{i}$ 的线性组合 $T α_{j} = \sum_{i = 1}^{m} A_{i, j} β_{i}$ 其中 $A_{1, j}, \dots, A_{m, j}$ 是 $T α_{j}$ 在有序基 $𝔅^{'}$ 下的坐标. 于是, 变换 $T$ 可由 $m n$ 个标量 $A_{i, j}$ 决定. 由 $A (i, j) = A_{i, j}$ 定义的 $m \times n$ 矩阵 $A$ 被称为 $T$ 相对于有序基 $𝔅$ 和 $𝔅^{'}$ 的矩阵. 我们即时的任务在于显式地理解矩阵 $A$ 是如何决定线性变换 $T$ 的.

如果 $α = x_{1} α_{1} + \dots + x_{n} α_{n}$ 是 $V$ 中的一个向量, 那么 $\begin{array}{rcl} T α & = & T (\sum_{j = 1}^{n} x_{j} α_{j}) \\ = & \sum_{j = 1}^{n} x_{j} (T α_{j}) \\ = & \sum_{j = 1}^{n} x_{j} \sum_{i = 1}^{m} A_{i, j} β_{i} \\ = & \sum_{i = 1}^{m} (\sum_{j = 1}^{n} A_{i, j} x_{j}) β_{i} \end{array}$ 如果 $X$ 是 $α$ 在有序基 $𝔅$ 下的坐标矩阵, 那么以上的计算表明 $A X$ 是向量 $T α$ 在有序基 $𝔅^{'}$ 下的坐标矩阵, 因为标量 $\sum_{j = 1}^{n} A_{i, j} x_{j}$ 是列矩阵 $A X$ 第 $i$ 行的元素. 让我们也观察到如果 $A$ 是域 $F$ 上任意的 $m \times n$ 矩阵, 那么 $T (\sum_{j = 1}^{n} x_{j} α_{j}) = \sum_{i = 1}^{m} (\sum_{j = 1}^{n} A_{i, j} x_{j}) β_{i}$ 定义了一个从 $V$ 到 $W$ 的线性变换 $T$ , 并且其相对于 $𝔅$ 和 $𝔅^{'}$ 的矩阵是 $A$ . 我们形式地总结如下:

定理11. 令

V

是域

F

上的

n

维向量空间, 令

W

是域

F

上的

m

维向量空间. 令

𝔅 = {α_{1}, \dots, α_{n}}

是

V

的一个有序基, 令

𝔅^{'} = {β_{1}, \dots, β_{m}}

是

W

的一个有序基. 对于每个从

V

到

W

的线性变换

T

, 存在一个域

F

上的

m \times n

矩阵

A

满足

{[T α]}_{𝔅^{'}} = A {[α]}_{𝔅}

对于每个

V

中向量

α

成立. 并且,

T \mapsto A

是一个从所有从

V

到

W

的线性变换构成的集合到所有域

F

上的

m \times n

矩阵构成的集合的一一对应.

定理11中与 $T$ 相关联着的矩阵 $A$ 被称为 $T$ 相对于有序基 $𝔅$ 和 $𝔅^{'}$ 的矩阵. 注意到式子 $T α_{j} = \sum_{i = 1}^{m} A_{i, j} β_{i}$ 是说矩阵 $A$ 的列 $A_{1}, \dots, A_{n}$ 由 $A_{j} = {[T α_{j}]}_{𝔅^{'}}, j = 1, \dots, n$ 给出. 如果 $U$ 是另一个从 $V$ 到 $W$ 的线性变换, 并且 $B = [B_{1}, \dots, B_{n}]$ 是 $U$ 相对于有序基 $𝔅$ 和 $𝔅^{'}$ 的矩阵, 那么 $c A + B$ 是 $c T + U$ 相对于有序基 $𝔅$ 和 $𝔅^{'}$ 矩阵. 这是显然的, 因为 $\begin{array}{rcl} c A_{j} + B_{j} & = & c {[T α_{j}]}_{𝔅^{'}} + {[U α_{j}]}_{𝔅^{'}} \\ = & {[c T α_{j} + U α_{j}]}_{𝔅^{'}} \\ = & {[(c T + U) α_{j}]}_{𝔅^{'}} \end{array}$

定理12. 令

V

是域

F

上的

n

维向量空间, 令

W

是域

F

上的

m

维向量空间. 对于

V

和

W

相应的每对有序基

𝔅

和

𝔅^{'}

, 为线性变换

T

赋予其相对于

𝔅

和

𝔅^{'}

的矩阵的函数是一个空间

L (V, W)

和

F^{m \times n}

之间的同构.

证明. 我们观察到这个函数是线性的 [译注: 就是上一段], 并且如定理11所言, 这个函数是

L (V, W)

和

F^{m \times n}

之间的双射.

◻

我们将特别关心从一个空间到自身的线性变换的矩阵表示, 也就是线性算子的矩阵表示. 在这种情况下使用相同的基是方便的, 即取 $𝔅 = 𝔅^{'}$ . 我们将称这个表示矩阵为 $T$ 相对于有序基 $𝔅$ 的矩阵. 因为这个概念是如此重要, 以至于我们将重复这个定义. 如果 $T$ 是有限维向量空间 $V$ 上的一个线性算子而 $𝔅 = {α_{1}, \dots, α_{n}}$ 是 $V$ 的一个有序基, 那么 $T$ 相对于 $𝔅$ 的矩阵 (或者说, $T$ 在有序基 $𝔅$ 下的矩阵) 是一个 $n \times n$ 矩阵 $A$ , 其元素 $A_{i, j}$ 由式子 $T α_{j} = \sum_{i = 1}^{n} A_{i, j} α_{i}, j = 1, \dots, n$ 定义. 读者必须记住这个表示 $T$ 的矩阵依赖于有序基 $𝔅$ , 而 $V$ 的每个有序基下都有一个 $T$ 的表示矩阵. (如果是从一个空间 $V$ 到另一个空间 $W$ 的线性变换, 那就是依赖于两个有序基, 一个是 $V$ 的有序基, 另一个是 $W$ 的有序基.) 为了不忘记这个依赖关系, 我们将使用记号 ${[T]}_{𝔅}$ 表示线性算子 $T$ 在有序基 $𝔅$ 下的矩阵. 这个矩阵以及相关的有序基刻画 $T$ 的方式在于对于每个 $V$ 中的 $α$ 有 ${[T α]}_{𝔅} = {[T]}_{𝔅} {[α]}_{𝔅} .$

例子13. 令

V

是域

F

上的

n \times 1

列矩阵构成的空间, 令

W

是域

F

上的

m \times 1

列矩阵构成的空间, 令

A

是域

F

上一个固定的

m \times n

矩阵. 令

T

是一个从

V

到

W

的线性变换, 由

T (X) = A X

定义. 令

𝔅

是

V

的有序基, 其类似于

F^{n}

的标准有序基, 也就是说,

𝔅

的第

i

个向量是

n \times 1

矩阵

X_{i}

, 其第

i

行是

1

, 而其他元素为

0

. 令

𝔅^{'}

是

W

的有序基, 其定义方式与

V

的这个有序基类似. 那么,

T

相对于

𝔅

和

𝔅^{'}

的矩阵就是

A

本身. 这是显然的, 因为矩阵

A X_{j}

就是

A

的第

j

列.

例子14. 令

F

是一个域, 令

T

是

F^{2}

上的一个线性算子, 由

T (x_{1} x_{2}) = (x_{1}, 0)

定义. 令

𝔅

是

F^{2}

的标准有序基,

𝔅 = (ε_{1}, ε_{2})

. 既然

T ε_{1} = T (1, 0) = (1, 0) = 1 ε_{1} + 0 ε_{2}, T ε_{2} = T (0, 1) = (0, 0) = 0 ε_{1} + 0 ε_{2},

那么

T

在有序基

𝔅

下的矩阵是

{[T]}_{𝔅} = [\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}] .

例子15. 令

V

是所有具有形式

f (x) = c_{0} + c_{1} x + c_{2} x^{2} + c_{3} x^{3}

的从

ℝ

到

ℝ

的多项式函数构成的向量空间, 即次数小于等于三的多项式函数的空间. 例子2的微分算子

D

映射

V

至

V

, 鉴于

D

是"降次的". 令

𝔅

是

V

的有序基, 其由四个函数

f_{1}, f_{2}, f_{3}, f_{4}

构成, 通过

f_{j} (x) = x^{j - 1}

定义, 那么

\begin{matrix} (D f_{1}) (x) & = & 0, & D f_{1} & = & 0 f_{1} + 0 f_{2} + 0 f_{3} + 0 f_{4} \\ (D f_{2}) (x) & = & 1, & D f_{2} & = & 1 f_{1} + 0 f_{2} + 0 f_{3} + 0 f_{4} \\ (D f_{3}) (x) & = & 2 x, & D f_{3} & = & 0 f_{1} + 2 f_{2} + 0 f_{3} + 0 f_{4} \\ (D f_{4}) (x) & = & 3 x^{2}, & D f_{4} & = & 0 f_{1} + 0 f_{2} + 3 f_{3} + 0 f_{4} \end{matrix}

于是

D

在有序基

𝔅

下的矩阵是

{[D]}_{𝔅} = [\begin{matrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix}] .

我们已经见过把变换相加时表示矩阵会怎么变化了, 即把矩阵相加. 现在我们想问把变换复合起来时会发生些什么. 更准确地说, 令 $V, W, Z$ 是域 $F$ 上相应维数为 $n, m, p$ 的向量空间. 令 $T$ 是一个从 $V$ 到 $W$ 的线性变换, 令 $U$ 是一个从 $W$ 到 $Z$ 的线性变换. 设 $V, W, Z$ 相应的有序基分别为 $𝔅 = {α_{1}, \dots, α_{n}}, 𝔅^{'} = {β_{1}, \dots, β_{m}}, 𝔅^{″} = {γ_{1}, \dots, γ_{p}} .$ 令 $A$ 是 $T$ 相对于 $𝔅$ 和 $𝔅^{'}$ 的矩阵, 令 $B$ 是 $U$ 相对于 $𝔅^{'}$ 和 $𝔅^{″}$ 的矩阵. 那么, 很容易看出来变换 $U T$ 相对于 $𝔅$ 和 $𝔅^{″}$ 的矩阵 $C$ 就是 $B$ 和 $A$ 的积. 这是因为, 如果 $α$ 是 $V$ 中任意的向量, 那么 ${[T α]}_{𝔅^{'}} = A {[α]}_{𝔅}, {[U (T α)]}_{𝔅^{″}} = B {[T α]}_{𝔅^{'}}$ 于是 ${[(U T) (α)]}_{𝔅^{″}} = (B A) {[α]}_{𝔅}$ 根据表示矩阵的定义和唯一性, 我们必有 $C = B A$ . 读者也可通过施行以下计算来看出这点. $\begin{array}{rcl} (U T) (α_{j}) & = & U (T α_{j}) \\ = & U (\sum_{k = 1}^{m} A_{k, j} β_{k}) \\ = & \sum_{k = 1}^{m} A_{k, j} (U β_{k}) \\ = & \sum_{k = 1}^{m} A_{k, j} \sum_{i = 1}^{p} B_{i, k} γ_{i} \\ = & \sum_{i = 1}^{p} (\sum_{k = 1}^{m} B_{i, k} A_{k, j}) γ_{i} \end{array}$ 于是我们必有 $C_{i, j} = \sum_{k = 1}^{m} B_{i, k} A_{k, j} .$ 之前我们定义矩阵乘法的动机在于矩阵行上的操作. 这里我们看到线性变换的复合也提供了强烈的动机. 让我们形式化地总结一下这个结果.

