线性代数

第5章 行列式

第5.1节 交换环

本章我们将证明与方阵的行列式有关的基本事实. 我们不仅对于域上的矩阵这么做, 矩阵的元素还可能是更一般类型的"标量". 这种一般化有两个理由. 首先, 在下一章, 我们将会发现不得不处理元素是多项式的矩阵的行列式. 其次, 在我们呈现的对于行列式的处理中, 有一条公理是不发挥作用的, 也就是保证每个非零元素都拥有乘法逆元的那条公理. 出于这些原因, 建立含幺交换环上的矩阵的行列式理论是合适的.

这里我们感兴趣的是含幺交换环. 这样的环, 可以被简要地描述为一个集合$K$带有两种运算, 满足第1章给出的域公理, 除了公理8和条件$1\ne 0$. 因此, 域是含有非零幺元的交换环, 并且每个非零元都可逆. 整数集, 带有通常的运算, 就是一个含幺交换环, 但不是域. 另一个含幺交换环的例子是域上的多项式.

如果$K$是一个含幺交换环, 我们定义$K$上的$m\times n$矩阵是一个从整数序对$(i,j),1\le i\le m,1\le j\le n$的集合到$K$的函数. 像往常一样, 我们将这样的矩阵表示为$m$行$n$列的矩形阵列. $K$上的矩阵的和与积定义恰如域上的矩阵 $${(A+B)}_{i,j}=A_{i,j}+B_{i,j}$$ $${(AB)}_{i,j}=\sum _k^{}{A}_{i,k}{B}_{k,j}$$ 当$A$和$B$具有相同的行数和列数时, 和有定义. 当$A$的列数等于$B$的行数时, 积有定义. 这些运算的基本代数性质当然仍然成立, 例如 $$A(B+C)=AB+AC,A(BC)=(AB)C,\text{等等.}$$

和域的情况一样, 我们将称$K$的元素为标量. 接着, 我们可以像之前一样定义矩阵的行或列的线性组合. 粗略说来, 我们对于域上的矩阵所做的事情, 对于$K$上的矩阵一样合法, 除了那些需要"除法"的结果.

第5.2节 行列式函数

令$K$是一个含幺交换环. 我们希望为每个$K$上的$n\times n$矩阵赋一个被称为行列式的标量. 将行列式定义为基于矩阵元素的公式是可能的, 接着人们可以从这个公式里推导出行列式的性质. 然而, 这样的公式是相当复杂的, 为了获得一些技术性优势, 我们将按以下方式处理. 我们将$K^{n\times n}$上的"行列式函数"定义为一种具有如下特别性质的函数. 它对于矩阵的每一行都是线性的; 若矩阵具有两个相等的行, 那么其值为$0$; 对于恒等矩阵, 其值为$1$. 我们将证明这样的函数存在, 并且唯一, 也就是恰有一个这样的函数. 随着我们证明唯一性, 就得到了一个行列式的显式公式, 以及许多有用的性质.

本节我们将致力于"行列式函数"的定义, 以及证明至少有一个这样的函数存在.

这个定义需要一些澄清. 如果$D$是一个从$K^{n\times n}$到$K$的函数, 并且如果${\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_n$是矩阵$A$的行, 那么我们也记 $$D(A)=D({\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_n)$$ 即是说, 我们也将$D$想成是$A$的行的函数. $D$是$n$线性的陈述意味着 $$D({\alpha }_1,\dots ,c{\alpha }_i+{\alpha }_i^{\prime },\dots ,{\alpha }_n)=cD({\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_i,\dots ,{\alpha }_n)+D({\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_i^{\prime },\dots ,{\alpha }_n)$$ 如果我们固定除了第$i$行之外的所有行并将$D$视为第$i$行的函数, 那么将$D(A)$写成$D({\alpha }_i)$是更方便的. 因此, 我们可以将上式简写成 $$D(c{\alpha }_i+{\alpha }_i^{\prime })=cD({\alpha }_i)+D({\alpha }_i^{\prime })$$ 只要意思足够清楚即可.

如果$K$是一个域而$V$是$K$上的$n\times n$矩阵的集合, 那么以上引理是说, $V$上的$n$线性函数的集合是从$V$到$K$的所有函数的空间的子空间.

我们将在之后证明任何满足条件a的$n$线性函数自动地满足条件b. 我们将两种条件放在交错$n$线性函数的定义里主要是为了方便. 读者可能也会注意到如果$D$满足b, 而$A$是一个有着相等两行的矩阵, 那么$D(A)=-D(A)$. 这让人忍不住断言$D$也满足条件a. 这在某些时候是对的, 例如$K$是一个满足$1+1\ne 0$的域, 但在一般情况下a不是b的推论.

正如我们之前所说的, 我们最终要证明$K$上的$n\times n$矩阵上恰存在一个行列式函数. 这对于$K$上的$1\times 1$矩阵$A=[a]$而言是显然的. 由$D(A)=a$给定的函数$D$是一个行列式函数, 并且很明显这就是$1\times 1$的矩阵上唯一的行列式函数. 现在我们来处理$n=2$的情况. 我们已经在例子3中表明了 $$D(A)=A_{1,1}{A}_{2,2}-A_{1,2}{A}_{2,1}$$ 是一个行列式函数. 而且, 例子2中呈现的公式表明$D$是$2\times 2$矩阵上唯一的行列式函数. 这是因为, 我们已经证明了对于任何$2$线性函数$D$有 $$D(A)=A_{1,1}{A}_{2,1}D({\epsilon }_1,{\epsilon }_1)+A_{1,1}{A}_{2,2}D({\epsilon }_1,{\epsilon }_2)+A_{1,2}{A}_{2,1}D({\epsilon }_2,{\epsilon }_1)+A_{1,2}{A}_{2,2}D({\epsilon }_2,{\epsilon }_2)$$ 如果$D$是交错的, 那么 $$D({\epsilon }_1,{\epsilon }_1)=D({\epsilon }_2,{\epsilon }_2)=0$$ 且 $$D({\epsilon }_2,{\epsilon }_1)=-D({\epsilon }_1,{\epsilon }_2)=-D(I)$$ 如果$D$还满足$D(I)=1$, 那么 $$D(A)=A_{1,1}{A}_{2,2}-A_{1,2}{A}_{2,1}$$

第5.3节 置换和行列式的唯一性

本节我们将证明$K$上的$n\times n$矩阵上的行列式函数的唯一性. 这个证明相当自然地将我们引向考虑置换及其一些基本性质.

设$D$是$K$上的$n\times n$矩阵上的一个交错的$n$线性函数. 令$A$是一个$K$上的$n\times n$矩阵, 其行分别为${\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_n$. 如果我们用${\epsilon }_1,{\epsilon }_2,\dots ,{\epsilon }_n$表示$K$上的$n\times n$恒等矩阵的行, 那么 $${\alpha }_i=\sum _{j=1}^{n}A(i,j){\epsilon }_j,1\le i\le n$$ 因此 $$\begin{array}{rcl}D(A)& =& D\left(\sum _j^{}A(1,j){\epsilon }_j,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_n\right)\\ & =& \sum _j^{}A(1,j)D({\epsilon }_j,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_n)\end{array}$$ 如果我们现在替换${\alpha }_2$以$\sum _k^{}A(2,k){\epsilon }_k$, 那么我们看到 $$D({\epsilon }_j,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_n)=\sum _k^{}A(2,k)D({\epsilon }_j,{\epsilon }_k,\dots ,{\alpha }_n)$$ 因此 $$D(A)=\sum _{j,k}^{}A(1,j)A(2,k)D({\epsilon }_j,{\epsilon }_k,\dots ,{\alpha }_n)$$ 对于$D({\epsilon }_j,{\epsilon }_k,\dots ,{\alpha }_n)$我们接着替换${\alpha }_3$以$\sum _l^{}A(3,l){\epsilon }_l$, 如此反复. 最终我们得到了一个$D(A)$的表达式, 其复杂但在理论上十分重要, 即 $$D(A)=\sum _{k_1,k_2,\dots ,k_n}^{}A(1,k_1)A(2,k_2)\cdots A(n,k_n)D({\epsilon }_{k_1},{\epsilon }_{k_2},\dots ,{\epsilon }_{k_n})$$ 此和布于所有不超过$n$的正整数的有限序列$(k_1,k_2,\dots ,k_n)$之上. 这表明$D$是一系列函数的有限之和, 它们具有例子1所刻画的类型. 应该注意到此式仅是$D$为$n$线性之推论, 而例子2是其一个特殊情形. 既然$D$是交错的, 那么每当下标$k_i$之中有两个相等时, 有 $$D({\epsilon }_{k_1},{\epsilon }_{k_2},\dots ,{\epsilon }_{k_n})=0$$ 不超过$n$的正整数的一个有限序列$(k_1,k_2,\dots ,k_n)$, 若其没有两个相等的分量, 则被称为一个$n$阶置换. 因此, 在这$D$的复杂表达式之中, 我们只需要将$(k_1,k_2,\dots ,k_n)$算是$n$阶置换的部分加起来即可.

