线性代数

第7章 有理形式和Jordan形式

第7.1节 循环子空间和零化子

又一次, $V$是域$F$上的一个有限维向量空间, 而$T$是$V$上一个固定的 (但也是任意的) 线性算子. 如果$\alpha$是$V$的任意一个向量, 那么存在一个最小的包含$\alpha$且在$T$下不变的$V$的子空间. 这个子空间可以被定义为所有包含$\alpha$的$T$不变子空间之交. 然而, 现在对我们来说按照以下方式看待它是更有优势的. 如果$W$是任意的包含$\alpha$且在$T$下不变的$V$的子空间, 那么$W$也必然包含向量$T\alpha$. 因此, $W$还必然包含$T(T\alpha )=T^2\alpha$, $T(T^2\alpha )=T^3\alpha$, 等等. 换言之, 对于每个域$F$上的多项式$g$, 必然有$g(T)\alpha \in W$. 集合$\{g(T)\alpha |g\in F[x]\}$显然在$T$下不变, 因而是包含$\alpha$的最小$T$不变子空间.

另一种描述子空间$Z(\alpha ;T)$的方式为$Z(\alpha ;T)$是由向量$T^k\alpha ,k\ge 0$张成的子空间, 因而$\alpha$是$T$的循环向量当且仅当这些向量可以张成$V$. 我们提醒读者, 一般的线性算子$T$可能没有循环向量.

对于任意的$T$和$\alpha$, 我们所感兴趣的是向量$T^j\alpha$之间的线性关系$$c_0\alpha +c_{1}T\alpha +\cdots +c_k{T}^k\alpha =0$$即我们所感兴趣的是具有性质$g(T)\alpha =0$的多项式$g=c_0+c_{1}x+\cdots +c_k{x}^k$. 集合$\{g\in F[x]|g(T)\alpha =0\}$显然是$F[x]$中的一个理想. 并且, 它也是一个非零理想, 因为它包含$T$的极小多项式.

正如我们所指出的, $T$零化子$p_{\alpha }$整除算子$T$的极小多项式. 读者也应该注意到除非$\alpha$是零向量, $\mathrm{deg}{p}_{\alpha }>0$.

该定理的一个特别推论如下: 如果$\alpha$碰巧是$T$的一个循环向量, 那么$T$的极小多项式的次数必然等于空间$V$的维数. 因此, Cayley-Hamilton定理告诉我们$T$的极小多项式就是$T$的特征多项式. 之后我们将证明对于任意的$T$, 存在向量$\alpha \in V$使得其$T$零化子是$T$的极小多项式. 然后, 这可以推出$T$具有循环向量当且仅当$T$的极小多项式和特征多项式是相同的. 但是, 还需要一些工作我们才能抵达这一步.

我们的计划是利用具有循环向量的算子研究一般的$T$. 因此, 让我们检视$k$维空间$W$上的一个具有循环向量$\alpha$的算子$U$. 根据定理1, 向量$\alpha ,\dots ,U^{k-1}\alpha$构成了空间$W$的一个基, 并且$\alpha$的零化子$p_{\alpha }$是$U$的极小多项式 (因而也是$U$的特征多项式). 如果我们令${\alpha }_i=U^{i-1}\alpha ,i=1,\dots ,k$, 那么$U$于有序基$𝔅=\{{\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_k\}$上的作用为$$\begin{array}{l}U{\alpha }_i={\alpha }_{i+1},i=1,\dots ,k-1\\ U{\alpha }_k=-c_0{\alpha }_1-c_1{\alpha }_2-\cdots -c_{k-1}{\alpha }_k\end{array}$$其中$p_{\alpha }=c_0+c_{1}x+\cdots +c_{k-1}{x}^{k-1}+x^k$. $U{\alpha }_k$的表达式是由$p_{\alpha }(U)\alpha =0$的事实推得的, 即$$U^k\alpha +c_{k-1}{U}^{k-1}\alpha +\cdots +c_{1}U\alpha +c_0\alpha =0\text{.}$$这表明$U$在有序基$𝔅$下的矩阵为$$\left[\begin{array}{cccccc}0& 0& 0& \cdots & 0& -c_0\\ 1& 0& 0& \cdots & 0& -c_1\\ 0& 1& 0& \cdots & 0& -c_2\\ ⋮& ⋮& ⋮& & ⋮& ⋮\\ 0& 0& 0& \cdots & 1& -c_{k-1}\end{array}\right]\text{.}$$这个矩阵被称为首项系数为一的多项式$p_{\alpha }$的同伴矩阵 (companion matrix). [译注: 读者应该将同伴矩阵的概念视为多项式上的一个映射.]