定理13. 令

V, W, Z

是域

F

上的有限维向量空间. 令

T

是从

V

到

W

的线性变换,

U

是从

W

到

Z

的线性变换. 如果

𝔅, 𝔅^{'}, 𝔅^{″}

分别是

V, W, Z

的有序基, 如果

A

是

T

相对于

𝔅

和

𝔅^{'}

的矩阵,

B

是

U

相对于

𝔅^{'}

和

𝔅^{″}

的矩阵, 那么变换的复合

U T

相对于

𝔅

和

𝔅^{″}

的矩阵是积

C = B A

注意到定理13给我们了一个矩阵乘法是结合运算的证明, 这个证明不需要计算, 并且独立于我们在第1章给出的证明. 我们还应该指出我们在例子10中证明了定理13的特殊情况. [译注: 原文是例子12, 疑似应该是例子10.]

如果 $T$ 和 $U$ 是空间 $V$ 上的线性算子, 并且我们以单一的有序基 $𝔅$ 表示这两个变换, 那么定理13呈现出特别简单的形式 ${[U T]}_{𝔅} = {[U]}_{𝔅} {[T]}_{𝔅}$ . 因此, 在这种情况下由 $𝔅$ 所决定的算子和矩阵之间的对应不仅是向量空间的同构, 还保持乘法. 这个事实的一个简单推论是线性算子 $T$ 可逆当且仅当矩阵 ${[T]}_{𝔅}$ 可逆. 这是因为恒等算子 $I$ 在任意的有序基下都由恒等矩阵表示, 于是 $U T = T U = I$ 等价于 ${[U]}_{𝔅} {[T]}_{𝔅} = {[T]}_{𝔅} {[U]}_{𝔅} = I .$ 当然, $T$ 可逆时有 ${[T^{- 1}]}_{𝔅} = {[T]}_{𝔅}^{- 1} .$

现在我们想要探究当有序基改变时表示矩阵会怎样变化. 为了简单起见, 我们将只考虑空间 $V$ 上的线性算子, 于是我们可以只使用一个有序基. 我们想问的特定问题如下. 令 $T$ 是有限维向量空间 $V$ 上的一个线性算子, 并令 $𝔅 = {α_{1}, \dots, α_{n}} 和 𝔅^{'} = {α_{1}^{'}, \dots, α_{n}^{'}}$ 是 $V$ 的两个有序基. 矩阵 ${[T]}_{𝔅}$ 和 ${[T]}_{𝔅^{'}}$ 之间有什么联系呢? 正如我们在第2章所观察到的那样, 存在一个唯一的 $n \times n$ (可逆)矩阵 $P$ 满足对于每个 $V$ 的向量 $α$ 有 ${[α]}_{𝔅} = P {[α]}_{𝔅^{'}} .$ 这个矩阵即 $P = [P_{1}, \dots, P_{n}]$ , 其中 $P_{j} = {[α_{j}^{'}]}_{𝔅}$ . 根据定义, ${[T α]}_{𝔅} = {[T]}_{𝔅} {[α]}_{𝔅} .$ 将坐标变换公式应用于 $T α$ , 我们就得到 ${[T α]}_{𝔅} = P {[T α]}_{𝔅^{'}} .$ 结合这三个式子, 我们有 ${[T]}_{𝔅} P {[α]}_{𝔅^{'}} = P {[T α]}_{𝔅^{'}}$ 或是 $P^{- 1} {[T]}_{𝔅} P {[α]}_{𝔅^{'}} = {[T α]}_{𝔅^{'}}$ 因此就得到 ${[T]}_{𝔅^{'}} = P^{- 1} {[T]}_{𝔅} P .$ 这回答了我们的问题.

在形式化陈述这个结果之前, 让我们观察一下以下事实. 存在唯一的一个线性算子 $U$ 将有序基 $𝔅$ 映射成 $𝔅^{'}$ , 其由 $U α_{j} = α_{j}^{'}, j = 1, \dots, n$ 定义. 这个算子 $U$ 是可逆的, 因为它将 $V$ 的一个基映射至 $V$ 的另一个基. 上面的矩阵 $P$ 恰是 $U$ 在有序基 $𝔅$ 下的表示, 因为 $P$ 是由 $α_{j}^{'} = \sum_{i = 1}^{n} P_{i, j} α_{i}$ 定义的, 既然 $U α_{j} = α_{j}^{'}$ , 这个式子也可以写成 $U α_{j} = \sum_{i = 1}^{n} P_{i, j} α_{i}$ 于是 $P = {[U]}_{𝔅}$ , 根据定义.

定理14. 令

V

是一个域

F

上的有限维向量空间. 令

𝔅 = {α_{1}, \dots, α_{n}} 和 𝔅^{'} = {α_{1}^{'}, \dots, α_{n}^{'}}

是

V

的有序基. 设

T

是

V

上的一个线性算子. 如果

P = [P_{1}, \dots, P_{n}]

是一个以

P_{j} = {[α_{j}^{'}]}_{𝔅}

为列的

n \times n

矩阵, 那么

{[T]}_{𝔅^{'}} = P^{- 1} {[T]}_{𝔅} P .

或者说, 如果

U

是由

U α_{j} = α_{j}^{'}, j = 1, \dots, n

定义的

V

上的可逆线性算子, 那么

{[T]}_{𝔅^{'}} = {[U]}_{𝔅}^{- 1} {[T]}_{𝔅} {[U]}_{𝔅} .

例子16. 令

T

是

ℝ^{2}

上由

T (x_{1}, x_{2}) = (x_{1}, 0)

定义的线性算子. 在例子14中我们表明

T

在标准有序基

𝔅 = {ε_{1}, ε_{2}}

下的矩阵是

{[T]}_{𝔅} = [\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}] .

设

𝔅^{'}

是

ℝ^{2}

的有序基, 其由向量

ε_{1}^{'} = (1, 1)

和

ε_{2}^{'} = (2, 1)

构成, 那么

ε_{1}^{'} = ε_{1} + ε_{2}, ε_{2}^{'} = 2 ε_{1} + ε_{2}

于是

P

是矩阵

P = [\begin{matrix} 1 & 2 \\ 1 & 1 \end{matrix}] .

根据简单的计算

P^{- 1} = [\begin{matrix} - 1 & 2 \\ 1 & - 1 \end{matrix}] .

因此

\begin{array}{rcl} {[T]}_{𝔅^{'}} & = & P^{- 1} {[T]}_{𝔅} P \\ = & [\begin{matrix} - 1 & 2 \\ 1 & - 1 \end{matrix}] [\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}] [\begin{matrix} 1 & 2 \\ 1 & 1 \end{matrix}] \\ = & [\begin{matrix} - 1 & 2 \\ 1 & - 1 \end{matrix}] [\begin{matrix} 1 & 2 \\ 0 & 0 \end{matrix}] \\ = & [\begin{matrix} - 1 & - 2 \\ 1 & 2 \end{matrix}] \end{array}

我们很容易验证这是正确的, 因为

T ε_{1}^{'} = (1, 0) = - ε_{1}^{'} + ε_{2}^{'}, T ε_{2}^{'} = (2, 0) = - 2 ε_{1}^{'} + 2 ε_{2}^{'} .

例子17. 令

V

是从

ℝ

到

ℝ

的次数小于等于

3

的多项式函数构成的向量空间. 如例子15, 令

D

是

V

上的微分算子, 并令

𝔅 = {f_{1}, f_{2}, f_{3}, f_{4}}

是

V

的有序基, 其由

f_{i} (x) = x^{i - 1}

定义. 令

t

是一个实数, 定义

g_{i} (x) = {(x + t)}^{i - 1}

, 即

\begin{array}{l} g_{1} & = & f_{1} \\ g_{2} & = & t f_{1} + f_{2} \\ g_{3} & = & t^{2} f_{1} + 2 t f_{2} + f_{3} \\ g_{4} & = & t^{3} f_{1} + 3 t^{2} f_{2} + 3 t f_{3} + f_{4} \end{array}

既然矩阵

P = [\begin{matrix} 1 & t & t^{2} & t^{3} \\ 0 & 1 & 2 t & 3 t^{2} \\ 0 & 0 & 1 & 3 t \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}]

很容易看出来是可逆的, 并有

P^{- 1} = [\begin{matrix} 1 & - t & t^{2} & - t^{3} \\ 0 & 1 & - 2 t & 3 t^{2} \\ 0 & 0 & 1 & - 3 t \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}]

从中我们得知

𝔅^{'} = {g_{1}, g_{2}, g_{3}, g_{4}}

是

V

的一个有序基. 在例子15里, 我们发现

D

在有序基

𝔅

下的矩阵为

{[D]}_{𝔅} = [\begin{matrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix}] .

因此

D

相对于有序基

𝔅^{'}

的矩阵为

\begin{array}{rcl} P^{- 1} {[D]}_{𝔅} P & = & [\begin{matrix} 1 & - t & t^{2} & - t^{3} \\ 0 & 1 & - 2 t & 3 t^{2} \\ 0 & 0 & 1 & - 3 t \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}] [\begin{matrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix}] [\begin{matrix} 1 & t & t^{2} & t^{3} \\ 0 & 1 & 2 t & 3 t^{2} \\ 0 & 0 & 1 & 3 t \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}] \\ = & [\begin{matrix} 1 & - t & t^{2} & - t^{3} \\ 0 & 1 & - 2 t & 3 t^{2} \\ 0 & 0 & 1 & - 3 t \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}] [\begin{matrix} 0 & 1 & 2 t & 3 t^{2} \\ 0 & 0 & 2 & 6 t \\ 0 & 0 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix}] \\ = & [\begin{matrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix}] \end{array}

于是

D

在有序基

𝔅

和

𝔅^{'}

下由相同的矩阵表示. 当然, 或许我们可以更直接地看出这点来, 因为

D g_{1} = 0, D g_{2} = g_{1}, D g_{3} = 2 g_{2}, D g_{4} = 3 g_{3} .

这个例子刻画了很好的一点. 如果读者已知一个线性算子在某个有序基

𝔅

下的矩阵, 并想要找出其在另一个有序基

𝔅^{'}

下的矩阵, 经常的情况是使用可逆矩阵

P

施行坐标变换是最方便的. 然而, 有时直接诉诸定义来寻找表示矩阵可能要简单得多.