既然一个有限的序列, 或者说$n$元组, 是一个定义于前$n$个正整数上的函数, 一个$n$阶置换可以被定义为从集合$\{1,2,\dots ,n\}$到自身的双射. 这样一个函数$\sigma$对应于$n$元组$(\sigma 1,\sigma 2,\dots ,\sigma n)$, 因此实际上它不过就是一个以某种良定的方式排列$1,2,\dots ,n$的规则.

如果$D$是一个交错的$n$线性函数, 而$A$是$K$上的一个$n\times n$矩阵, 那么 $$D(A)=\sum _{\sigma }^{}A(1,\sigma 1)\cdots A(n,\sigma n)D({\epsilon }_{\sigma 1},\dots ,{\epsilon }_{\sigma n})$$ 此和布于所有$n$阶置换$\sigma$之上.

接着我们将证明 $$D({\epsilon }_{\sigma 1},\dots ,{\epsilon }_{\sigma n})=\pm D({\epsilon }_1,\dots ,{\epsilon }_n)$$ 其中符号$\pm$仅依赖于排列$\sigma$. 理由如下. 序列$(\sigma 1,\sigma 2,\dots ,\sigma n)$可由$(1,2,\dots ,n)$通过有限次交换元素得到. 例如, 如果$\sigma 1\ne 1$, 那么我们可以交换$1$和$\sigma 1$的位置, 获得$(\sigma 1,\dots ,1,\dots )$. 继行此法, 我们将在$n$次或更少这样的交换之后抵达序列$(\sigma 1,\sigma 2,\dots ,\sigma n)$. [译注: 实际上最多仅需$(n-1)$次这样的交换. 另外, 交换也可以被视为一种特殊的置换, 那么这是说任何置换都可以被表示为交换的复合.] 既然$D$是交错的, 那么每当我们交换行${\epsilon }_i$和${\epsilon }_j$其值的符号就会改变. 因此, 如果我们通过$m$次交换从$(1,2,\dots ,n)$得到了$(\sigma 1,\sigma 2,\dots ,\sigma n)$, 我们有 $$D({\epsilon }_{\sigma 1},\dots ,{\epsilon }_{\sigma n})={(-1)}^{m}D({\epsilon }_1,\dots ,{\epsilon }_n)$$ 特别地, 如果$D$是一个行列式函数, $$D({\epsilon }_{\sigma 1},\dots ,{\epsilon }_{\sigma n})={(-1)}^m$$ 其中$m$仅依赖于$\sigma$而不依赖于$D$. 因此, 所有的行列式函数为以${\epsilon }_{\sigma 1},\dots ,{\epsilon }_{\sigma n}$为行的矩阵赋相同的值, 该值要么是$1$要么是$-1$.

现在我们给出一个关于置换的基本事实. 如果$\sigma$是一个$n$阶置换, 读者可以通过一系列交换由$(1,2,\dots ,n)$得到$(\sigma 1,\sigma 2,\dots ,\sigma n)$, 而且这可以按照各种不同的方式进行. 尽管如此, 不论以何种方式进行, 交换的次数要么总是偶数, 要么总是奇数. 于是, 置换也就相应地被称为偶的或奇的. 我们以 $$\mathrm{sgn}\sigma =\{\begin{array}{cc}1& ,\text{如果}\sigma \text{是偶置换}\\ -1& ,\text{如果}\sigma \text{是奇置换}\end{array}$$ 定义置换的符号 (sign), 其中符号 (symbol) "$1$"代表整数$1$. [译注: 实际上, 我们需要定义整数和环/域的元素的乘法, 当然它只依赖于加法群的结构.]

我们将在之后表明置换的这个基本性质可从我们已经知道的关于行列式函数的东西推导出来. 让我们暂时假设这个性质成立, 那么整数$m$在$\sigma$是偶置换的情况下总是偶数, 在$\sigma$是奇置换的情况下总是奇数. 那么, 对于任何一个交错的$n$线性函数$D$我们有 $$D({\epsilon }_{\sigma 1},\dots ,{\epsilon }_{\sigma n})=(\mathrm{sgn}\sigma )D({\epsilon }_1,\dots ,{\epsilon }_n)$$ 那么根据我们已经得到的公式, $$D(A)=\left[\sum _{\sigma }^{}(\mathrm{sgn}\sigma )A(1,\sigma 1)\cdots A(n,\sigma n)\right]D(I)$$ 当然$I$代表$n\times n$的恒等矩阵.

从此结果之中我们可以看出来$K$上的$n\times n$矩阵上恰存在唯一的行列式函数. 如果我们用$\det$代表这个函数, 那么它由 $$\det (A)=\sum _{\sigma }^{}(\mathrm{sgn}\sigma )A(1,\sigma 1)\cdots A(n,\sigma n)$$ 给出, 其中和布于所有$n$阶置换之上. 我们可以将其形式化地总结如下.

这就是我们一直在寻求的定理, 不过证明中我们留下了一个gap. 这个gap就是证明对于一个给定的$\sigma$, 当我们从$(1,2,\dots ,n)$经过交换得到$(\sigma 1,\sigma 2,\dots ,\sigma n)$时, 交换的次数要么总是偶数, 要么总是奇数. 这个基本的组合学事实当然可以不借助于行列式来证明. 然而, 我们乐意指出如何从$n\times n$矩阵上的行列式函数的存在性中得到这个事实.

令$K$是整数环, 令$D$是$K$上的$n\times n$矩阵上的一个行列式函数. 令$\sigma$是一个$n$阶置换, 设我们通过$m$次交换从$(1,2,\dots ,n)$得到$(\sigma 1,\sigma 2,\dots ,\sigma n)$. 之前我们已经知道的 $${(-1)}^m=D({\epsilon }_{\sigma 1},\dots ,{\epsilon }_{\sigma n})$$ 也就是说, ${(-1)}^m$必须是$D$在以${\epsilon }_{\sigma 1},\dots ,{\epsilon }_{\sigma n}$为行的矩阵上的值. 如果 $$D({\epsilon }_{\sigma 1},\dots ,{\epsilon }_{\sigma n})=1$$ 那么$m$必须是偶数. 如果 $$D({\epsilon }_{\sigma 1},\dots ,{\epsilon }_{\sigma n})=-1$$ 那么$m$必须是奇数. [译注: 若$m$可能为奇可能为偶, 那么$D$就不是良定的了.]

既然我们有了$n\times n$矩阵的行列式的显式公式, 并且这个公式牵扯到$n$阶置换, 让我们对于置换的一些观察为本节作结. 首先, 我们注意到恰存在$n!=1\cdot 2\cdot \cdots \cdot n$个$n$阶置换. 这是因为, 如果$\sigma$是一个置换, $\sigma 1$存在$n$种可能的选择. 当作出这个选择之后, $\sigma 2$有$(n-1)$种选择, 然后$\sigma 3$有$(n-2)$种选择, 诸如此类. 因此, 存在 $$n\cdot (n-1)\cdot (n-2)\cdot \cdots \cdot 2\cdot 1=n!$$ 种置换$\sigma$. 于是, $\det (A)$的公式是$n!$个项的和, 每一项对应于一个$n$阶置换. 每个项都是$A$的$n$个元素之积 $$A(1,\sigma 1)\cdots A(n,\sigma n)$$ 其中每个元素都来自于不同的每一行和不同的每一列, 并且根据$\sigma$是偶置换还是奇置换, 前面带着符号"$+$"或者"$-$".

当置换被认为是从集合$\{1,2,\dots ,n\}$到自身的双射时, 我们可以定义置换的积. $\sigma$和$\tau$之积被简单地定义为复合函数$\sigma \tau$, 其由 $$(\sigma \tau )(i)=\sigma (\tau (i))$$ 定义. 如果$\epsilon$代表恒等置换, 即由$\epsilon (i)=i$定义的置换, 那么对于每个置换$\sigma$存在一个逆${\sigma }^{-1}$满足 $$\sigma {\sigma }^{-1}={\sigma }^{-1}\sigma =\epsilon$$ 我们可以这样总结我们的观察, 即是说所有$n$阶置换构成的集合, 在函数复合之下, 是一个群. 这个群一般被称为$n$阶对称群.

从置换的积的角度来看, 置换的符号的基本性质是 $$\mathrm{sgn}(\sigma \tau )=(\mathrm{sgn}\sigma )(\mathrm{sgn}\tau )$$ 换句话说, $\sigma \tau$是偶置换, 如果$\sigma$和$\tau$都是偶置换或都是奇置换; $\sigma \tau$是奇置换, 如果其中有一个是奇置换, 另一个是偶置换. 读者可以基于交换操作的相继从符号的定义中看出来这个结果. [译注: 如果$\sigma$可以被表示为$m$个交换的复合, 而$\tau$可以被表示为$l$个交换的复合, 那么显然$\sigma \tau$可以被表示为$(m+l)$个交换的复合, 由此看出这基本性质.] 如果我们指出如何从行列式的一个基本性质中得到$\mathrm{sgn}(\sigma \tau )=(\mathrm{sgn}\sigma )(\mathrm{sgn}\tau )$, 那也是很有好处的.

