线性代数

第1步. 存在非零向量${\beta }_1,\dots ,{\beta }_r\in V$满足

1. $V=W_0+Z({\beta }_1;T)+\cdots +Z({\beta }_r;T)$;
2. 如果$1\le k\le r$并且 $$W_k=W_0+Z({\beta }_1;T)+\cdots +Z({\beta }_k;T)$$ 那么导子$p_k=s({\beta }_k;W_{k-1})$在所有到子空间$W_{k-1}$的$T$导子中拥有最大的次数, 即对于每个$k$有 $$\mathrm{deg}{p}_k=\underset{\alpha \in V}{\max }\mathrm{deg}s(\alpha ;W_{k-1})\text{.}$$

第2步. 令${\beta }_1,\dots ,{\beta }_r$是满足第1步的条件a和b的非零向量. 固定$k$, 其中$1\le k\le r$. 令$\beta$是$V$中任意的向量, $f=s(\beta ;W_{k-1})$. 如果 $$f\beta ={\beta }_0+\sum _{i=1}^{k-1}{g}_i{\beta }_i,{\beta }_i\in W_i$$ 那么$f$整除每个多项式$g_i$并且存在${\gamma }_0\in W_0$满足${\beta }_0=f{\gamma }_0$. [译注: ${\beta }_i\in W_i$只是约束了${\beta }_0\in W_0$, 其余则是已知的.]
如果$k=1$, 此即陈述$W_0$是$T$可容许的这个条件. 为了在$k>1$的情形下证明断言, 应用带余除法: $$g_i=f{h}_i+r_i,r_i=0\text{或者}\mathrm{deg}{r}_i<\mathrm{deg}f\text{.}$$ 我们想要证明的是对于每个$i$有$r_i=0$. 令 $$\gamma =\beta -\sum _{i=1}^{k-1}{h}_i{\beta }_i$$ 既然$\gamma -\beta \in W_{k-1}$, 我们有 $$s(\gamma ;W_{k-1})=s(\beta ;W_{k-1})=f$$ 而且 $$f\gamma ={\beta }_0+\sum _{i=1}^{k-1}{r}_i{\beta }_i\text{.}$$ 设某个$r_i$异于$0$, 我们可以推导出矛盾来. 令$j=\max \{i\in \{1,\dots ,k-1\}|r_i\ne 0\}$, 那么 $$f\gamma ={\beta }_0+\sum _{i=1}^j{r}_i{\beta }_i,r_j\ne 0\text{且}\mathrm{deg}{r}_j<\mathrm{deg}f\text{.}$$ 令$p=s(\gamma ;W_{j-1})$, 既然$W_{j-1}\subseteq W_{k-1}$, 导子$f=s(\gamma ;W_{k-1})$必然整除$p$: $$\text{存在多项式}g\text{, }p=fg\text{.}$$ 应用$g(T)$于前式两边, 可以得到: $$p\gamma =gf\gamma =g{r}_j{\beta }_j+g{\beta }_0+\sum _{i=1}^{j-1}g{r}_i{\beta }_i\text{.}$$ 根据$p$的定义, $p\gamma \in W_{j-1}$, 而且上式最右边两项之和也在$W_{j-1}$之中, 所以$g{r}_j{\beta }_j\in W_{j-1}$. 现在我们使用第1步的条件b: $$\begin{array}{rcl}\mathrm{deg}(g{r}_j)& \ge & \mathrm{deg}s({\beta }_j;W_{j-1})\\ & =& \mathrm{deg}{p}_j\\ & \ge & \mathrm{deg}s(\gamma ;W_{j-1})\\ & =& \mathrm{deg}p\\ & =& \mathrm{deg}(fg)\end{array}$$ 因此, $\mathrm{deg}{r}_j\ge \mathrm{deg}f$, 但这与$j$的选择相矛盾. 现在我们知道$f$整除每个$g_i$, 于是${\beta }_0=f\gamma$. 既然$W$是$T$可容许的, 存在${\gamma }_0\in W_0$使得${\beta }_0=f{\gamma }_0$. 顺带值得一提的是, 第2步是断言$W_1,W_2,\dots ,W_r$具有$T$可容许性的一种增强形式.