定义. 令

A

和

B

是域

F

上的

n \times n

矩阵. 我们称

B

在

F

上相似于

A

, 如果存在一个域

F

上的可逆矩阵

P

满足

B = P^{- 1} A P

根据定理14, 我们知道: 如果 $V$ 是一个域 $F$ 上的 $n$ 维向量空间而 $𝔅$ 和 $𝔅^{'}$ 是 $V$ 的两个有序基, 那么对于每个 $V$ 上的线性算子 $T$ , 矩阵 $B = {[T]}_{𝔅^{'}}$ 相似于矩阵 $A = {[T]}_{𝔅}$ . 我们也可以从另一个方向看待这个事情. 设 $A$ 和 $B$ 是域 $F$ 上的 $n \times n$ 矩阵, 令 $𝔅$ 是 $V$ 的一个有序基. 令 $T$ 是 $V$ 上的线性算子, 其在基 $𝔅$ 下由 $A$ 表示. 如果 $B = P^{- 1} A P$ , 令 $𝔅^{'}$ 是经 $P$ 由 $𝔅$ 得到的 $V$ 的有序基, 即 $α_{j}^{'} = \sum_{i = 1}^{n} P_{i, j} α_{i},$ 那么 $T$ 在有序基 $𝔅^{'}$ 下的矩阵就是 $B$ .

因此, 陈述 $B$ 相似于 $A$ 意味着在每个域 $F$ 上的 $n$ 维空间上, 矩阵 $A$ 和 $B$ 在两个(可能)不同的有序基下表示着相同的线性变换.

注意到每个 $n \times n$ 矩阵 $A$ 都相似于自身, 只需令 $P = I$ ; 如果 $B$ 相似于 $A$ , 那么 $A$ 相似于 $B$ , 因为 $B = P^{- 1} A P$ 可以推出 $A = {(P^{- 1})}^{- 1} B P^{- 1}$ ; 如果 $B$ 相似于 $A$ 而 $C$ 相似于 $B$ , 那么 $C$ 相似于 $A$ , 因为 $B = P^{- 1} A P$ 和 $C = Q^{- 1} B Q$ 可以推出 $C = {(P Q)}^{- 1} A (P Q)$ . 因此, 相似性是域 $F$ 上的 $n \times n$ 矩阵的集合上的一个等价关系. 读者还应该注意到唯一与恒等矩阵 $I$ 相似的矩阵就是 $I$ 本身, 唯一与零矩阵相似的矩阵就是零矩阵本身.

练习1. 令

T

是

ℂ^{2}

上由

T (x_{1}, x_{2}) = (x_{1}, x_{2})

定义的线性算子. 令

𝔅

是

ℂ^{2}

的标准有序基而

𝔅^{'} = {α_{1}, α_{2}}

是由

α_{1} = (1, i), α_{2} = (- i, 2)

定义的有序基.

$T$ 相对于 $𝔅$ 和 $𝔅^{'}$ 的矩阵是什么?
$T$ 相对于 $𝔅^{'}$ 和 $𝔅$ 的矩阵是什么?
$T$ 在有序基 $𝔅^{'}$ 下的矩阵是什么?
$T$ 在有序基 ${α_{2}, α_{1}}$ 下的矩阵是什么?

练习2. 令

T

是从

ℝ^{3}

到

ℝ^{2}

的线性变换, 其由

T (x_{1}, x_{2}, x_{3}) = (x_{1} + x_{2}, 2 x_{3} - x_{1})

定义.

如果 $𝔅$ 是 $ℝ^{3}$ 的标准有序基而 $𝔅^{'}$ 是 $ℝ^{2}$ 的标准有序基, 那么 $T$ 相对于 $𝔅$ 和 $𝔅^{'}$ 的矩阵是什么?
如果 $𝔅 = {α_{1}, α_{2}, α_{3}}$ 且 $𝔅^{'} = (β_{1}, β_{2})$ , 其中 $α_{1} = (1, 0, - 1), α_{2} = (1, 1, 1), α_{3} = (1, 0, 0), β_{1} = (0, 1), β_{2} = (1, 0)$ $T$ 相对于 $𝔅$ 和 $𝔅^{'}$ 的矩阵是什么?

练习3. 令

T

是

F^{n}

上的线性算子, 令

A

是

T

在

F^{n}

的标准基下的矩阵, 令

W

是由

A

的列向量张成的

F^{n}

的子空间. 请问

W

和

T

有何关系?

练习4. 令

V

是域

F

上的一个二维向量空间, 令

𝔅

是

V

的一个有序基. 如果

T

是

V

上的一个线性算子, 并且

{[T]}_{𝔅} = [\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}]

证明

T^{2} - (a + d) T + (a d - b c) I = 0

练习5. 令

T

是

ℝ^{3}

上的线性算子, 其在标准有序基下的矩阵为

A = [\begin{matrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ - 1 & 3 & 4 \end{matrix}] .

找出

T

的像的一个基和

T

的零空间的一个基.

练习6. 令

T

是

ℝ^{2}

上由

T (x_{1}, x_{2}) = (- x_{2}, x_{1})

定义的线性算子.

$T$ 在 $ℝ^{2}$ 的标准基下的矩阵是什么?
$T$ 在有序基 $𝔅 = {α_{1}, α_{2}}$ 下的矩阵是什么, 其中 $α_{1} = (1, 2)$ 且 $α_{2} = (1, - 1)$ ?
证明对于每个实数 $c$ , 算子 $(T - c I)$ 都是可逆的.
证明如果 $𝔅$ 是 $ℝ^{2}$ 任意的有序基并且 ${[T]}_{𝔅} = A$ , 那么 $A_{1, 2} A_{2, 1} \neq 0$ .

练习7. 令

T

是

ℝ^{3}

上的线性算子, 由

T (x_{1}, x_{2}, x_{3}) = (3 x_{1} + x_{3}, - 2 x_{1} + x_{2}, - x_{1} + 2 x_{2} + 4 x_{3})

定义.

$T$ 在 $ℝ^{3}$ 的标准有序基下的矩阵是什么?
$T$ 在有序基 ${α_{1}, α_{2}, α_{3}}$ 下的矩阵是什么, 其中 $α_{1} = (1, 0, 1), α_{2} = (- 1, 2, 1), α_{3} = (2, 1, 1)$ ?
证明 $T$ 是可逆的, 并如定义 $T$ 一样给出 $T^{- 1}$ 的规则.

练习8. 令

θ

是一个实数. 证明以下两个矩阵在复数域上是相似的:

[\begin{matrix} \cos θ & - \sin θ \\ \sin θ & \cos θ \end{matrix}], [\begin{matrix} e^{i θ} & 0 \\ 0 & e^{- i θ} \end{matrix}]

(提示: 令

T

是

ℂ^{2}

上的线性算子, 其在标准有序基下由第一个矩阵表示. 接着, 找出向量

α_{1}

和

α_{2}

使得

T α_{1} = e^{i θ} α_{1}, T α_{2} = e^{- i θ} α_{2}

并且

{α_{1}, α_{2}}

是一个基.)

练习9. 令

V

是域

F

上的一个有限维向量空间. 令

S

和

T

是

V

上的线性算子. 我们问: 什么时候存在

V

的有序基

𝔅

和

𝔅^{'}

使得

{[S]}_{𝔅} = {[T]}_{𝔅^{'}}

? 证明这样的基存在当且仅当存在一个

V

上的可逆线性算子

U

使得

T = U S U^{- 1}

. (证明大纲: 如果

{[S]}_{𝔅} = {[T]}_{𝔅^{'}}

, 令

U

是将

𝔅

映射成

𝔅^{'}

的线性算子, 然后表明

S = U T U^{- 1}

. 反过来, 如果对于某个可逆的

U

有

T = U S U^{- 1}

, 令

𝔅

是

V

任意的有序基, 令

𝔅^{'}

是其在

U

下的像 [译注: 当然要保持顺序], 然后表明

{[S]}_{𝔅} = {[T]}_{𝔅^{'}}

练习10. 我们已经知道由

T (x_{1}, x_{2}) = (x_{1}, 0)

定义的

ℝ^{2}

上的线性算子

T

在标准有序基下由矩阵

A = [\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}]

表示. 这个算子满足

T^{2} = T

. 证明如果

S

是一个

ℝ^{2}

上满足

S^{2} = S

的线性算子, 那么

S = 0

, 或者

S = I

, 或者存在

ℝ^{2}

的一个有序基使得

{[S]}_{𝔅} = A

练习11. 令

W

是域

F

上所有

n \times 1

矩阵构成的空间. 如果

A

是域

F

上的一个

n \times n

矩阵, 那么

A

通过左乘定义了一个

W

上的线性算子

L_{A}

L_{A} (X) = A X

. 证明每个

W

上的线性算子都是左乘某个

n \times n

矩阵, 即是对于某个矩阵

A

而言的

L_{A}

.
现在设

V

是域

F

上的一个

n

维向量空间, 令

𝔅

是

V

的一个有序基. 对于每个

V

中的

α

, 定义

U α = {[α]}_{𝔅}

. 证明

U

是一个从

V

到

W

的线性算子. 如果

T

是一个

V

的线性算子, 那么

U T U^{- 1}

是一个

W

上的线性算子. 于是,

U T U^{- 1}

是一个左乘某个

n \times n

矩阵

A

的变换, 那么

A

是什么呢?

练习12. 令

V

是域

F

上的一个

n

维向量空间, 令

𝔅 = {α_{1}, \dots, α_{n}}

是

V

的一个有序基.

根据定理1, 存在唯一的 $V$ 上的线性算子 $T$ 满足 $T α_{j} = α_{j + 1}, j = 1, \dots, n - 1, T α_{n} = 0 .$ $T$ 在有序基 $𝔅$ 下的矩阵 $A$ 是什么?
证明 $T^{n} = 0$ 但是 $T^{n - 1} \neq 0$ .
令 $S$ 是 $V$ 上任意的满足 $S^{n} = 0$ 但是 $S^{n - 1} \neq 0$ 的线性算子. 证明存在 $V$ 的有序基 $𝔅^{'}$ 使得 $S$ 在 $𝔅^{'}$ 下的表示是a里的矩阵 $A$ .
证明如果 $M$ 和 $N$ 是域 $F$ 上满足 $M^{n} = N^{n} = 0$ 但是 $M^{n - 1} \neq 0$ 且 $N^{n - 1} \neq 0$ 的 $n \times n$ 矩阵, 那么 $M$ 和 $N$ 是相似的.

练习13. 令

V

和

W

是域

F

上的有限维向量空间. 令

T

是一个从

V

到

W

的线性变换. 如果

𝔅 = {α_{1}, \dots, α_{n}} 和 𝔅^{'} = {β_{1}, \dots, β_{m}}

分别是

V

和

W

的有序基, 如定理5的证明一样定义线性变换

E^{p, q}

E^{p, q} (α_{i}) = δ_{i, q} β_{p}

, 那么

E^{p, q}, 1 \leq p \leq m, 1 \leq q \leq n

构成了

L (V, W)

的一个基, 并且对于特定的标量

A_{p, q}

有

T = \sum_{p = 1}^{m} \sum_{q = 1}^{n} A_{p, q} E^{p, q} .

A_{p, q}

即

T

在这个

L (V, W)

的基下的坐标. 证明以

A (p, q) = A_{p, q}

为元素的矩阵

A

就恰是

T

相对于

𝔅

和

𝔅^{'}

的表示矩阵.

第3.5节线性泛函

如果 $V$ 是一个域 $F$ 上的向量空间, 那么从 $V$ 到标量域 $F$ 的线性变换 $f$ 也被称为 $V$ 上的线性泛函. 如果我们从头开始, 那么这意味着 $f$ 是一个从 $V$ 到 $F$ 的函数, 并且满足 $f (c α + β) = c f (α) + f (β)$ 对于所有 $V$ 中的 $α$ 和 $β$ 以及所有 $F$ 中的标量 $c$ 成立. 线性泛函这个概念的重要性在于它有助于组织和澄清关于子空间, 线性方程和坐标的讨论.