令$K$是整数环, 令$\sigma$和$\tau$是$n$阶置换. 令${\epsilon }_1,\dots ,{\epsilon }_n$是$K$上的$n\times n$恒等矩阵的行, 令$A$是以${\epsilon }_{\tau 1},\dots ,{\epsilon }_{\tau n}$为行的矩阵, 令$B$是以${\epsilon }_{\sigma 1},\dots ,{\epsilon }_{\sigma n}$为行的矩阵. $A$的第$i$行仅包含一个非零元素, 那就是在第$\tau i$列的$1$. 从这点很容易看出${\epsilon }_{\sigma \tau i}$是积矩阵$AB$的第$i$行, 那么现在有 $$\det (A)=\mathrm{sgn}\tau ,\det (B)=\mathrm{sgn}\sigma ,\det (AB)=\mathrm{sgn}(\sigma \tau )$$ 只要我们证明了以下定理, 就能立刻得出$\mathrm{sgn}(\sigma \tau )=(\mathrm{sgn}\sigma )(\mathrm{sgn}\tau )$.

$\mathrm{sgn}(\sigma \tau )=(\mathrm{sgn}\sigma )(\mathrm{sgn}\tau )$仅是定理3的众多推论之一. 我们将在下一节考虑其中一些推论.

第5.4节 行列式的额外性质

本节我们将讲述$n\times n$矩阵上的行列式函数的一些有用性质. 或许首先应该注意到以下事实. 在我们对于$\det (A)$的讨论中, $A$的行扮演着具有特权的角色. 既然行和列本质上没有区别, 那么读者也会期望$\det (A)$是$A$的列的交错的$n$线性函数. 诚然如此, 而为了证明它, 仅需要证明 $$\det (A^t)=\det (A)$$ 就够了, 其中$A^t$代表$A$的转置.

如果$\sigma$是一个$n$阶置换, $$A^t(i,\sigma i)=A(\sigma i,i)$$ 根据行列式的公式, 我们可以得到 $$\det (A^t)=\sum _{\sigma }^{}(\mathrm{sgn}\sigma )A(\sigma 1,1)\cdots A(\sigma n,n)$$ 当$i={\sigma }^{-1}j$时, $A(\sigma i,i)=A(j,{\sigma }^{-1}j)$, 因此 $$A(\sigma 1,1)\cdots A(\sigma n,n)=A(1,{\sigma }^{-1}1)\cdots A(n,{\sigma }^{-1}n)$$ 既然$\sigma {\sigma }^{-1}$是恒等置换, 那么 $$(\mathrm{sgn}\sigma )(\mathrm{sgn}{\sigma }^{-1})=1\text{或}\mathrm{sgn}({\sigma }^{-1})=\mathrm{sgn}(\sigma )$$ 而且, 当$\sigma$遍历所有$n$阶置换时, ${\sigma }^{-1}$也遍历了所有的$n$阶置换. 因此, $$\begin{array}{rcl}\det (A^t)& =& \sum _{\sigma }^{}(\mathrm{sgn}{\sigma }^{-1})A(1,{\sigma }^{-1}1)\cdots A(n,{\sigma }^{-1}n)\\ & =& \det (A)\end{array}$$ 证明完毕.

在特定场合, 读者需要计算特定的行列式. 当不得不进行计算时, 以下事实往往是很有用的. 如果$B$是由$A$通过将某一行的倍数加到另一行上去 (或者将某一列的倍数加到另一列上去) 得到的, 那么 $$\det (B)=\det (A)$$ 我们将证明关于行的陈述. 令$B$是$A$由加$c{\alpha }_j$到${\alpha }_i$上得到的, 其中$i\ne j$. [译注: 原文是$i<j$, 疑有误.] 既然$\det$对于第$i$行是线性的, 那么 $$\begin{array}{rcl}\det (B)& =& \det (A)+c\det ({\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_j,\dots ,{\alpha }_j,\dots ,{\alpha }_n)\\ & =& \det (A)\end{array}$$ [译注: 当然这也用到交错性.]

另一个有用的事实如下. 设我们拥有一个分块形式的$n\times n$矩阵 $$\left[\begin{array}{cc}A& B\\ 0& C\end{array}\right]$$ 其中$A$是一个$r\times r$的矩阵, 而$C$是一个$s\times s$的矩阵, $B$是一个$r\times s$矩阵, $0$是一个$s\times r$的零矩阵, 那么 $$\det \left[\begin{array}{cc}A& B\\ 0& C\end{array}\right]=(\det A)(\det C)$$ 为了证明这个, 我们定义 $$D(A,B,C)=\det \left[\begin{array}{cc}A& B\\ 0& C\end{array}\right]$$ 如果我们固定$A$和$B$, 那么$D$对于$C$的行而言是一个交错的$s$线性函数. 因此, 根据定理2, $$D(A,B,C)=(\det C)D(A,B,I)$$ 其中$I$是$s\times s$的恒等矩阵. 通过给$B$的行减去$I$的行的倍数, 我们得到了 $$D(A,B,I)=D(A,0,I)$$ 现在$D(A,0,I)$显然对于$A$的行是一个交错的$r$线性函数, 因此 $$D(A,0,I)=(\det A)D(I,0,I)$$ 但是$D(I,0,I)=1$, 于是 $$\begin{array}{rcl}D(A,B,C)& =& (\det C)D(A,B,I)\\ & =& (\det C)D(A,0,I)\\ & =& (\det C)(\det A)\end{array}$$ 通过类似的论证, 或者通过转置, 可以得到 $$\det \left[\begin{array}{cc}A& 0\\ B& C\end{array}\right]=(\det A)(\det C)$$

现在我们令$n>1$, 令$A$是$K$上的$n\times n$矩阵. 在定理1中, 我们呈现了如何从$(n-1)\times (n-1)$矩阵上的行列式函数构造$n\times n$矩阵上的行列式函数. 既然现在我们已经证明了行列式的唯一性, 这告诉我们, 如果固定列数$j$, 那么 $$\det (A)=\sum _{i=1}^n{(-1)}^{i+j}{A}_{i,j}\det [A(i|j)]$$ 标量${(-1)}^{i+j}\det [A(i|j)]$通常被称为$A$的$i,j$代数余子式, 或者$A$的第$i$行$j$列的代数余子式. [译注: "代数余子式"的英文是"cofactor".] 那么, 以上关于$\det (A)$的公式被称为$\det (A)$按第$j$列的代数余子式展开 (有的时候也被称为按第$j$列的余子式 (minor) 展开). 如果我们令 $$C_{i,j}={(-1)}^{i+j}\det [A(i|j)]$$ 那么以上公式即对于每个$j$, $$\det (A)=\sum _{i=1}^n{A}_{i,j}{C}_{i,j}$$ 其中代数余子式$C_{i,j}$为${(-1)}^{i+j}$乘上一个$(n-1)\times (n-1)$矩阵的行列式, 这个矩阵是由$A$删去第$i$行和第$j$列得到的.

如果$j\ne k$, 那么 $$\sum _{i=1}^n{A}_{i,k}{C}_{i,j}=0$$ 这是因为, 如果将$A$的第$j$列替换以第$k$列, 并称结果为$B$, 那么$B$有相等的两列, 于是$\det (B)=0$. 既然$B(i|j)=A(i|j)$, 我们有 $$\begin{array}{rcl}0& =& \det (B)\\ & =& \sum _{i=1}^n{(-1)}^{i+j}{B}_{i,j}\det [B(i|j)]\\ & =& \sum _{i=1}^n{(-1)}^{i+j}{A}_{i,k}\det [A(i|j)]\\ & =& \sum _{i=1}^n{A}_{i,k}{C}_{i,j}\end{array}$$ 代数余子式的这些性质可以被总结为 $$\sum _{i=1}^n{A}_{i,k}{C}_{i,j}={\delta }_{j,k}\det (A)$$

$n\times n$矩阵$\mathrm{adj}A$, 其是$A$的代数余子式的矩阵的转置, 被称为$A$的古典伴随, 因此 $${(\mathrm{adj}A)}_{i,j}=C_{j,i}={(-1)}^{i+j}\det [A(j|i)]$$ 那么以上关于代数余子式的性质, 可以被转写成以下形式. $$(\mathrm{adj}A)A=(\det A)I$$ 我们也希望看到$A(\mathrm{adj}A)=(\det A)I$. 既然$A^t(i|j)={[A(j|i)]}^t$, 我们有 $${(-1)}^{i+j}\det [A^t(i|j)]={(-1)}^{j+i}\det [A(j|i)]$$ 这简单说来就是$A^t$的$i,j$代数余子式等于$A$的$j,i$代数余子式. 因此, $$\mathrm{adj}(A^t)={(\mathrm{adj}A)}^t$$ 应用$(\mathrm{adj}A)A=(\det A)I$于$A^t$, 我们就得到 $$(\mathrm{adj}{A}^t)A^t=(\det A^t)I=(\det A)I$$ 再进行转置 $$A{[\mathrm{adj}(A^t)]}^t=(\det A)I$$ 使用$\mathrm{adj}(A^t)={(\mathrm{adj}A)}^t$, 我们得到了我们想要的 $$A(\mathrm{adj}A)=(\det A)I$$

就像域上的矩阵, 一个$K$上的$n\times n$矩阵被称为在$K$上可逆, 如果存在$K$上的$n\times n$矩阵$A^{-1}$满足$A{A}^{-1}=A^{-1}A=I$. 若逆矩阵存在, 则它是唯一的, 因为第1章使用的相同论证表明当$BA=AC=I$时我们有$B=C$. 上面关于古典伴随的公式告诉我们以下关于$K$上矩阵的可逆性的事实. 如果$\det (A)$在$K$中具有乘法逆元, 那么$A$是可逆的, 并且$A^{-1}={(\det A)}^{-1}(\mathrm{adj}A)$是$A$唯一的逆元. 反过来说, 很容易看出来如果$A$在$K$上可逆, 那么$\det (A)$在$K$中可逆, 因为如果$AB=I$, 那么 $$1=\det (I)=\det (AB)=(\det A)(\det B)$$ 我们已经证明的是以下定理.