第3步. 存在非零向量${\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_r\in V$满足定理3的条件i和ii.
我们自第1步的向量${\beta }_1,\dots ,{\beta }_r$始. 固定$k$, 其中$1\le k\le r$. 我们将第2步应用于$\beta ={\beta }_k$, 那么$T$导子$f=p_k$, 于是可以得到 $$p_k{\beta }_k=p_k{\gamma }_0+\sum _{i=1}^{k-1}{p}_k{h}_i{\beta }_i$$ 其中${\gamma }_0\in W_0$而$h_1,\dots ,h_{k-1}$是多项式. 令 $${\alpha }_k={\beta }_k-{\gamma }_0-\sum _{i=1}^{k-1}{h}_i{\beta }_i$$ 鉴于${\beta }_k-{\alpha }_k\in W_{k-1}$, 我们知道 $$s({\alpha }_k;W_{k-1})=s({\beta }_k;W_{k-1})=p_k$$ 既然$p_k{\alpha }_k=0$, 可以得到 $$W_{k-1}\cap Z({\alpha }_k;T)=\{0\}\text{.}$$ 因为每个${\alpha }_k$都满足以上两式, 所以 $$W_k=W_0\oplus Z({\alpha }_1;T)\oplus \cdots \oplus Z({\alpha }_k;T)$$ 并且$p_k$是${\alpha }_k$的$T$零化子. [译注: 读者需要注意到因为${\beta }_k-{\alpha }_k\in W_{k-1}$, 所以$W_{k-1}+Z({\alpha }_k;T)=W_{k-1}+Z({\beta }_k;T)$.] 换言之, 向量${\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_r$和向量${\beta }_1,\dots ,{\beta }_r$定义了相同的子空间序列$W_1,W_2,\dots$并且$T$导子$p_k=s({\alpha }_k;W_{k-1})$自然也满足最大性质, 即第1步的条件b. 其还具有额外的性质, 就是子空间$W_0,Z({\alpha }_1;T),Z({\alpha }_2;T),\dots$是线性无关的. 由此很容易验证定理3的条件ii. 既然对于每个$i$都有$p_i{\alpha }_i=0$, 我们有着平凡的关系 $$p_k{\alpha }_k=0+p_1{\alpha }_1+\cdots +p_{k-1}{\alpha }_{k-1}$$ 现在应用第2步, 将${\beta }_1,\dots ,{\beta }_k$替换为${\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_k$而$\beta ={\alpha }_k$, 那么可以得到结论: $p_k$整除每个$p_i$, 其中$i<k$.

第4步. 数字$r$和多项式$p_1,\dots ,p_k$在定理3的条件下是唯一的.
设除了向量${\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_r$之外非零向量${\gamma }_1,\dots ,{\gamma }_s$也满足定理3的条件, 也就是说 $$V=W_0\oplus Z({\gamma }_1;T)\oplus \cdots \oplus Z({\gamma }_s;T)$$ 并且$g_k$整除$g_{k-1}$, 其中$k=2,\dots ,s$而$g_i$是${\gamma }_i$的$T$零化子. 我们要证明的是$r=s$以及对于每个$i$有$p_i=g_i$.
很容易看出来$p_1=g_1$. 多项式$g_1$实际上由前述条件可以被确定为从$V$到$W_0$的$T$导子. $S(V;W_0)$被定义为集合$\{f\in F[x]|\text{对于每个}\beta \in V\text{, }f\beta \in W_0\}$, 其中$F$是标量域; 换言之, 多项式$f\in S(V;W_0)$当且仅当$f(T)$的像是$W_0$的子集. 那么, $S(V;W_0)$是多项式代数中的一个非零理想, 而多项式$g_1$是该理想的首项系数为一的生成元. 以下是我们的理由. 每个$\beta \in V$都具有形式 $$\beta ={\beta }_0+f_1{\gamma }_1+\cdots +f_s{\gamma }_s$$ 于是 $$g_1\beta =g_1{\beta }_0+\sum _{i=1}^s{g}_1{f}_i{\gamma }_i$$ 因为每个$g_i$都整除$g_1$, 所以对于每个$i$有$g_1{\gamma }_i=0$, 那么$g_1\beta =g_1{\beta }_0\in W_0$, 于是$g_1\in S(V;W_0)$. 既然$g_1$是将${\gamma }_1$送至$W_0$的次数最低的首项系数为一多项式, 那么$g_1$当然也是理想$S(V;W_0)$中次数最低的首项系数为一多项式. 根据同样的论证, $p_1$也应该是这个理想的首项系数为一的生成元, 所以$p_1=g_1$.
如果$f$是一个多项式, $W$是$V$的一个子空间, 那么缩写$fW$将表示集合$\{f\alpha |\alpha \in W\}$. 我们将以下三个事实的验证留作练习.

1. $fZ(\alpha ;T)=Z(f\alpha ;T)$.
2. 如果$V=V_1\oplus \cdots \oplus V_k$, 其中每个$V_i$都在$T$下不变, 那么$fV=f{V}_1\oplus \cdots \oplus f{V}_k$.
3. 如果$\alpha$和$\gamma$有着相同的$T$零化子, 那么$f\alpha$和$f\gamma$也有着相同的$T$零化子, 因而有 $$\dim Z(f\alpha ;T)=\dim Z(f\gamma ;T)\text{.}$$