例子18. 令

F

是一个域而

a_{1}, \dots, a_{n}

是

F

中标量, 我们根据

f (x_{1}, \dots, x_{n}) = a_{1} x_{1} + \dots + a_{n} x_{n}

定义一个

F^{n}

上的函数

f

, 那么

f

是

F^{n}

上的一个线性泛函. 它是这样的泛函, 其在

F^{n}

的标准有序基和

F

的基

{1}

下由矩阵

[\begin{matrix} a_{1} & \dots & a_{n} \end{matrix}]

表示:

a_{j} = f (ε_{j}), j = 1, \dots, n .

[译注: 其实

{1}

就是

F

的标准有序基.] 每个

F^{n}

上的线性泛函都具有这种形式, 对于某些标量

a_{1}, \dots, a_{n}

而言. 这是由线性泛函的定义立即得到的, 因为如果我们定义

a_{j} = f (ε_{j})

并使用线性性质, 那么

\begin{array}{rcl} f (x_{1}, \dots, x_{n}) & = & f (\sum_{j = 1}^{n} x_{j} ε_{j}) \\ = & \sum_{j = 1}^{n} x_{j} f (ε_{j}) \\ = & \sum_{j = 1}^{n} a_{j} x_{j} \end{array}

例子19. 这里给出一个线性泛函的重要例子. 令

n

是一个正整数而

F

是一个域, 如果

A

是一个以

F

中标量为元素的

n \times n

矩阵, 那么

A

的迹是标量

tr (A) = A_{1, 1} + A_{2, 2} + \dots + A_{n, n} .

迹函数是一个矩阵空间

F^{n \times n}

上的线性泛函, 因为

\begin{array}{rcl} tr (c A + B) & = & \sum_{i = 1}^{n} (c A_{i, i} + B_{i, i}) \\ = & c \sum_{i = 1}^{n} A_{i, i} + \sum_{i = 1}^{n} B_{i, i} \\ = & c tr (A) + tr (B) \end{array}

例子20. 令

V

是所有从域

F

到自身的多项式函数构成的空间. 令

t

是

F

的一个元素. 如果我们定义

L_{t} (p) = p (t)

那么

L_{t}

是一个

V

上的线性泛函. 人们经常这样描述这个泛函, 对于每个

t

, "在

t

处求值"是一个多项式函数空间上的线性泛函. 或许我们应该指出, 在这个例子里多项式函数实际上并不发挥任何作用, 对于所有从

F

到

F

的函数构成的空间, 在

t

处求值同样也是一个线性泛函.

例子21. 这或许是数学中最重要的线性泛函. 令

[a, b]

是实轴上的一个闭区间,

C ([a, b])

是

[a, b]

上的连续实值函数构成的空间, 那么

L (g) = \int_{a}^{b} g (t) d t

定义了一个

C ([a, b])

上的线性泛函

L

如果 $V$ 是一个向量空间, 那么所有 $V$ 上的线性泛函自然地构成了一个向量空间, 此即 $L (V, F)$ , 我们记作 $V^{⁎}$ 并将其称为 $V$ 的对偶空间: $V^{⁎} = L (V, F) .$

如果 $V$ 是有限维的, 那么我们可以得到一个对于对偶空间 $V^{⁎}$ 相当显式的描述. 从定理5我们知道了一件关于 $V^{⁎}$ 的事情, 即 $\dim V^{⁎} = \dim V .$ 令 $𝔅 = {α_{1}, \dots, α_{n}}$ 是 $V$ 的一个基. 根据定理1, (对于每个 $i$ )存在唯一的 $V$ 上的线性泛函 $f_{i}$ 满足 $f_{i} (α_{j}) = δ_{i, j} .$ 用这种方法我们从 $𝔅$ 得到了 $n$ 个不同的 $V$ 上的线性泛函 $f_{1}, \dots, f_{n}$ . 这些泛函也是线性无关的, 因为若设 $f = \sum_{i = 1}^{n} c_{i} f_{i}$ 那么 $\begin{array}{rcl} f (α_{j}) & = & \sum_{i = 1}^{n} c_{i} f_{i} (α_{j}) \\ = & \sum_{i = 1}^{n} c_{i} δ_{i, j} \\ = & c_{j} \end{array}$ 特别地, 如果 $f$ 是零泛函, 那么对于每个 $j$ 有 $f (α_{j}) = 0$ , 因此标量 $c_{j}$ 都是 $0$ . 现在 $f_{1}, \dots, f_{n}$ 是 $n$ 个线性无关的泛函, 而且我们知道 $V^{⁎}$ 的维数是 $n$ , 那么 $𝔅^{⁎} = {f_{1}, \dots, f_{n}}$ 必然是 $V^{⁎}$ 的一个基, 其被称为 $𝔅$ 的对偶基.

定理15. 令

V

是域

F

上的一个有限维向量空间, 令

𝔅 = {α_{1}, \dots, α_{n}}

是

V

的一个基. 那么, 存在唯一的

V^{⁎}

的对偶基

𝔅^{⁎} = {f_{1}, \dots, f_{n}}

, 其满足

f_{i} (α_{j}) = δ_{i, j}

. 对于每个

V

上的线性泛函

f

, 我们有

f = \sum_{i = 1}^{n} f (α_{i}) f_{i}

以及对于每个

V

中的

α

, 我们有

α = \sum_{i = 1}^{n} f_{i} (α) α_{i} .

证明. 上面我们已经说明了存在唯一的基与

𝔅

"对偶". 如果

f

是一个

V

上的线性泛函, 那么

f

即是

f_{i}

的某个线性组合, 并且我们观察到标量

c_{j}

必然由

c_{j} = f (α_{j})

给出. 类似地, 如果

α = \sum_{i = 1}^{n} x_{i} α_{i}

是

V

的一个向量, 那么

\begin{array}{rcl} f_{j} (α) & = & \sum_{i = 1}^{n} x_{i} f_{j} (α_{i}) \\ = & \sum_{i = 1}^{n} x_{i} δ_{i, j} \\ = & x_{j} \end{array}

因此

α

作为

α_{i}

的线性组合的唯一表达为

α = \sum_{i = 1}^{n} f_{i} (α) α_{i} .

◻

上面这个式子给我们提供了一种刻画对偶基的绝佳方式. 它是说, 如果 $𝔅 = {α_{1}, \dots, α_{n}}$ 是 $V$ 的一个有序基, 并且 $𝔅^{⁎} = {f_{1}, \dots, f_{n}}$ 是其对偶基, 那么 $f_{i}$ 就恰是那个赋予 $V$ 中的向量 $α$ 相对于有序基 $𝔅$ 的第 $i$ 个坐标的函数. 因此, 我们也可以将 $f_{i}$ 称为 $𝔅$ 的坐标函数. 定理15实际上告诉了我们以下事实: 如果 $f$ 在 $V^{⁎}$ 中而令 $f (α_{i}) = a_{i}$ , 那么当 $α = x_{1} α_{1} + \dots + x_{n} α_{n}$ 时, 我们有 $f (α) = a_{1} x_{1} + \dots + a_{n} x_{n} .$ 换言之, 如果我们选定了 $V$ 的一个有序基 $𝔅$ 并描述 $V$ 中的每个向量以其相对于 $𝔅$ 的 $n$ 元坐标组 $(x_{1}, \dots, x_{n})$ , 那么每个 $V$ 上的线性泛函都具有 $f (α) = a_{1} x_{1} + \dots + a_{n} x_{n}$ 的形式. 这是例子18的自然泛化, 其为 $V = F^{n}$ 和 $𝔅 = {ε_{1}, \dots, ε_{n}}$ 的特别情形.

例子22. 令

V

是所有从

ℝ

到

ℝ

的次数小于等于

2

的多项式函数构成的向量空间, 令

t_{1}, t_{2}, t_{3}

是三个不同的实数, 令

L_{i} (p) = p (t_{i}) .

那么,

L_{1}, L_{2}, L_{3}

是

V

上的线性泛函. 这些线性泛函是线性无关的, 因为若设

L = c_{1} L_{1} + c_{2} L_{2} + c_{3} L_{3}

当

L = 0

时, 即对于每个

V

中的

p

都有

L (p) = 0

, 那么应用

L

于特定的多项式"函数"

1, x, x^{2}

, 我们就得到

{\begin{matrix} c_{1} & + & c_{2} & + & c_{3} & = & 0 \\ t_{1} c_{1} & + & t_{2} c_{2} & + & t_{3} c_{3} & = & 0 \\ t_{1}^{2} c_{1} & + & t_{2}^{2} c_{2} & + & t_{3}^{2} c_{3} & = & 0 \end{matrix}

从中我们得到

c_{1} = c_{2} = c_{3} = 0

, 因为(根据简单的计算可知)矩阵

[\begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ t_{1} & t_{2} & t_{3} \\ t_{1}^{2} & t_{2}^{2} & t_{3}^{2} \end{matrix}]

在

t_{1}, t_{2}, t_{3}

互异时是可逆的. 既然

L_{i}

是线性无关的并且

V

的维数是

3

, 这些泛函构成了

V^{⁎}

的一个基. 它是什么

V

的基的对偶呢? 这样一个

V

的基

{p_{1}, p_{2}, p_{3}}

必然满足

L_{i} (p_{j}) = δ_{i, j}

或者说

p_{j} (t_{i}) = δ_{i, j} .

很容易看出这些多项式函数应该是

p_{1} (x) = \frac{(x - t_{2}) (x - t_{3})}{(t_{1} - t_{2}) (t_{1} - t_{3})}, p_{2} (x) = \frac{(x - t_{1}) (x - t_{3})}{(t_{2} - t_{1}) (t_{2} - t_{3})}, p_{3} (x) = \frac{(x - t_{1}) (x - t_{2})}{(t_{3} - t_{1}) (t_{3} - t_{2})} .

V

的基

{p_{1}, p_{2}, p_{3}}

是有趣的, 因为根据定理15, 对于每个

V

中的

p

我们有

p = p (t_{1}) p_{1} + p (t_{2}) p_{2} + p (t_{3}) p_{3} .

因此, 如果

c_{1}, c_{2}, c_{3}

是任意的实数, 那么恰存在唯一的

ℝ

上的次数至多为

2

的多项式函数

p

满足

p (t_{j}) = c_{j}, j = 1, 2, 3

. 这个多项式函数为

p = c_{1} p_{1} + c_{2} p_{2} + c_{3} p_{3}

现在让我们来讨论线性泛函和子空间之间的关系. 如果 $f$ 是一个非零的线性泛函, 那么 $f$ 的秩就是 $1$ , 因为其像是标量域的非零子空间, 必然是标量域本身. 如果潜在的空间 $V$ 是有限维的, 那么秩加零化度定理 (定理2) 告诉我们零空间 $N_{f}$ 的维数 $\dim N_{f} = \dim V - 1 .$

在一个 $n$ 维空间中, 具有 $n - 1$ 维的子空间被称为超空间. 这样的空间有时也被称为超平面或者余维数为 $1$ 的子空间. 每个超空间都是某个线性泛函的零空间吗? 答案很容易看出来是yes. 而且, 证明以下事实也并不更加困难. $n$ 维空间的每个 $d$ 维子空间都是 $(n - d)$ 个线性泛函的零空间之交. (下面的定理16)

定义. 如果

V

是域

F

上的向量空间而

S

是

V

的一个子集,

S

的零化子

S^{0}

是

V

上所有这样的线性泛函

f

构成的集合, 其对于每个

S

中的

α

有

f (α) = 0

读者应该很容易看出 $S^{0}$ 是 $V^{⁎}$ 的子空间, 不论 $S$ 是否是 $V$ 的子空间. 如果 $S$ 仅包含零向量, 那么 $S^{0} = V^{⁎}$ . 如果 $S = V$ , 那么 $S^{0}$ 是 $V^{⁎}$ 的零子空间. (在 $V$ 是有限维的情况下很容易看出来.)