我们应该指出这个可逆性的行列式判则也证明了有左逆或右逆的$n\times n$矩阵可逆. 这个证明独立于我们在第1章中为域上的矩阵给出的. 我们还应该指出可逆性对于多项式环上的矩阵意味着什么. 如果$K$是多项式环$F[x]$, 那么$K$中仅有的可逆元素是非零的标量多项式, 因为若$f$和$g$是多项式且有$fg=1$, 那么$\mathrm{deg}f+\mathrm{deg}g=0$, 于是$\mathrm{deg}f=\mathrm{deg}g=0$, 即$f$和$g$都是非零的标量多项式. 因此, 一个多项式环$F[x]$上的$n\times n$矩阵在$F[x]$上可逆当且仅当其行列式是一个非零的标量多项式.

与可逆矩阵有关, 我们想要提及一个更加初等的事实. 相似矩阵具有相同的行列式, 即若$P$在$K$上可逆, 并有$B=P^{-1}AP$, 那么$\det (B)=\det (A)$. 这很显然, 因为 $$\det (P^{-1}AP)=(\det P^{-1})(\det A)(\det P)=\det (A)$$ 这个简单的观察使得定义有限维向量空间上的线性算子的行列式是可能的. 如果$T$是$V$上的一个线性算子, 那么我们定义$T$的行列式为任何在$V$的某个有序基下表示$T$的$n\times n$矩阵的行列式. 因为这样的矩阵都是相似的, 所以我们的定义是有意义的. 在此联系之下, 看看第5.3节的练习11.

现在我们想要讨论以下求解线性方程组的Cramer法则. 设$A$是一个域$F$上的$n\times n$矩阵, 我们想要求解线性方程组$AX=Y$, 对于某个给定的$n$元组$(y_1,\dots ,y_n)$. 若$AX=Y$, 那么 $$(\mathrm{adj}A)AX=(\mathrm{adj}A)Y$$ 于是 $$(\det A)X=(\mathrm{adj}A)Y$$ 因此 $$\begin{array}{rcl}(\det A)x_j& =& \sum _{i=1}^n{(\mathrm{adj}A)}_{j,i}{y}_i\\ & =& \sum _{i=1}^n{(-1)}^{i+j}{y}_i\det [A(i|j)]\end{array}$$ 最后一个表达式的值是由将$A$的第$j$列替换为$Y$得到的$n\times n$矩阵的行列式. 如果$\det (A)=0$, 那么它什么也没有告诉我们. 然而, 若$\det (A)\ne 0$, 那么我们就得到了所谓的Cramer法则. 令$A$是一个域$F$上的$n\times n$矩阵满足$\det (A)\ne 0$, 如果$y_1,\dots ,y_n$是$F$中任意的标量, 那么线性方程组$AX=Y$的唯一解$X=A^{-1}Y$由 $$x_j=\frac{\det (B_j)}{\det (A)},j=1,\dots ,n$$ 给出, 其中$B_j$是由将$A$的第$j$列替换为$Y$得到的$n\times n$矩阵.

在本章的末尾, 我们想要作出一些评注, 以将行列式置于我们所认为的适当位置. 我们时常不得不计算一些特定的行列式, 而本节的很大一部分是在处理相关的技巧. 然而, 在本书之中, 行列式的主要地位是理论性的. 这不是要否认某些结果的漂亮, 例如Cramer法则. 但是对于求解线性方程组而言Cramer法则是一个并不有效的工具, 主要是因为它牵扯太多的计算. 因此, 读者应该关注Cramer法则说了什么, 而不是如何利用它进行计算. 的确, 在回顾整个章节的时候, 我们希望读者将更多的精力放在理解行列式函数是什么以及它具有怎样的行为上, 而不是计算特定矩阵的行列式. [译注: 的确这不是本章的末尾, 但是原文的确使用的是"chapter", 这大概是因为后文是之后补充的高级部分.]

第5.5节 模

如果$K$是一个含幺交换环 [译注: 本章的剩余部分, 凡提到含幺交换环, 均默认是非平凡的], 一个$K$上的模是一种表现得类似于向量空间的代数系统, 其中$K$扮演着类似于标量域的角色. 为了精确起见, 我们称$V$是一个$K$上的模 (或者一个$K$模) 如果

1. $V$上存在一个加法$(\alpha ,\beta )\mapsto \alpha +\beta$, $V$在其下是一个交换群;
2. 存在一个乘法$(c,\alpha )\mapsto c\alpha$, 其中$\alpha$在$V$之中, $c$在$K$之中, 满足 $$\begin{array}{ccc}\hfill (c_1+c_2)\alpha & =& c_1\alpha +c_2\alpha \hfill \\ \hfill c({\alpha }_1+{\alpha }_2)& =& c{\alpha }_1+c{\alpha }_2\hfill \\ \hfill (c_1{c}_2)\alpha & =& c_1(c_2\alpha )\hfill \\ \hfill 1\alpha & =& \alpha \hfill \end{array}$$

对于我们而言, 最重要的$K$模是$n$元组的模$K^n$. 矩阵模$K^{m\times n}$也很重要. 如果$V$是一个模, 我们可以讨论线性组合, 线性相关和线性无关, 就像在向量空间里一样. 我们必须小心不将依赖于非零标量的可逆性的向量空间的结果应用于$V$, 因为在域中可以施行的除法不一定在环$K$中可以进行. 例如, 如果${\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_k$是线性相关的, 我们不能断言某个${\alpha }_i$可以被表示为其他元素的线性组合. 这使得在模中寻找基变得更加困难.

模$V$的一个基是一个线性无关的子集, 其可以张成 (或者说生成) 这个模. 这与我们对于向量空间给出的定义是一样的. 一个基$𝔅$的重要性质在于每个$V$的元素都可以被唯一地表示为$𝔅$的 (有限数目的) 元素的线性组合. 如果承认选择公理 (见附录) 的话, 那么可以证明每个向量空间都拥有一个基. 读者已经很清楚若是一个向量空间可由有限数目的向量张成, 那么它肯定拥有一个基, 但是对于模来说这并非如此. 因此, 对于拥有基的模和可由有限数目的元素张成的模, 我们需要特别的不同名字.

我们需要强调一个模在没有有限的基的情况下仍然可能是有限生成的. 如果$V$是一个具有$n$个生成元的自由$K$模, 那么$V$同构于模$K^n$. 如果$\{{\beta }_1,\dots ,{\beta }_n\}$是$V$的一个基, 那么存在一个同构, 将向量$c_1{\beta }_1+\cdots +c_n{\beta }_n$送至$K^n$中的$n$元组$(c_1,\dots ,c_n)$. 我们并不能立即看出来这相同的模$V$不能也是一个具有$k$个生成元的自由模, 其中$k\ne n$. 换句话说, $V$的任意两个基都必然包含相同数目的元素并非显然的事实, 而其证明是行列式的一个有趣应用.

有趣的是, 读者应该注意到定理5建立了(有限维)向量空间的维数的唯一性. 而且, 这个基于行列式函数的存在性的证明, 与我们第2章所给出的证明截然不同. 从定理5我们知道"秩为$n$的自由模"和"具有$n$个生成元的自由模"是一样的.

如果$V$是$K$上的一个模, 那么对偶模$V^{⁎}$由所有从$V$到$K$的线性函数$f$构成. 如果$V$是秩为$n$的自由模, 那么$V^{⁎}$也是秩为$n$的自由模. 这个事实的证明就和向量空间一样. 如果$\{{\beta }_1,\dots ,{\beta }_n\}$是$V$的一个有序基, 那么存在与之对应的$V^{⁎}$的对偶基$\{f_1,\dots ,f_n\}$. 函数$f_i$赋予每个$\alpha \in V$以其相对于$\{{\beta }_1,\dots ,{\beta }_n\}$的第$i$个坐标分量: $$\alpha =f_1(\alpha ){\beta }_1+\cdots +f_n(\alpha ){\beta }_n\text{.}$$ 如果$f$是$V$上的一个线性函数, 那么 $$f=f({\beta }_1)f_1+\cdots +f({\beta }_n)f_n\text{.}$$

第5.6节 多线性函数

本节的目的在于将关于行列式的讨论置于我们所相信的正确视角之下. 我们将处理模上的交错多线性形式. 这些形式是我们之前呈现的行列式的自然泛化. 还没有阅读 (或者不希望阅读) 第5.5节对于模的简要总结的读者仍可从学习本节中获益良多, 只要一致地将"$K$上秩为$n$的自由模"读作"$F$上维数为$n$的向量空间"即可.

令$K$是一个含幺交换环, $V$是$K$上的一个模. 如果$r$是一个正整数, 那么从$V^r=V\times V\times \cdots \times V$到$K$的函数$L$被称为多线性的, 如果$L({\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_r)$对于每个${\alpha }_i$在其他${\alpha }_j$的值固定的情况下是线性的函数. 也就是说, 对于每个$i$有 $$L({\alpha }_1,\dots ,c{\alpha }_i+{\beta }_i,\dots ,{\alpha }_r)=cL({\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_i,\dots ,{\alpha }_r)+L({\alpha }_1,\dots ,{\beta }_i,\dots ,{\alpha }_r)\text{.}$$ $V^r$上的多线性函数也被称为$V$上的$r$线性形式或者$V$上的阶数为$r$的多线性形式. 这样的函数有时也被称为$V$上的$r$张量. $V^r$上所有多线性形式的集合将被记成$M^r(V)$. 如果$L,M\in M^r(V)$, 那么其和$L+M$: $$(L+M)({\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_r)=L({\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_r)+M({\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_r)$$ 也是多线性的; 并且, 如果$c\in K$, 那么积$cL$: $$(cL)({\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_r)=cL({\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_r)$$ 是多线性的. 因此, $M^r(V)$是一个$K$模——所有从$V^r$到$K$的函数构成的模的一个子模.

如果$r=1$, 那么我们有$M^1(V)=V^{⁎}$, 即由线性函数构成的$V$的对偶模. 线性函数也可被用来构造更高阶的多线性形式. 如果$f_1,\dots ,f_r$是$V$上的线性函数, 那么 $$L({\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_r)=f_1({\alpha }_1)f_2({\alpha }_2)\cdots f_r({\alpha }_r)$$ 显然是$V$上的一个$r$线性形式.

设$L$是$V^r$上的一个多线性形式而$M$是$V^s$上的一个多线性形式. 我们定义$V^{r+s}$上的函数$L\otimes M$为 $$(L\otimes M)({\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_{r+s})=L({\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_r)M({\alpha }_{r+1},\dots ,{\alpha }_{r+s})\text{.}$$ 如果我们将$V^{r+s}$想成是$V^r\times V^s$, 那么对于$\alpha \in V^r$和$\beta \in V^s$有 $$(L\otimes M)(\alpha ,\beta )=L(\alpha )M(\beta )\text{.}$$ 显然$L\otimes M$在$V^{r+s}$是多线性的, 其被称为$L$和$M$的张量积 (tensor product). 张量积不是可交换的. 实际上, 除非$L=0$或$M=0$, $M\otimes L\ne L\otimes M$. 然而, 张量积的确与$M^r$和$M^s$中的模运算漂亮地联系在一起.

张量积的确是可结合的, 例如, 令$L,M,N$分别是$V$上的$r,s,t$线性形式, 那么 $$(L\otimes M)\otimes N=L\otimes (M\otimes N)\text{.}$$ 这从$K$的乘法的结合律中可立即推出. 因此, 如果$L_1,\dots ,L_k$是$V^{r_1},\dots ,V^{r_k}$上的多线性函数, 那么张量积 $$L=L_1\otimes \cdots \otimes L_k$$ 无歧义地被定义为$V^r$上的一个多线性函数, 其中$r=r_1+\cdots +r_k$. 之前我们已经提及了它的一种特殊情形, 即如果$f_1,\dots ,f_r$是$V$上的线性函数, 那么张量积 $$L=f_1\otimes \cdots \otimes f_r$$ 由 $$L({\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_r)=f_1({\alpha }_1)\cdots f_r({\alpha }_r)$$ 给出.

如果$L$是$V^r$上的一个交错多线性函数, 那么 $$L({\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_i,\dots ,{\alpha }_j,\dots ,{\alpha }_r)=-L({\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_j,\dots ,{\alpha }_i,\dots ,{\alpha }_r)\text{.}$$ 换言之, 交换$r$元组$({\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_r)$中两个(不同下标的)向量, 那么与之关联的$L$的值会改变符号 (sign). 既然每个置换$\sigma$都是交换之积, 我们看出$L({\alpha }_{\sigma 1},\dots ,{\alpha }_{\sigma r})=(\mathrm{sgn}\sigma )L({\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_r)$.

我们用${\mathrm{\Lambda }}^r(V)$表示$V$上所有交错$r$线性形式构成的集合. 显然${\mathrm{\Lambda }}^r(V)$是$M^r(V)$的一个子模.

存在一种一般性的方法将一个交错形式与一个多线性形式联系起来. 如果$L$是模$V$上的一个$r$线性形式, $\sigma$是$\{1,\dots ,r\}$的一个置换, 那么通过定义 $$L_{\sigma }({\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_r)=L({\alpha }_{\sigma 1},\dots ,{\alpha }_{\sigma r})$$ 我们就得到了另一个$r$线性函数$L_{\sigma }$. 若$L$碰巧是交错的, 那么$L_{\sigma }=(\mathrm{sgn}\sigma )L$. 现在, 对于每个$L\in M^r(V)$, 我们通过 $${\pi }_{r}L=\sum _{\sigma }^{}(\mathrm{sgn}\sigma )L_{\sigma }$$ 定义一个函数${\pi }_{r}L\in M^r(V)$, 即 $$({\pi }_{r}L)({\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_r)=\sum _{\sigma }^{}(\mathrm{sgn}\sigma )L({\alpha }_{\sigma 1},\dots ,{\alpha }_{\sigma r})\text{.}$$

根据(按列的)公式, 我们知道行列式函数$D\in {\mathrm{\Lambda }}^n(K^n)$是 $$D={\pi }_n(f_1\otimes \cdots \otimes f_n)$$ 其中$f_1,\dots ,f_n$是$K^n$上的标准坐标函数. 我们还有一个与上面的引理有关的重要评注要说. 如果$K$是一个特征为零的域, 以至于$r!$在$K$中是可逆的, 那么$\pi$是一个从$M^r(V)$到${\mathrm{\Lambda }}^r(V)$的满射. 实际上, 在这种情况下从某种角度来说使用映射${\pi }_1=(1/r!)\pi$而不是$\pi$是更自然的, 因为${\pi }_1$是一个从$M^r(V)$到${\mathrm{\Lambda }}^r(V)$的投影, 即一个从$M^r(V)$到${\mathrm{\Lambda }}^r(V)$的线性映射满足${\pi }_1(L)=L$当且仅当$L\in {\mathrm{\Lambda }}^r(V)$.

译者注记. 以上的证明中有一个不大不小的gap, 但至少不算平凡, 即 $$\begin{array}{rcl}{D}_J& =& \sum _{\sigma }^{}(\mathrm{sgn}\sigma )f_{j_{\sigma 1}}\otimes \cdots \otimes f_{j_{\sigma r}}\\ & =& {\pi }_r(f_{j_1}\otimes \cdots \otimes f_{j_r})\end{array}$$ 从第一行到第二行并不是直接的, 因为 $$\sum _{\sigma }^{}(\mathrm{sgn}\sigma )(f_{j_{\sigma 1}}\otimes \cdots \otimes f_{j_{\sigma r}})({\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_r)=\sum _{\sigma }^{}(\mathrm{sgn}\sigma )f_{j_{\sigma 1}}({\alpha }_1)\cdots f_{j_{\sigma r}}({\alpha }_r)$$ 而 $${\pi }_r(f_{j_1}\otimes \cdots \otimes f_{j_r})({\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_r)=\sum _{\sigma }^{}(\mathrm{sgn}\sigma )f_{j_1}({\alpha }_{\sigma 1})\cdots f_{j_r}({\alpha }_{\sigma r})$$ 不过, 如何证明这右边两个式子相等的思路, 其实在第5.4节的开头就有, 那里证明了行列式不论按行展开还是按列展开都是一样的.