定理16. 令

V

是域

F

上的有限维向量空间, 令

W

是

V

的子空间, 那么

\dim W + \dim W^{0} = \dim V .

证明. 令

k

是

W

的维数而

{α_{1}, \dots, α_{k}}

是

W

的一个基. 选择

V

中向量

α_{k + 1}, \dots, α_{n}

使得

{α_{1}, \dots, α_{n}}

是

V

的一个基. 令

{f_{1}, \dots, f_{n}}

是

V^{⁎}

的基, 其对偶于这个

V

的基. 我们现在证明

{f_{k + 1}, \dots, f_{n}}

是零化子

W^{0}

的一个基. 显然对于

i \geq k + 1

我们知道

f_{i}

属于

W^{0}

, 因为

f_{i} (α_{j}) = δ_{i, j}

于是当

i \geq k + 1

且

j \leq k

时有

δ_{i, j} = 0

. 从中我们可知当

α

是

α_{1}, \dots, α_{k}

的线性组合时, 对于

i \geq k + 1

有

f_{i} (α) = 0

. 因为泛函

{f_{k + 1}, \dots, f_{n}}

是线性无关的, 所以剩下来我们必须要做的就是证明它们可以张成

W^{0}

. 设

f

在

V^{⁎}

中, 既然

f = \sum_{i = 1}^{n} f (α_{i}) f_{i},

于是若

f

在

W^{0}

中, 我们有

f (α_{i}) = 0

对于

i \leq k

成立, 那么

f = \sum_{i = k + 1}^{n} f (α_{i}) f_{i} .

我们证明了如果

\dim W = k

而

\dim V = n

, 那么

\dim W^{0} = n - k

◻

推论. 如果

W

是

n

维向量空间

V

的

k

维子空间, 那么

W

是

V

中

(n - k)

个超空间之交.

证明. 这是定理16证明的推论而不是定理16本身的推论. 在这个证明的记号下,

W

恰是满足

f_{i} (α) = 0, i = k + 1, \dots, n

的所有向量

α

的集合. 在

k = n - 1

的情形,

W

即是

f_{n}

的零空间.

◻

推论. 如果

W_{1}

和

W_{2}

是某个有限维向量空间的子空间, 那么

W_{1} = W_{2}

当且仅当

W_{1}^{0} = W_{2}^{0}

证明. 如果

W_{1} = W_{2}

, 那么显然有

W_{1}^{0} = W_{2}^{0}

. 如果

W_{1} \neq W_{2}

, 那么其中之一的子空间包含有不在另一个子空间的向量. 不妨设向量

α

在

W_{2}

之中但不在

W_{1}

中. 根据前面的推论 (或者定理16的证明), 存在一个线性泛函

f

满足对于所有的

W_{1}

中

β

有

f (β) = 0

但

f (α) \neq 0

, 那么

f

在

W_{1}^{0}

之中但不在

W_{2}^{0}

中, 即

W_{1}^{0} \neq W_{2}^{0}

◻

接下来的一节我们将给出这两个推论的不同的证明. 第一个推论是说, 如果我们挑选了空间的某个有序基, 那么每个 $k$ 维的子空间都可以由 $(n - k)$ 个相对于基的坐标上的齐次线性条件刻画.

让我们从线性泛函的视角简要看看齐次线性方程组. 设我们有一个想要求解的齐次线性方程组 ${\begin{matrix} A_{1, 1} x_{1} & + & \dots & + & A_{1, n} x_{n} & = & 0 \\ ⋮ & ⋮ \\ A_{m, 1} x_{1} & + & \dots & + & A_{m, n} x_{n} & = & 0 \end{matrix}$ 如果我们令 $f_{i}, i = 1, \dots, m$ 是由 $f_{i} (x_{1}, \dots, x_{n}) = A_{i, 1} x_{1} + \dots + A_{i, n} x_{n}$ 定义的 $F^{n}$ 上的线性泛函, 那么其实我们就是在寻找一个 $F^{n}$ 的子空间, 其由所有满足 $f_{i} (α) = 0, i = 1, \dots, m$ 的 $α$ 构成. 换言之, 我们在寻找被 $f_{1}, \dots, f_{m}$ 零化的子空间. 对于系数矩阵进行行规约为我们提供了找出这个子空间的系统方法. $n$ 元组 $(A_{i, 1}, \dots, A_{i, n})$ 给出了线性泛函 $f_{i}$ 相对于与 $F^{n}$ 的标准基对偶的基的坐标. 系数矩阵的行空间因此可被视为由 $f_{1}, \dots, f_{m}$ 张成的线性泛函的空间, 而解空间是被这个泛函的空间零化的子空间.

现在我们或许可以从"对偶"的角度看待线性方程组, 即给定 $F^{n}$ 中的 $m$ 个向量 $α_{i} = (A_{i, 1}, \dots, A_{i, n})$ 我们希望寻找由这些向量张成的子空间的零化子. 既然 $F^{n}$ 上一个典型的线性泛函具有形式 $f (x_{1}, \dots, x_{n}) = c_{1} x_{1} + \dots + c_{n} x_{n}$ 那么 $f$ 在这个零化子之中的条件即 $\sum_{j = 1}^{n} A_{i, j} c_{j} = 0, i = 1, \dots, m$ 换言之, $(c_{1}, \dots, c_{n})$ 是线性方程组 $A X = 0$ 的一个解. 从此观点来看, 行规约为我们提供了一种系统性的方法来寻找由给定的 $F^{n}$ 的有限子集张成的子空间的零化子.

例子23. 现在我们给出

ℝ^{4}

上的三个线性泛函:

\begin{array}{l} f_{1} (x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}) & = & x_{1} + 2 x_{2} + 2 x_{3} + x_{4} \\ f_{2} (x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}) & = & 2 x_{2} + x_{4} \\ f_{3} (x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}) & = & - 2 x_{1} - 4 x_{3} + 3 x_{4} \end{array}

它们所零化的子空间可以通过显式寻找矩阵

A = [\begin{matrix} 1 & 2 & 2 & 1 \\ 0 & 2 & 0 & 1 \\ - 2 & 0 & - 4 & 3 \end{matrix}]

的行简化阶梯形式得到. 经过简单的计算, 或者看看第2章的例子21, 我们知道

R = [\begin{matrix} 1 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}] .

因此, 线性泛函

\begin{array}{l} g_{1} (x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}) & = & x_{1} + 2 x_{3} \\ g_{2} (x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}) & = & x_{2} \\ g_{3} (x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}) & = & x_{4} \end{array}

与

f_{1}, f_{2}, f_{3}

张成了相同的

{(ℝ^{4})}^{⁎}

的子空间, 并且零化了相同的

ℝ^{4}

的子空间. 被零化的子空间由所有满足

x_{1} = - 2 x_{3}, x_{2} = x_{4} = 0

的向量构成.

例子24. 令

W

是由

α_{1} = (2, - 2, 3, 4, - 1), α_{2} = (- 1, 1, 2, 5, 2), α_{3} = (0, 0, - 1, - 2, 3), α_{4} = (1, - 1, 2, 3, 0)

张成的

ℝ^{5}

的子空间. 人们该如何描述

W^{0}

, 即

W

的零化子呢? 让我们构造一个以

α_{1}, α_{2}, α_{3}, α_{4}

为行向量的矩阵

A

, 并找出行等价于

A

的行简化阶梯矩阵

R

A = [\begin{matrix} 2 & - 2 & 3 & 4 & - 1 \\ - 1 & 1 & 2 & 5 & 2 \\ 0 & 0 & - 1 & - 2 & 3 \\ 1 & - 1 & 2 & 3 & 0 \end{matrix}] \to R = [\begin{matrix} 1 & - 1 & 0 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix}] .

如果

f

是

ℝ^{5}

上的一个线性泛函:

f (x_{1}, \dots, x_{5}) = \sum_{j = 1}^{5} c_{j} x_{j}

那么

f

在

W^{0}

中当且仅当

f (α_{i}) = 0, i = 1, 2, 3, 4

, 即当且仅当

\sum_{j = 1}^{5} A_{i, j} c_{j} = 0, 1 \leq i \leq 4 .

这等价于

\sum_{j = 1}^{5} R_{i, j} c_{j} = 0, 1 \leq i \leq 3

或者

\begin{array}{r} c_{1} - c_{2} - c_{4} & = & 0 \\ c_{3} + 2 c_{4} & = & 0 \\ c_{5} & = & 0 \end{array}

我们可以通过给

c_{2}

和

c_{4}

赋任意的值以得到所有这样的线性泛函

f

, 例如令

c_{2} = a

和

c_{4} = b

, 然后找出相应的

c_{1} = a + b, c_{3} = - 2 b, c_{5} = 0

. 于是,

W^{0}

由所有具有形式

f (x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}, x_{5}) = (a + b) x_{1} + a x_{2} - 2 b x_{3} + b x_{4}

的线性泛函

f

构成.

W^{0}

的维数是

2

, 而

W^{0}

的一个基

{f_{1}, f_{2}}

可由先令

a = 1, b = 0

再令

a = 0, b = 1

得到:

\begin{array}{l} f_{1} (x_{1}, \dots, x_{5}) & = & x_{1} + x_{2} \\ f_{2} (x_{1}, \dots, x_{5}) & = & x_{1} - 2 x_{3} + x_{4} \end{array}

上面

W^{0}

中一般的

f

即

f = a f_{1} + b f_{2}

练习1. 在

ℝ^{3}

中, 令

α_{1} = (1, 0, 1), α_{2} = (0, 1, - 2), α_{3} = (- 1, - 1, 0)

如果 $f$ 是 $ℝ^{3}$ 上满足 $f (α_{1}) = 1, f (α_{2}) = - 1, f (α_{3}) = 3$ 的线性泛函, 并且 $α = (a, b, c)$ , 找出 $f (α)$ .
显式描述 $ℝ^{3}$ 上满足 $f (α_{1}) = f (α_{2}) = 0 但是 f (α_{3}) \neq 0$ 的线性泛函 $f$ .
令 $f$ 是任意的满足 $f (α_{1}) = f (α_{2}) = 0 并且 f (α_{3}) \neq 0$ 的线性泛函. 如果 $α = (2, 3, - 1)$ , 表明 $f (α) \neq 0$ .

练习2. 令

𝔅 = {α_{1}, α_{2}, α_{3}}

是

ℂ^{3}

的基, 其由

α_{1} = (1, 0, - 1), α_{2} = (1, 1, 1), α_{3} = (2, 2, 0)

定义. 找出

𝔅

的对偶基.

练习3. 如果

A

和

B

是域

F

上的

n \times n

矩阵, 证明

trace (A B) = trace (B A)

, 接着证明相似矩阵有着相同的迹.

练习4. 令

V

是从

ℝ

到

ℝ

的所有次数小于等于

2

的多项式函数

p

p (x) = c_{0} + c_{1} x + c_{2} x^{2}

构成的向量空间. 定义三个

V

上的线性泛函如下:

f_{1} (p) = \int_{0}^{1} p (x) d x, f_{2} (p) = \int_{0}^{2} p (x) d x, f_{3} (p) = \int_{0}^{- 1} p (x) d x .

证明

{f_{1}, f_{2}, f_{3}}

是

V

的基, 通过找出以其为对偶的

V

的基.

练习5. 如果

A

和

B

是

n \times n

的复矩阵, 证明

A B - B A = I

是不可能的.

练习6. 令

m

和

n

是正整数而

F

是一个域. 令

f_{1}, \dots, f_{m}

是

F^{n}

上的线性泛函. 对于

F^{n}

中的

α

, 定义

T α = (f_{1} (α), \dots, f_{m} (α)) .

证明

T

是一个从

F^{n}

到

F^{m}

的线性变换, 接着表明每个从

F^{n}

到

F^{m}

的线性变换都具有以上形式, 对于特定的

f_{1}, \dots, f_{m}

而言.

练习7. 令

α_{1} = (1, 0, - 1, 2)

和

α_{2} = (2, 3, 1, 1)

, 令

W

是

α_{1}

和

α_{2}

张成的

ℝ^{4}

的子空间. 哪些线性泛函

f

f (x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}) = c_{1} x_{1} + c_{2} x_{2} + c_{3} x_{3} + c_{4} x_{4}

在

W

的零化子之中呢?

练习8. 令

W

是

ℝ^{5}

的子空间, 其由下列向量张成:

α_{1} = ε_{1} + 2 ε_{2} + ε_{3}, α_{2} = ε_{2} + 3 ε_{3} + 3 ε_{4} + ε_{5}, α_{3} = ε_{1} + 4 ε_{2} + 6 ε_{3} + 4 ε_{4} + ε_{5} .

找出

W^{0}

的一个基.

练习9. 令

V

是实数域上的所有

2 \times 2

矩阵的向量空间, 令

B = [\begin{matrix} 2 & - 2 \\ - 1 & 1 \end{matrix}] .

令

W

是

V

的子空间, 其由所有满足

A B = 0

的矩阵

A

构成. 令

f

是

V

上的线性泛函, 其在

W

的零化子之中. 设

f (I) = 0

且

f (C) = 3

, 其中

I

是

2 \times 2

的恒等矩阵而

C = [\begin{matrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}] .

找出

f (B)

练习10. 令

F

是复数域的一个子域. 我们通过

f_{k} (x_{1}, \dots, x_{n}) = \sum_{j = 1}^{n} (k - j) x_{j}, 1 \leq k \leq n

定义

F^{n}

上的

n

个线性泛函, 其中

n \geq 2

. 由

f_{1}, \dots, f_{n}

零化的子空间维数是多少呢?

练习11. 令

W_{1}

和

W_{2}

是有限维向量空间

V

的子空间.

证明 ${(W_{1} + W_{2})}^{0} = W_{1}^{0} \cap W_{2}^{0}$ .
证明 ${(W_{1} \cap W_{2})}^{0} = W_{1}^{0} + W_{2}^{0}$ .

练习12. 令

V

是域

F

上的一个有限维向量空间. 令

W

是

V

的一个子空间. 如果

f

是

W

上的线性泛函, 证明存在一个

V

上的线性泛函

g

满足对于每个

W

中的

α

有

g (α) = f (α)

练习13. 令

F

是复数域的一个子域. 令

V

是域

F

上任意的向量空间. 设

f

和

g

是

V

上的线性泛函, 并且满足由

h (α) = f (α) g (α)

定义的函数

h

仍然是

V

上的线性泛函. 证明

f = 0

或

g = 0

练习14. 令

F

是特征为零的域. 令

V

是域

F

上的一个有限维向量空间. 如果

α_{1}, \dots, α_{m}

是

V

中有限多个向量, 并且每个都异于零向量, 证明存在

V

上的线性泛函

f

满足

f (α_{i}) \neq 0, i = 1, \dots, m .

练习15. 根据练习3, 相似的矩阵拥有相同的迹. 因此, 我们可以将有限维空间上的线性算子的迹定义为其在任意有序基下的矩阵的迹. 这是良定的, 因为所有这样的表示矩阵都是相似的.
现在令

V

是域

F

上的

2 \times 2

矩阵的向量空间, 令

P

是一个固定的

2 \times 2

矩阵. 令

T

是由

T (A) = P A

定义的

V

上的线性算子. 证明

trace (T) = 2 trace (P)

练习16. 证明

n \times n

矩阵上的迹泛函在以下意义上唯一. 如果

W

是域

F

上的

n \times n

矩阵的空间, 如果

f

是

W

上满足对于

W

中的每个

A

和

B

有

f (A B) = f (B A)

的线性泛函, 那么

f

是迹函数的标量倍数. 另外, 如果

f (I) = n

, 那么

f

就是迹函数.

练习17. 令

W

是域

F

上的

n \times n

矩阵的空间. 令

W_{0}

是由所有具有形式

C = A B - B A

的矩阵

C

张成的子空间. 证明

W_{0}

恰好就是迹为零的矩阵构成的子空间. (提示: 迹为零的矩阵的空间的维数是什么? 使用矩阵"单元", 即恰具有一个非零元素的矩阵, 来构造足够多具有

A B - B A

形式的线性无关的矩阵.)

第3.6节二次对偶

上一节我们还有一个没有回答的问题, 即是否每个 $V^{⁎}$ 的基都是某个 $V$ 的基的对偶. 一种回答这个问题的方式是考虑 $V^{⁎⁎}$ , 即 $V^{⁎}$ 的对偶空间.

如果 $α$ 是 $V$ 中的一个向量, 那么 $α$ 导出了一个 $V^{⁎}$ 上的线性泛函, 即 $L_{α} (f) = f (α), f \in V^{⁎} .$ $L_{α}$ 是线性的这一事实不过就是对于 $V^{⁎}$ 中的线性泛函的定义的重述: $\begin{array}{rcl} L_{α} (c f + g) & = & (c f + g) (α) \\ = & (c f) (α) + g (α) \\ = & c f (α) + g (α) \\ = & c L_{α} (f) + L_{α} (g) \end{array}$ 如果 $V$ 是有限维的并且 $α \neq 0$ , 那么 $L_{α} \neq 0$ . 换言之, 存在线性泛函 $f$ 满足 $f (α) \neq 0$ . 证明非常简单, 在第3.5节已经给过了: 选择一个 $V$ 的有序基 $𝔅 = {α_{1}, \dots, α_{n}}$ , 其中 $α_{1} = α$ , 令 $f$ 是赋予每个 $V$ 中向量其在有序基 $𝔅$ 下的坐标的第一分量的线性泛函. [译注: 换句话说, $f$ 即满足 $f (α_{1}) = 1$ 而 $f (α_{i}) = 0, 2 \leq i \leq n$ 的存在且唯一的那个线性泛函.]

定理17. 令

V

是域

F

上的一个有限维向量空间. 对于每个

V

中的向量

α

, 定义

L_{α} (f) = f (α), f \in V^{⁎} .

映射

α \mapsto L_{α}

是一个从

V

到

V^{⁎⁎}

的同构.

证明. 我们已经证明过对于每个

α

函数

L_{α}

是线性的了. 设

α

和

β

在

V

中而

c

在

F

中, 令

γ = c α + β

, 那么对于

V^{⁎}

中的每个

f

有

\begin{array}{rcl} L_{γ} (f) & = & f (γ) \\ = & f (c α + β) \\ = & c f (α) + f (β) \\ = & c L_{α} (f) + L_{β} (f) \\ = & (c L_{α} + L_{β}) (f) \end{array}

于是

L_{γ} = c L_{α} + L_{β} .

这表明映射

α \mapsto L_{α}

是一个从

V

到

V^{⁎⁎}

的线性变换. 这个变换是非奇异的, 因为根据之前的评注,

L_{α} = 0

当且仅当

α = 0

. 既然

α \mapsto L_{α}

是从

V

到

V^{⁎⁎}

的非奇异的线性变换, 并且

\dim V^{⁎⁎} = \dim V^{⁎} = \dim V

定理9告诉我们这个变换是可逆的, 因而是一个从

V

到

V^{⁎⁎}

的同构.

◻

推论. 令

V

是域

F

上的一个有限维向量空间. 如果

L

是

V

的对偶空间

V^{⁎}

上的一个线性泛函, 那么

V

中存在唯一的向量

α

满足

L (f) = f (α)

对于

V^{⁎}

中的每个

f

成立.

推论. 令

V

是域

F

上的一个有限维向量空间. 每个

V^{⁎}

的基都是某个

V

的基的对偶.

证明. 令

𝔅^{⁎} = {f_{1}, \dots, f_{n}}

是

V^{⁎}

的一个基. 根据定理15, 存在

V^{⁎⁎}

的一个基

{L_{1}, \dots, L_{n}}

满足

L_{i} (f_{j}) = δ_{i, j} .

使用上面的推论, 对于每个

i

存在

V

中唯一的向量

α_{i}

满足

L_{i} (f) = f (α_{i})

对于

V^{⁎}

中的每个

f

成立, 即

L_{i} = L_{α_{i}}

. 立刻就能得到

{α_{1}, \dots, α_{n}}

是

V

的一个基, 并且

𝔅^{⁎}

是这个基的对偶.

◻

在定理17的观点下, 我们通常将 $α$ 和 $L_{α}$ 视为等同的, 并称 $V$ "是" $V^{⁎}$ 的对偶空间或者说空间 $V$ 和 $V^{⁎}$ 自然地相互对偶. 上面的推论中, 我们描述了该定理是怎样可能有用的. 下面我们给出更进一步的刻画.

如果 $E$ 是 $V^{⁎}$ 的一个子集, 那么零化子 $E^{0}$ (从技术上说)是 $V^{⁎⁎}$ 的一个子集. 如果我们选择如定理17那样将 $V$ 和 $V^{⁎⁎}$ 视为等同的, 那么 $E^{0}$ 是一个 $V$ 的一个子空间, 即所有满足对于每个 $E$ 中的 $f$ 有 $f (α) = 0$ 的 $V$ 中向量 $α$ 构成的集合. 在定理16的一个推论中我们注意到每个子空间 $W$ 是由其零化子 $W^{0}$ 决定的. 然而是怎样决定的呢? 答案是 $W$ 是被所有 $W^{0}$ 中的 $f$ 零化的子空间 [译注: 这个也是定理16的推论], 即所有 $W^{0}$ 中的 $f$ 的零空间之交. 在我们现有的零化子的记号下, 这个定理可以被简单地陈述为: $W = {(W^{0})}^{0}$ .