当然, 这个推论中的元素$c$被称为$T$的行列式. 从式子 $$\begin{array}{rcl}{D}_J& =& \sum _{\sigma }^{}(\mathrm{sgn}\sigma )f_{j_{\sigma 1}}\otimes \cdots \otimes f_{j_{\sigma r}}\\ & =& {\pi }_r(f_{j_1}\otimes \cdots \otimes f_{j_r})\end{array}$$ 我们可以看出在$r=n$的情形下 (此时仅存在一种shuffle $J=(1,\dots ,n)$) $T$的行列式就是在有序基$\{{\beta }_1,\dots ,{\beta }_n\}$下表示$T$的矩阵的行列式. 让我们现在弄明白为什么. 这个表示矩阵的第$i$行$j$列的元素是 [译注: 原文下面这个式子恰好把$i$和$j$搞反了] $$A_{i,j}=f_i(T{\beta }_j)$$ 于是 $$\begin{array}{rcl}{D}_J(T{\beta }_1,\dots ,T{\beta }_n)& =& \sum _{\sigma }^{}(\mathrm{sgn}\sigma )f_1(T{\beta }_{\sigma 1})\cdots f_n(T{\beta }_{\sigma n})\\ & =& \sum _{\sigma }^{}(\mathrm{sgn}\sigma )A(1,\sigma 1)\cdots A(n,\sigma n)\\ & =& \det (A)\end{array}$$ 另一方面, $$\begin{array}{rcl}{D}_J(T{\beta }_1,\dots ,T{\beta }_n)& =& (\det T)D_J({\beta }_1,\dots ,{\beta }_n)\\ & =& \det (T)\end{array}$$ 这些评注的要义在于通过定理7及其推论, 我们获得了一个线性算子的行列式的定义而不需要预先的关于矩阵的行列式的知识. 矩阵的行列式可以基于算子的行列式定义而不是反过来.

关于这特别的交错$r$线性形式$D_J$, 其与$V^{⁎}$的一个基$\{f_1,\dots ,f_n\}$相关, 我们还有一点想说的东西. 理解$D_J({\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_r)$是一个特定的$r\times r$矩阵的行列式是很重要的. 如果 $$A_{i,j}=f_j({\alpha }_i),1\le i\le r,1\le j\le n$$ 即如果 $${\alpha }_i=A_{i,1}{\beta }_1+\cdots +A_{i,n}{\beta }_n,1\le i\le r$$ 而$J$是$r$-shuffle $(j_1,\dots ,j_r)$, 那么 $$\begin{array}{rcl}{D}_J({\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_r)& =& \sum _{\sigma }^{}(\mathrm{sgn}\sigma )A(1,j_{\sigma 1})\cdots A(n,j_{\sigma r})\\ & =& \det \left[\begin{array}{ccc}A(1,j_1)& \cdots & A(1,j_r)\\ ⋮& & ⋮\\ A(r,j_1)& \cdots & A(r,j_r)\end{array}\right]\end{array}$$ [译注: 这里第一行的$D_J$是按照$\sum _{\sigma }^{}(\mathrm{sgn}\sigma )f_{j_{\sigma 1}}\otimes \cdots \otimes f_{j_{\sigma r}}$展开的.] 因此, $D_J({\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_r)$是以${\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_r$的坐标$n$元组为行的$r\times n$矩阵取第$j_1,\dots ,j_r$列得到的$r\times r$矩阵的行列式. 有时我们也用另一个记号 $$D_J({\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_r)=\frac{\partial ({\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_r)}{\partial ({\beta }_{j_1},\dots ,{\beta }_{j_r})}$$ 来表示这个行列式. 在这个记号下, 定理7的证明表明每个交错的$r$线性形式$L$都可以相对于某个基$\{{\beta }_1,\dots ,{\beta }_n\}$由式子 $$L({\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_r)=\sum _{j_1<\cdots <j_r}^{}\frac{\partial ({\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_r)}{\partial ({\beta }_{j_1},\dots ,{\beta }_{j_r})}L({\beta }_{j_1},\dots ,{\beta }_{j_r})$$ 表达.

第5.7节 Grassman环

许多行列式和交错多线性形式的性质最好基于一种形式 (form) 上的乘法运算进行描述, 这种乘法被称为外积 (exterior product). 如果$L$和$M$分别是模$V$上的交错$r$和$s$线性形式, 我们有一个$L$和$M$的满足结合律的积, 即张量积$L\otimes M$. 除非$L=0$或者$M=0$, 这不是一个交错形式. 然而, 我们有一种自然的方式将其投影于${\mathrm{\Lambda }}^{r+s}(V)$. 似乎 $$L\cdot M={\pi }_{r+s}(L\otimes M)$$ 应该是交错形式的"自然"乘法, 但果真如此吗?

让我们举一个特定的例子. 设$V$是模$K^n$而$f_1,\dots ,f_n$是$K^n$上的标准坐标函数. 如果$i\ne j$, 那么 $$f_i\cdot f_j={\pi }_2(f_i\otimes f_j)$$ 是之前给出的(行列式)函数 [译注: 注意一下那里要求$J$是一个shuffle, 也就是$i<j$, 但是这里并不需要] $$D_{i,j}=f_i\otimes f_j-f_j\otimes f_i\text{.}$$ 现在设$k$是一个不同于$i$和$j$的下标, 那么 $$\begin{array}{rcl}{D}_{i,j}\cdot f_k& =& {\pi }_3[(f_i\otimes f_j-f_j\otimes f_i)\otimes f_k]\\ & =& {\pi }_3(f_i\otimes f_j\otimes f_k)-{\pi }_3(f_j\otimes f_i\otimes f_k)\end{array}$$ 前一章的引理的证明表明对于任意的$r$线性形式$L$和$\{1,\dots ,r\}$任意的置换$\sigma$, 我们有 $${\pi }_r(L_{\sigma })=(\mathrm{sgn}\sigma ){\pi }_r(L)$$ 因此, $D_{i,j}\cdot f_k=2{\pi }_3(f_i\otimes f_j\otimes f_k)$. 根据类似的计算, $f_i\cdot D_{j,k}=2{\pi }_3(f_i\otimes f_j\otimes f_k)$. 因此, 我们有 $$(f_i\cdot f_j)\cdot f_k=f_i\cdot (f_j\cdot f_k)$$ 而所有这一切看起来前途都那么光明. 但是, 这里存在隐藏的陷阱. 尽管刚才我们所完成的计算看起来像是那么回事, 之前提出的这个乘法并不满足结合律. 实际上, 如果$l$是一个不同于$i,j,k$的下标, 那么我们可以算出 $$D_{i,j}\cdot D_{k,l}=4{\pi }_4(f_i\otimes f_j\otimes f_k\otimes f_l)$$ 以及 [译注: 原文为$6$, 应作$12$] $$(D_{i,j}\cdot f_k)\cdot f_l=12{\pi }_4(f_i\otimes f_j\otimes f_k\otimes f_l)$$ 因此, 在一般情况下 $$(f_i\cdot f_j)\cdot (f_k\cdot f_l)\ne [(f_i\cdot f_j)\cdot f_k]\cdot f_l$$ 我们看到我们的第一次寻找乘法运算的尝试产生了一个非结合运算.

译者注记. 以上的论证里有一些gap. 首先, 前一章的引理证明的是 $${({\pi }_{r}L)}_{\sigma }=(\mathrm{sgn}\sigma ){\pi }_r(L)$$ 而不是 $${\pi }_r(L_{\sigma })=(\mathrm{sgn}\sigma ){\pi }_r(L)$$ 不过这也是正确的, 而且论证方式也和前一章的引理类似, 只是的确需要证明一下: $$\begin{array}{rcl}{\pi }_r(L_{\sigma })({\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_r)& =& \sum _{\tau }^{}(\mathrm{sgn}\tau )L_{\sigma }({\alpha }_{\tau 1},\dots ,{\alpha }_{\tau r})\\ & =& \sum _{\tau }^{}(\mathrm{sgn}\tau )L({\alpha }_{\tau \sigma 1},\dots ,{\alpha }_{\tau \sigma r})\\ & =& (\mathrm{sgn}\sigma )\sum _{\tau }^{}(\mathrm{sgn}\tau \sigma )L({\alpha }_{\tau \sigma 1},\dots ,{\alpha }_{\tau \sigma r})\\ & =& (\mathrm{sgn}\sigma ){\pi }_r(L)({\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_r)\end{array}$$ 其实${({\pi }_{r}L)}_{\sigma }({\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_r)$展开之后和${\pi }_r(L_{\sigma })({\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_r)$是类似的, 即 $${({\pi }_{r}L)}_{\sigma }({\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_r)=\sum _{\tau }^{}(\mathrm{sgn}\tau )L({\alpha }_{\sigma \tau 1},\dots ,{\alpha }_{\sigma \tau r})$$ 其次, 作者由此结果直接得出$D_{i,j}\cdot f_k=2{\pi }_3(f_i\otimes f_j\otimes f_k)$的过程并不是那么显然. 实际上, 我们想要证明一下以下结果: $$(\mathrm{sgn}\sigma ){\pi }_r(f_{\sigma 1}\otimes \cdots \otimes f_{\sigma r})={\pi }_r(f_1\otimes \cdots \otimes f_r)$$ 为了证明它, 我们先证明一个引理: $$f_{\sigma 1}\otimes \cdots \otimes f_{\sigma r}={(f_1\otimes \cdots \otimes f_r)}_{{\sigma }^{-1}}$$ 计算一下 $$(f_{\sigma 1}\otimes \cdots \otimes f_{\sigma r})({\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_r)=f_{\sigma 1}({\alpha }_1)\cdots f_{\sigma r}({\alpha }_r)$$ 然后我们发现$f_i$就应用于${\alpha }_{{\sigma }^{-1}i}$, 鉴于$f_1,\dots ,f_r$在这个积中恰好都出现一次, 经过重新排序我们就得到了引理. 现在我们证明刚才陈述的结果: $$\begin{array}{rcl}(\mathrm{sgn}\sigma ){\pi }_r(f_{\sigma 1}\otimes \cdots \otimes f_{\sigma r})& =& (\mathrm{sgn}\sigma ){\pi }_r\left[{(f_1\otimes \cdots \otimes f_r)}_{{\sigma }^{-1}}\right]\\ & =& (\mathrm{sgn}\sigma )(\mathrm{sgn}{\sigma }^{-1}){\pi }_r(f_1\otimes \cdots \otimes f_r)\\ & =& {\pi }_r(f_1\otimes \cdots \otimes f_r)\end{array}$$

如果读者发现直接验证表明非结合性的两个式子相当乏味, 那也不必感到惊讶. 这是该主题的典型特征, 并且同样典型的是, 存在一个一般性的事实可以极大地简化工作.