定理18. 如果

S

是有限维向量空间

V

的子集, 那么

{(S^{0})}^{0}

是由

S

张成的子空间.

证明. 令

W

是由

S

张成的子空间. 显然

W^{0} = S^{0}

. 因此, 我们要证明的是

W = W^{00}

. 我们已经给出了一个证明, 现在我们给出另一个. 根据定理16, 我们有

\dim W + \dim W^{0} = \dim V, \dim W^{0} + \dim W^{00} = \dim V^{⁎}

既然

\dim V = \dim V^{⁎}

, 于是

\dim W = \dim W^{00} .

因为

W

是

W^{00}

的子空间, 所以我们知道

W = W^{00}

◻

本节的结果对于任意的向量空间也是成立的. 然而, 证明就需要使用所谓的选择公理 (Axiom of Choice). 我们想避免被卷入对于这个公理的冗长讨论之中, 所以我们不会对于一般的向量空间处理零化子的结果. 然而, 有两个关于一般向量空间上的线性泛函的结果是如此基本, 以至于我们要涵盖它们.

令 $V$ 是一个向量空间. 我们想要定义 $V$ 中的超空间. 除非 $V$ 是有限维的, 否则我们不能通过维数来定义超空间. 但是, 我们可以用以下的方式来表达一个空间 $N$ 差一个维度就能填满 $V$ 的想法:

$N$ 是 $V$ 的一个真子空间;
如果 $W$ 是一个包含 $N$ 的子空间, 那么要么 $W = N$ 要么 $W = V$ .

条件1和2表达了

N

是一个真子空间并且没有更大的真子空间, 换言之,

N

是极大的真子空间.

定义. 如果

V

是一个向量空间, 那么

V

中的一个超空间就是

V

的一个极大的真子空间.

定理19. 如果

f

是向量空间

V

上的一个非零的线性泛函, 那么

f

的零空间就是

V

中的一个超空间. 反过来说, 每个

V

中的超空间都是某个

V

上(并不唯一的)非零的线性泛函的零空间.

证明. 令

f

是

V

上一个非零的线性泛函, 并且

N_{f}

是其零空间. 我们令

α

是一个不在

N_{f}

中的

V

的向量, 即一个满足

f (α) \neq 0

的向量. 我们将证明

V

中的每个向量都在

N_{f}

和

α

张成的子空间之中. 这个子空间由所有具有形式

γ + c α, γ \in N_{f}, c \in F

的向量构成. 令

β

是

V

中的向量, 定义

c = \frac{f (β)}{f (α)}

这个定义是合理的, 因为

f (α) \neq 0

. 那么,

γ = β - c α

在

N_{f}

之中, 因为

\begin{array}{rcl} f (γ) & = & f (β - c α) \\ = & f (β) - c f (α) \\ = & 0 \end{array}

于是

β

在由

N_{f}

和

α

张成的子空间中.
现在令

N

是

V

中的一个超空间. 固定

α

为某个不在

N

中的向量. 既然

N

是极大的真子空间, 那么由

N

和

α

张成的子空间就是整个空间

V

. 因此, 每个

V

中的向量

β

都具有形式

β = γ + c α, γ \in N, c \in F .

向量

γ

和标量

c

是由

β

唯一确定的. 如果我们也有

β = γ^{'} + c^{'} α, γ^{'} \in N, c^{'} \in F,

那么

(c^{'} - c) α = γ - γ^{'} .

如果

c^{'} - c \neq 0

, 那么

α

就应该在

N

中了, 因而有

c^{'} = c

且

γ^{'} = γ

. 另一种表述这个结论的方式如下: 如果

β

在

V

中, 那么存在唯一的标量

c

使得

β - c α

在

N

中. 称这个标量为

g (β)

. 很容易看出来

g

是

V

上的一个线性泛函并且

N

是

g

的零空间.

◻

引理. 如果

f

和

g

是一个向量空间

V

上的线性泛函, 那么

g

是

f

的标量倍数当且仅当

g

的零空间包含

f

的零空间, 即当且仅当

f (α) = 0

可以推出

g (α) = 0

证明. 如果

f = 0

, 那么也有

g = 0

g

平凡地是

f

的标量倍数. 设

f \neq 0

, 于是其零空间

N_{f}

是

V

中的一个超空间. 选择

V

中的某个向量

α

使得

f (α) \neq 0

, 并且令

c = \frac{g (α)}{f (α)} .

线性泛函

h = g - c f

在

N_{f}

上是

0

, 因为

f

和

g

在其上都是

0

. 并且, 我们还有

h (α) = g (α) - c f (α) = 0

. 因此,

h

在由

N_{f}

和

α

张成的子空间上都是

0

, 而这个子空间就是

V

. 于是, 我们得出结论

h = 0

, 即

g = c f

◻

定理20. 令

g, f_{1}, \dots, f_{r}

是向量空间

V

上的线性泛函, 设其相应的零空间分别为

N, N_{1}, \dots, N_{r}

. 那么,

g

是

f_{1}, \dots, f_{r}

的线性组合当且仅当 (if and only if)

N

包含交集

N_{1} \cap \dots \cap N_{r}

证明. 如果

g = c_{1} f_{1} + \dots + c_{r} f_{r}

且对于每个

i

有

f_{i} (α) = 0

, 那么显然

g (α) = 0

. 因此,

N

包含

N, N_{1}, \dots, N_{r}

.
我们将通过数字

r

上的归纳证明另一个方向 (定理的"if"一半). 之前的引理处理了

r = 1

的情况. 设我们已知结果对于

r = k - 1

成立, 并且令

f_{1}, \dots, f_{k}

是分别以

N_{1}, \dots, N_{k}

为零空间的线性泛函, 满足

N_{1} \cap \dots \cap N_{k}

是

N

的子集,

N

即

g

的零空间. 令

g^{'}, f_{1}^{'}, \dots, f_{k - 1}^{'}

分别是

g, f_{1}, \dots, f_{k - 1}

于子空间

N_{k}

上的限制, 那么

g^{'}, f_{1}^{'}, \dots, f_{k - 1}^{'}

是向量空间

N_{k}

上的线性泛函. 而且, 如果

α

是一个

N_{k}

中的向量并有

f_{i}^{'} (α) = 0, i = 1, \dots, k - 1

, 那么

α

在

N_{1} \cap \dots \cap N_{k}

之中, 因而有

g^{'} (α) = 0

. 根据归纳 (

r = k - 1

的情形), 存在标量

c_{i}

满足

g^{'} = c_{1} f_{1}^{'} + \dots + c_{k - 1} f_{k - 1}^{'} .

现在令

h = g - \sum_{i = 1}^{k - 1} c_{i} f_{i},

那么

h

是一个

V

上的线性泛函, 并且

h

的定义告诉我们对于每个

N_{k}

中的

α

有

h (α) = 0

. 根据之前的引理,

h

是

f_{k}

的一个标量倍数. 如果

h = c_{k} f_{k}

, 那么

g = \sum_{i = 1}^{k} c_{i} f_{i} .

◻

练习1. 令

n

是一个正整数而

F

是一个域. 令

W

是

F^{n}

中所有满足

x_{1} + \dots + x_{n} = 0

的

(x_{1}, \dots, x_{n})

构成的集合.

证明 $W^{0}$ 由所有具有形式 $f (x_{1}, \dots, x_{n}) = c \sum_{j = 1}^{n} x_{j}$ 的线性泛函 $f$ 构成.
证明 $W$ 的对偶空间 $W^{⁎}$ 可被"自然地"等同为 $F^{n}$ 上所有满足 $c_{1} + \dots + c_{n} = 0$ 的线性泛函 $f (x_{1}, \dots, x_{n}) = c_{1} x_{1} + \dots + c_{n} x_{n}$ 构成的集合.

练习2. 运用定理20来证明以下事实. 如果

W

是一个有限维向量空间

V

的子空间, 并且如果

{g_{1}, \dots, g_{r}}

是

W^{0}

任意的基, 那么

W = ⋂_{i = 1}^{r} N_{g_{i}} .

练习3. 令

S

是一个集合,

F

是一个域, 以及

V (S; F)

是所有从

S

到

F

的函数构成的空间:

(f + g) (x) = f (x) + g (x), (c f) (x) = c f (x) .

令

W

是

V (S; F)

任意的

n

维子空间. 证明存在

S

中的点

x_{1}, \dots, x_{n}

和

W

中的函数

f_{1}, \dots, f_{n}

满足

f_{i} (x_{j}) = δ_{i, j}

第3.7节线性变换的转置

设我们有两个域 $F$ 上的向量空间 $V$ 和 $W$ , 以及一个从 $V$ 到 $W$ 的线性变换 $T$ , 那么 $T$ 按照以下方式导出了一个从 $W^{⁎}$ 到 $V^{⁎}$ 的线性变换. 设 $g$ 是 $W$ 上的一个线性泛函, 对于每个 $V$ 中的 $α$ , 令 $f (α) = g (T α)$ 那么这就定义了一个从 $V$ 到 $F$ 的函数 $f$ , 即 $T$ (一个从 $V$ 到 $W$ 的函数) 与 $g$ (一个从 $W$ 到 $F$ 的函数) 相复合. 既然 $T$ 和 $g$ 都是线性的, 那么定理6告诉我们 $f$ 也是线性的, 即 $f$ 是一个 $V$ 上的线性泛函. 因此, $T$ 给我们提供了一个规则 $T^{t}$ , 其为每个 $W$ 上的线性泛函 $g$ 赋一个 $V$ 上的线性泛函 $f = T^{t} g$ , 如上面的式子所定义的那样. 读者也应该注意到 $T^{t}$ 实际上是一个从 $W^{⁎}$ 到 $V^{⁎}$ 的线性变换, 因为如果 $g_{1}$ 和 $g_{2}$ 在 $W^{⁎}$ 中而 $c$ 是一个标量, 那么 $\begin{array}{rcl} [T^{t} (c g_{1} + g_{2})] (α) & = & (c g_{1} + g_{2}) (T α) \\ = & c g_{1} (T α) + g_{2} (T α) \\ = & c (T^{t} g_{1}) (α) + (T^{t} g_{2}) (α) \end{array}$ 于是 $T^{t} (c g_{1} + g_{2}) = c T^{t} g_{1} + T^{t} g_{2}$ . 让我们总结一下.

定理21. 令

V

和

W

是域

F

上的向量空间. 对于每个从

V

到

W

的线性变换, 存在唯一的从

W^{⁎}

到

V^{⁎}

的线性变换

T^{t}

满足

(T^{t} g) (α) = g (T α)

对于每个

W^{⁎}

中的

g

和

V

中的

α

成立.

我们将称 $T^{t}$ 为 $T$ 的转置. 这个变换 $T^{t}$ 也常被称作 $T$ 的伴随. 然而, 我们不会使用这个术语.

定理22. 令

V

和

W

是域

F

上的向量空间,

T

是一个从

V

到

W

的线性变换.

T^{t}

的零空间是

T

的像的零化子. 如果

V

和

W

是有限维的, 那么

$rank (T^{t}) = rank (T)$ ;
$T^{t}$ 的像是 $T$ 的零空间的零化子.