设$L$是模$V$上的一个$r$线性形式而$M$是模$V$上的一个$s$线性形式, 那么 $$\begin{array}{rcl}{\pi }_{r+s}(({\pi }_{r}L)\otimes ({\pi }_{s}M))& =& {\pi }_{r+s}\left(\sum _{\sigma ,\tau }^{}(\mathrm{sgn}\sigma )(\mathrm{sgn}\tau )(L_{\sigma }\otimes M_{\tau })\right)\\ & =& \sum _{\sigma ,\tau }^{}(\mathrm{sgn}\sigma )(\mathrm{sgn}\tau ){\pi }_{r+s}(L_{\sigma }\otimes M_{\tau })\end{array}$$ 其中$\sigma$布于$\{1,\dots ,r\}$的所有置换构成的对称群$S_r$之上而$\tau$布于$S_s$之上. 每对$\sigma ,\tau$都定义了$S_{r+s}$的一个元素$(\sigma ,\tau )$, 其中$\{1,\dots ,r+s\}$的前$r$个元素根据$\sigma$进行置换, 而后$s$个元素根据$\tau$进行置换. 显然我们有 $$\mathrm{sgn}(\sigma ,\tau )=(\mathrm{sgn}\sigma )(\mathrm{sgn}\tau )$$ 以及 $${(L\otimes M)}_{(\sigma ,\tau )}=L_{\sigma }\otimes M_{\tau }$$ 因此 $${\pi }_{r+s}(({\pi }_{r}L)\otimes ({\pi }_{s}M))=\sum _{\sigma ,\tau }^{}\mathrm{sgn}(\sigma ,\tau ){\pi }_{r+s}\left[{(L\otimes M)}_{(\sigma ,\tau )}\right]\text{.}$$ 既然我们已经观察到 $$\mathrm{sgn}(\sigma ,\tau ){\pi }_{r+s}\left[{(L\otimes M)}_{(\sigma ,\tau )}\right]={\pi }_{r+s}(L\otimes M)$$ 于是, 我们就有 $${\pi }_{r+s}[({\pi }_{r}L)\otimes ({\pi }_{s}M)]=r!s!{\pi }_{r+s}(L\otimes M)\text{.}$$ 这个公式简化了大量的计算. 例如, 设我们有一个$r$-shuffle $I=(i_1,\dots ,i_r)$和一个$s$-shuffle $J=(j_1,\dots ,j_s)$. 为了使事情比较简单, 我们额外假设 $$i_1<\cdots <i_r<j_1<\cdots <j_s\text{.}$$ 那么, 我们有与之关联的行列式函数 $$D_I={\pi }_r(E_I),D_J={\pi }_s(E_J)$$ 其中$E_I=f_{i_1}\otimes \cdots \otimes f_{i_r}$而$E_J=f_{j_1}\otimes \cdots \otimes f_{j_s}$. 使用我们已经得到的结果, 我们立即可以看出 $$\begin{array}{rcl}{D}_I\cdot D_J& =& {\pi }_{r+s}[{\pi }_r(E_I)\otimes {\pi }_s(E_J)]\\ & =& r!s!{\pi }_{r+s}(E_I\otimes E_J)\end{array}$$ 既然$E_I\otimes E_J=E_{I\cup J}$ [译注: 鉴于$I$和$J$是元素不重复的递增序列, 所以可以用集合来表示它们, 于是这个记号有其合理性], 我们得到 $$D_I\cdot D_J=r!s!D_{I\cup J}\text{.}$$ 这暗示了乘法的结合性的缺失是由 [译注: 在一般情况下]$D_I\cdot D_J\ne D_{I\cup J}$导致的. 毕竟, $D_I$和$D_J$的积应该是$D_{I\cup J}$. 为了修复这种情况, 我们应该定义一个新的积. 一个交错$r$线性形式$L$和一个交错$s$线性形式$M$的外积 (或者楔积) 是 $$L\wedge M=\frac{1}{r!s!}{\pi }_{r+s}(L\otimes M)$$ 那么, 对于$K^n$上的行列式函数, 我们有 $$D_I\wedge D_J=D_{I\cup J}$$ 或许若有公平可言, 那么我们必然已经找到了正确的交错多线性形式的乘法. 不幸的是, 这个定义在我们所考虑的最一般情况下是没有意义的, 因为在环$K$中我们不一定能够除以$r!s!$. 不过, 如果$K$是一个特征为零的域, 那么就没有问题了, 并且我们能够迅速证明楔积是结合的.

现在我们回到一般情况上来, 其仅假定$K$是一个含幺交换环. 第一个问题在于将楔积的定义换成能在一般情况下生效的等价版本. 如果$L$和$M$分别是阶数为$r$和$s$的交错多线性形式, 那么我们将构造一个阶数为$r+s$的典范的 [译注: 可以理解成存在且唯一的] 交错多线性形式$L\wedge M$满足 $$r!s!(L\wedge M)={\pi }_{r+s}(L\otimes M)\text{.}$$

让我们回忆一下我们是如何定义${\pi }_{r+s}(L\otimes M)$的. 对于$\{1,\dots ,r+s\}$的每个置换$\sigma$, 我们联系以多线性函数 $$(\mathrm{sgn}\sigma ){(L\otimes M)}_{\sigma }$$ 其中 $${(L\otimes M)}_{\sigma }({\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_{r+s})=(L\otimes M)({\alpha }_{\sigma 1},\dots ,{\alpha }_{\sigma (r+s)})$$ 然后我们将布于所有置换$\sigma$之上的这些函数加起来. 存在$(r+s)!$个置换. 然而, 既然$L$和$M$都是交错的, 许多这样的函数都是相同的. 实际上, 至多存在 $$\frac{(r+s)!}{r!s!}$$ 个不同的这种函数. 让我们看看为什么. 令$S_{r+s}$是$\{1,\dots ,r+s\}$的所有置换构成的集合, 即$r+s$阶对称群. 如我们之前所做的, 我们区分出一个子集$G$来, 其由所有这样的置换$\sigma$构成, 满足$\sigma \{1,\dots ,r\}\subseteq \{1,\dots ,r\}$且$\sigma \{r+1,\dots ,r+s\}\subseteq \{r+1,\dots ,r+s\}$. 换言之, $\sigma \in G$, 如果对于每个$i$满足$1\le i\le r$有$1\le \sigma i\le r$. (然后就必然也满足对于每个$j$满足$r+1\le j\le r+s$有$r+1\le \sigma j\le r+s$.) 现在$G$是$S_{r+s}$的一个子群, 即若$\sigma$和$\tau$是$G$的元素, 那么$\sigma {\tau }^{-1}\in G$. [译注: 当然$G$还要是非空的, 不过这是明显的.] 显然$G$有$r!s!$个元素.

我们定义一个映射 $$\psi :S_{r+s}\to M^{r+s}(V),\sigma \mapsto (\mathrm{sgn}\sigma ){(L\otimes M)}_{\sigma }$$ 既然$L$和$M$是交错的, 那么对于每个$\gamma \in G$有 $$\psi (\gamma )=L\otimes M\text{.}$$ 因此, 既然对于$V$上任意的$(r+s)$线性形式$N$有${(N_{\sigma })}_{\tau }=N_{\tau \sigma }$, 那么 $$\psi (\tau \gamma )=\psi (\tau ),\tau \in S_{r+s},\gamma \in G\text{.}$$ 这是在说映射$\psi$在子群$G$的每个(左)陪集$\tau G$上都是常函数. 如果${\tau }_1,{\tau }_2\in S_{r+s}$, 那么陪集${\tau }_{1}G$和${\tau }_{2}G$根据${\tau }_2^{-1}{\tau }_1$在$G$中还是不在$G$中, 要么相等要么互不相交. 每个陪集都具有$r!s!$个元素, 因此存在 $$\frac{(r+s)!}{r!s!}$$ 个不同的陪集. 若用$S_{r+s}/G$代表由所有这些陪集构成的集合, 那么$\psi$导出了$S_{r+s}/G$上的一个函数, 即根据我们已知的东西, 存在 [译注: 当然也是唯一的] 函数$\tilde{\psi }$满足对于每个$\tau \in S_{r+s}$有 $$\psi (\tau )=\tilde{\psi }(\tau G)\text{.}$$ 如果$H$是$G$的一个左陪集, 那么对于每个$\tau \in H$有$\tilde{\psi }(H)=\psi (\tau )$.

译者注记. 以上有点小小的gap, 在声称$\psi (\tau \gamma )=\psi (\tau )$那里, 我们补充一下证明: $$\begin{array}{rcl}\psi (\tau \gamma )& =& \mathrm{sgn}(\tau \gamma ){(L\otimes M)}_{\tau \gamma }\\ & =& (\mathrm{sgn}\tau )(\mathrm{sgn}\gamma ){[{(L\otimes M)}_{\gamma }]}_{\tau }\\ & =& (\mathrm{sgn}\tau )(\mathrm{sgn}\gamma ){[(\mathrm{sgn}\gamma )(L\otimes M)]}_{\tau }\\ & =& (\mathrm{sgn}\tau )(\mathrm{sgn}\gamma )(\mathrm{sgn}\gamma ){(L\otimes M)}_{\tau }\\ & =& (\mathrm{sgn}\tau ){(L\otimes M)}_{\tau }\\ & =& \psi (\tau )\end{array}$$ 以上推导中我们用到了${(L\otimes M)}_{\gamma }=(\mathrm{sgn}\gamma )(L\otimes M)$, 这可由$\psi (\gamma )=L\otimes M$两边左乘$(\mathrm{sgn}\gamma )$得到. 另外, 如果你看不懂上面这一段在说什么, 那么你应该找一本代数入门书籍看一看.

现在我们定义阶数分别为$r$和$s$的交错多线性形式$L$和$M$的外积为 $$L\wedge M=\sum _H^{}\tilde{\psi }(H)$$ 其中$H$遍历$S_{r+s}/G$的每个元素. 另一种陈述$L\wedge M$的定义的方式如下. 令$S$是$S_{r+s}$的一个子集, 其从每个$G$的左陪集中恰选一个代表出来, 那么 $$L\wedge M=\sum _{\sigma \in S}^{}(\mathrm{sgn}\sigma ){(L\otimes M)}_{\sigma }\text{.}$$ 显然我们有 $$r!s!(L\wedge M)={\pi }_{r+s}(L\otimes M)$$ 于是这个新定义等价于之前我们所给出的在$K$是特征为零的域的情况下的定义.

译者注记. 我们继续补充一些gap. 虽然看出$(L\wedge M)({\epsilon }_1,\dots ,{\epsilon }_n)=1$还算容易, 但也不是那么平凡. 对于$\sigma \in G(r,s)$, 我们有 $$\begin{array}{rcl}(\mathrm{sgn}\sigma ){(L\otimes M)}_{\sigma }({\epsilon }_1,\dots ,{\epsilon }_n)& =& (L\otimes M)({\epsilon }_1,\dots ,{\epsilon }_n)\\ & =& L({\epsilon }_1,\dots ,{\epsilon }_r)M({\epsilon }_{r+1},\dots ,{\epsilon }_n)\\ & =& \det (I)\det (I)\\ & =& 1\end{array}$$ 对于$\sigma \notin G(r,s)$, 存在$i$满足$1\le i\le r$但是$\sigma i>r$, 那么矩阵 $$A=\left[\begin{array}{ccc}{\delta }_{\sigma 1,1}& \cdots & {\delta }_{\sigma 1,r}\\ ⋮& & ⋮\\ {\delta }_{\sigma r,1}& \cdots & {\delta }_{\sigma r,r}\end{array}\right]$$ 的第$i$行是零行, 于是$\det (A)=0$, 而 $$\begin{array}{rcl}(\mathrm{sgn}\sigma ){(L\otimes M)}_{\sigma }({\epsilon }_1,\dots ,{\epsilon }_n)& =& (\mathrm{sgn}\sigma )L({\epsilon }_{\sigma 1},\dots ,{\epsilon }_{\sigma r})M({\epsilon }_{\sigma (r+1)},\dots ,{\epsilon }_{\sigma n})\\ & =& (\mathrm{sgn}\sigma )\det (A)M({\epsilon }_{\sigma (r+1)},\dots ,{\epsilon }_{\sigma n})\\ & =& 0\end{array}$$ 因此, 根据楔积的定义, $(L\wedge M)({\epsilon }_1,\dots ,{\epsilon }_n)$的和中只有一项为$1$而其余项均为$0$, 所以其值为$1$. 另外, 作者没有说明置换的符号是怎样计算的. 实际上, 如果考虑更一般的Laplace展开, 也就是说考虑互补的集合$\{j_1,\dots ,j_r\}$和$\{k_1,\dots ,k_s\}$, 其中$j_1<\cdots <j_r$且$k_1<\cdots <k_s$, 那么我们就需要思考如何计算这样的置换$\sigma$的符号, 其满足$\sigma j_1<\cdots <\sigma j_r$且$\sigma k_1<\cdots <\sigma k_s$. 我们先将$\sigma j_1$通过反复交换插入到第$1$个位置, 这需要$j_1-1$次交换. 接着, 从小到大依次将$\sigma j_i$插入到第$i$个位置, 这分别需要$j_i-i$次交换. 然后, 我们将位于第$r$个位置的$\sigma j_r$插入到它本应该位于的第$\sigma j_r$个位置, 这需要$\sigma j_r-r$次交换. 从大到小, 我们依次将$\sigma j_i$从第$i$个位置插入到第$\sigma j_i$个位置, 这分别需要$\sigma j_i-i$次交换. 最终我们得到了恒等置换, 而所用的交换次数为 $$\sum _{i=1}^r(j_i-i)+\sum _{i=1}^r(\sigma j_i-i)=(j_1+\cdots +j_r)+(\sigma j_1+\cdots +\sigma j_r)-r(r+1)$$ 鉴于$r(r+1)$是偶数, 那么置换$\sigma$的符号为 $$\mathrm{sgn}\sigma ={(-1)}^{(j_1+\cdots +j_r)+(\sigma j_1+\cdots +\sigma j_r)}\text{.}$$

如果$V$是一个$K$模, 我们可以将各种形式模 (form module) ${\mathrm{\Lambda }}^r(V)$放在一起并使用外积定义一个环. 为了简单性, 我们只考虑秩为$n$的自由$K$模的情形. 那么, 在$r>n$时模${\mathrm{\Lambda }}^r(V)$是平凡的. 我们定义 $$\mathrm{\Lambda }(V)={\mathrm{\Lambda }}^0(V)\oplus {\mathrm{\Lambda }}^1(V)\oplus \cdots \oplus {\mathrm{\Lambda }}^n(V)\text{.}$$ 这是外直和, 某个之前我们还没讨论过的东西. $\mathrm{\Lambda }(V)$的元素是$(n+1)$元组$(L_0,\dots ,L_n)$, 其中$L_r\in {\mathrm{\Lambda }}^r(V)$. 加法和乘上$K$的元素按读者的预想定义. 顺带一提, ${\mathrm{\Lambda }}^0(V)=K$. 如果我们将$L\in {\mathrm{\Lambda }}^r(V)$与$(n+1)$元组$(0,\dots ,0,L,0,\dots ,0)$等同起来, 其中自零计的第$r$个分量是$L$, 那么${\mathrm{\Lambda }}^r(V)$是$\mathrm{\Lambda }(V)$的一个子模, 而直和分解 $$\mathrm{\Lambda }(V)={\mathrm{\Lambda }}^0(V)\oplus \cdots \oplus {\mathrm{\Lambda }}^n(V)$$ 在通常的意义下成立. [译注: 前一句话作者将多处${\mathrm{\Lambda }}^r(V)$写成了${\mathrm{\Lambda }}^r(K)$.] 既然${\mathrm{\Lambda }}^r(V)$是一个秩为$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{r}\right)$的自由$K$模, 那么我们看到$\mathrm{\Lambda }(V)$是一个自由$K$模并且 $$\mathrm{rank}[\mathrm{\Lambda }(V)]=\sum _{r=0}^n\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{r}\right)=2^n\text{.}$$ 外积定义了一个$\mathrm{\Lambda }(V)$上的乘法: 使用形式 (form) 上的外积并将其线性地扩展至$\mathrm{\Lambda }(V)$的情形. 它对于$\mathrm{\Lambda }(V)$上的加法分配并给予了$\mathrm{\Lambda }(V)$一个环的结构. 这个环是$V^{⁎}$上的Grassman环. 它不是一个交换环, 例如若$L$和$M$分别在${\mathrm{\Lambda }}^r(V)$和${\mathrm{\Lambda }}^s(V)$中, 那么 [译注: 这${(-1)}^{rs}$是将前面和后面的参数互换得到的] $$L\wedge M={(-1)}^{rs}(M\wedge L)\text{.}$$ 但是, Grassman环在许多数学领域里是重要的. [译注: 以上所提Grassman环, 现多称Grassman代数, 毕竟它还有个数乘运算.]