证明. 如果

g

在

W^{⁎}

中, 那么根据定义有

(T^{t} g) (α) = g (T α)

对于每个

V

中的

α

成立.

g

在

T^{t}

的零空间之中的意思是对于每个

V

中的

α

有

g (T α) = 0

. 因此,

T^{t}

的零空间就恰是

T

的像的零化子.
设

V

和

W

是有限维的, 比如说

\dim V = n

和

\dim W = m

. 对于i: 令

r

是

T

的秩, 即

T

的像的维数. 根据定理16,

T

的像的零化子的维数是

(m - r)

. 根据这个定理的第一条陈述, 我们知道

T^{t}

的零化度必然是

(m - r)

. 但是如果这样的话, 既然

T^{t}

是一个

m

维空间上的线性变换, 那么

T^{t}

的秩就应该是

m - (m - r) = r

, 于是

T

和

T^{t}

有着相同的秩. 对于ii: 令

N

是

T

的零空间. 每个

T^{t}

的像之中的线性泛函都在

N

的零化子之中, 因为若设对于某个

W^{⁎}

中的

g

有

f = T^{t} g

, 那么如果

α

在

N

中, 有

f (α) = (T^{t} g) (α) = g (T α) = g (0) = 0 .

现在我们知道

T^{t}

的像是空间

N^{0}

的一个子空间, 并且

\dim N^{0} = n - \dim N = rank (T) = rank (T^{t})

于是

T^{t}

的像必然就恰是

N^{0}

◻

定理23. 令

V

和

W

是域

F

上的有限维向量空间. 令

𝔅

是

V

的一个有序基, 其对偶基是

𝔅^{⁎}

. 令

𝔅^{'}

是

W

的一个有序基, 其对偶基是

{𝔅^{'}}^{⁎}

. 令

T

是一个从

V

到

W

的线性变换, 令

A

是

T

相对于

𝔅

和

𝔅^{'}

的矩阵. 令

B

是

T^{t}

相对于

{𝔅^{'}}^{⁎}

和

𝔅^{⁎}

的矩阵, 那么

B_{i, j} = A_{j, i}

证明. 令

𝔅 = {α_{1}, \dots, α_{n}}, 𝔅^{'} = {β_{1}, \dots, β_{m}}, 𝔅^{⁎} = {f_{1}, \dots, f_{n}}, {𝔅^{'}}^{⁎} = {g_{1}, \dots, g_{m}} .

根据定义,

T α_{j} = \sum_{i = 1}^{m} A_{i, j} β_{i}, j = 1, \dots, n, T^{t} g_{j} = \sum_{i = 1}^{n} B_{i, j} f_{i}, j = 1, \dots, m .

另一方面,

\begin{array}{rcl} (T^{t} g_{j}) (α_{i}) & = & g_{j} (T α_{i}) \\ = & g_{j} (\sum_{k = 1}^{m} A_{k, i} β_{k}) \\ = & \sum_{k = 1}^{m} A_{k, i} g_{j} (β_{k}) \\ = & \sum_{k = 1}^{m} A_{k, i} δ_{j, k} \\ = & A_{j, i} \end{array}

对于

V

上任意的线性泛函

f

我们有

f = \sum_{i = 1}^{n} f (α_{i}) f_{i} .

如果我们将此公式应用于泛函

f = T^{t} g_{j}

并运用

(T^{t} g_{j}) (α_{i}) = A_{j, i}

的事实, 那么我们有

T^{t} g_{j} = \sum_{i = 1}^{n} A_{j, i} f_{i}

从中立即可以得出

B_{i, j} = A_{j, i}

◻

定义. 如果

A

是域

F

上的一个

m \times n

矩阵, 那么

A

的转置

A^{t}

是由

A_{i, j}^{t} = A_{j, i}

定义的

n \times m

矩阵.

定理23是说如果 $T$ 是一个从 $V$ 到 $W$ 的线性变换, 其在某对有序基下的矩阵是 $A$ , 那么转置变换 $T^{t}$ 在与之对偶的一对有序基下由转置矩阵 $A^{t}$ 表示.

定理24. 令

A

是域

F

上任意的

m \times n

矩阵, 那么

A

的行秩等于

A

的列秩.

证明. 令

𝔅

是

F^{n}

的标准有序基,

𝔅^{'}

是

F^{m}

的标准有序基. 令

T

是从

F^{n}

到

F^{m}

的线性变换, 其相对于

𝔅

和

𝔅^{'}

的矩阵是

A

, 即

T (x_{1}, \dots, x_{n}) = (y_{1}, \dots, y_{m})

其中

y_{i} = \sum_{j = 1}^{n} A_{i, j} x_{j} .

A

的列秩等于变换

T

的秩, 因为

T

的像由所有这样的

m

元组构成, 其是

A

的列向量的线性组合. [译注: 在同构的意义下]
相对于对偶基

{𝔅^{'}}^{⁎}

和

𝔅^{⁎}

, 转置变换

T^{t}

由矩阵

A^{t}

表示. 既然

A^{t}

的列即

A

的行, 以相同的推理我们看出

A

的行秩 (

A^{t}

的列秩) 等于

T^{t}

的秩. 根据定理22,

T

和

T^{t}

有着相同的秩, 因此

A

的行秩等于

A

的列秩.

◻

现在我们知道如果 $A$ 是一个域 $F$ 的 $m \times n$ 矩阵而 $T$ 是一个按照以上方式定义的从 $F^{n}$ 到 $F^{m}$ 的线性变换, 那么 $rank (T) = row-rank (A) = column-rank (A) .$ 我们将简单地称这个数字为 $A$ 的秩.

例子25. 这个例子是一般性质的——与其说是例子, 不如说是讨论. 令

V

是域

F

上的一个

n

维向量空间, 令

T

是

V

上的一个线性变换. 设

𝔅 = {α_{1}, \dots, α_{n}}

是

V

的一个有序基.

T

在有序基

𝔅

下的矩阵被定义为

n \times n

矩阵

A

, 即

T α_{j} = \sum_{i = 1}^{n} A_{i, j} α_{i} .

换言之,

A_{i, j}

是向量

T α_{j}

在有序基

𝔅

下的第

i

个坐标. 如果

{f_{1}, \dots, f_{n}}

是

𝔅

的对偶基的话, 这可以被简单地陈述为

A_{i, j} = f_{i} (T α_{j}) .

让我们看看若改变基会发生什么. 设

𝔅^{'} = {α_{1}^{'}, \dots, α_{n}^{'}}

是

V

的另一个有序基, 其对偶基是

{f_{1}^{'}, \dots, f_{n}^{'}}

. 如果

B

是

T

在有序基

𝔅^{'}

下的矩阵, 那么

B_{i, j} = f_{i}^{'} (T α_{j}^{'}) .

令

U

是满足

U α_{j} = α_{j}^{'}

的可逆线性算子, 那么

U

的转置由

U^{t} f_{i}^{'} = f_{i}

给出. 读者很容易验证如果

U

是可逆的, 那么

U^{t}

和

{(U^{t})}^{- 1} = {(U^{- 1})}^{t}

也是可逆的. 因此,

f_{i}^{'} = {(U^{- 1})}^{t} f_{i}, i = 1, \dots, n

. 于是,

\begin{array}{rcl} B_{i, j} & = & f_{i}^{'} (T α_{j}^{'}) \\ = & [{(U^{- 1})}^{t} f_{i}] (T α_{j}^{'}) \\ = & f_{i} (U^{- 1} T α_{j}^{'}) \\ = & f_{i} (U^{- 1} T U α_{j}) \end{array}

那么这说明了什么呢? 嗯,

f_{i} (U^{- 1} T U α_{j})

是

U^{- 1} T U

在有序基

𝔅

下的矩阵的第

i

行

j

列元素. 上面的计算表明这个标量也是

T

在有序基

𝔅^{'}

下的第

i

行

j

列元素. 换句话说,

\begin{array}{rcl} {[T]}_{𝔅^{'}} & = & {[U^{- 1} T U]}_{𝔅} \\ = & {[U^{- 1}]}_{𝔅} {[T]}_{𝔅} {[U]}_{𝔅} \\ = & {[U]}_{𝔅}^{- 1} {[T]}_{𝔅} {[U]}_{𝔅} \end{array}

而这恰好就是我们之前推导出来的基变换公式.

练习1. 令

F

是一个域, 令

f

是

F^{2}

上由

f (x_{1}, x_{2}) = a x_{1} + b x_{2}

定义的线性泛函. 对于以下的每个线性算子

T

, 令

g = T^{t} f

, 找出

g (x_{1}, x_{2})

$T (x_{1}, x_{2}) = (x_{1}, 0)$ ;
$T (x_{1}, x_{2}) = (- x_{2}, x_{1})$ ;
$T (x_{1}, x_{2}) = (x_{1} - x_{2}, x_{1} + x_{2})$ .

练习2. 令

V

是实数域上的多项式函数的向量空间. 令

a

和

b

是固定的实数, 令

f

是

V

上由

f (p) = \int_{a}^{b} p (x) d x

定义的线性泛函. 如果

D

是

V

上的微分算子, 那么

D^{t} f

是什么呢?

练习3. 令

A

是域

F

上

n \times n

矩阵的向量空间, 令

B

是一个固定的

n \times n

矩阵. 如果

T

是

V

上由

T (A) = A B - B A

定义的线性算子,

f

是迹函数, 那么

T^{t} f

是什么呢?

练习4. 令

V

是域

F

上的一个有限维向量空间, 令

T

是

V

上的一个线性算子. 令

c

是一个标量, 设

V

中存在非零的向量

α

使得

T α = c α

. 证明

V

上存在一个非零的线性泛函

f

使得

T^{t} f = c f

练习5. 令

A

是

ℝ

上的

m \times n

矩阵. 证明

A = 0

当且仅当

trace (A^{t} A) = 0

练习6. 令

n

是一个正整数, 令

V

是实数域上次数不超过

n

的多项式函数构成的向量空间, 即所有具有形式

f (x) = c_{0} + c_{1} x + \dots + c_{n} x^{n}

的函数构成的空间. 令

D

是

V

上的微分算子. 找出转置算子

D^{t}

的零空间的一个基.

练习7. 令

V

是域

F

上的一个有限维向量空间. 证明

T \mapsto T^{t}

是一个从

L (V, V)

到

L (V^{⁎}, V^{⁎})

的同构.

练习8. 令

V

是域

F

上的

n \times n

矩阵构成的向量空间.

如果 $B$ 是一个固定的 $n \times n$ 矩阵, 以 $f_{B} (A) = trace (B^{t} A)$ 定义一个 $V$ 上的函数 $f_{B}$ . 证明 $f_{B}$ 是 $V$ 上的一个线性泛函.
证明每个 $V$ 上的线性泛函都具有以上形式, 即是某个 $B$ 下的 $f_{B}$ .
证明 $B \mapsto f_{B}$ 是一个从 $V$ 到 $V^{⁎}$ 的同构.

线性代数

第3章 线性变换

第3.1节 线性变换

第3.2节 线性变换的代数

第3.3节 同构

第3.4节 通过矩阵表示变换

第3.5节 线性泛函

第3.6节 二次对偶

第3.7节 线性变换的转置

第3章线性变换

第3.1节线性变换

第3.2节线性变换的代数

第3.3节同构

第3.4节通过矩阵表示变换

第3.5节线性泛函

第3.6节二次对偶

第3.7节线性变换的转置