以下是本节最后的注记. 如果$T$是空间$V$上任意的线性算子, $\alpha$是$V$中任意的向量, 那么$T$于循环子空间$Z(\alpha ;T)$上的限制算子$U$具有一个循环向量, 即$\alpha$. 因此, $Z(\alpha ;T)$拥有一个有序基, $U$在其下以$p_{\alpha }$的同伴矩阵表示, $p_{\alpha }$即$\alpha$的$T$零化子. [译注: 当然, $p_{\alpha }$也是$U$的极小多项式.]

第7.2节 循环分解和有理形式

本节的主要目的在于证明如果$T$是有限维向量空间$V$上任意的线性算子, 那么存在向量${\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_r\in V$满足$$V=Z({\alpha }_1;T)\oplus \cdots \oplus Z({\alpha }_r;T)\text{.}$$换言之, 我们希望证明$V$是一个$T$循环子空间的直和. 这将表明$T$是有限数目的线性算子的直和, 其中每个都拥有循环向量. 其效用在于将关于一般线性算子的诸多问题规约为关于拥有循环向量的算子的类似问题. 我们将证明的定理3是线性代数中最为深刻的结果之一, 并且拥有许多有趣的推论.

循环分解定理与以下问题紧密关联. 对于什么样的$T$不变子空间$W$而言, 存在另一个$T$不变子空间$W^{\prime }$满足$V=W\oplus W^{\prime }$. 如果$W$是有限维向量空间$V$的任意一个子空间, 那么存在一个子空间$W^{\prime }$满足$V=W\oplus W^{\prime }$. 通常来说存在许多这样的子空间$W^{\prime }$, 其中每个都被称为与$W^{\prime }$互补. 我们问的是何时一个$T$不变子空间拥有一个与之互补的$T$不变子空间.

让我们设$V=W\oplus W^{\prime }$, 其中$W$和$W^{\prime }$都在$T$下不变, 然后看看我们可以发现什么关于子空间$W$的性质. 每个向量$\beta \in V$都具有$\beta =\gamma +{\gamma }^{\prime }$的形式, 其中$\gamma \in W$而${\gamma }^{\prime }\in W^{\prime }$. 如果$f$是标量域上任意的多项式, 那么$$f(T)\beta =f(T)\gamma +f(T){\gamma }^{\prime }\text{.}$$既然$W$和$W^{\prime }$都是$T$不变的, 向量$f(T)\gamma \in W$且$f(T){\gamma }^{\prime }\in W^{\prime }$. 因此, $f(T)\beta \in W$当且仅当$f(T){\gamma }^{\prime }=0$. 我们所感兴趣的正是这看似单纯的事实, 即如果$f(T)\beta \in W$, 那么$f(T)\beta =f(T)\gamma$.

刚才我们已经表明了, 如果$W$是不变的且有一个互补的不变子空间, 那么$W$是可容许的. 定理3的一个推论是其逆, 于是可容许性刻画了那些拥有互补不变子空间的不变子空间.

让我们指出在获得分解$$V=Z({\alpha }_1;T)\oplus \cdots \oplus Z({\alpha }_r;T)$$的尝试里可容许性质的概念是如何牵涉其中的. 我们抵达这样一种分解的基本方法是归纳地挑选向量${\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_r$. 设根据某种过程我们已经挑选了向量${\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_j$, 并且子空间$$W_j=Z({\alpha }_1;T)+\cdots +Z({\alpha }_j;T)$$是真子空间. 我们想要找到一个非零向量${\alpha }_{j+1}$满足$$W_j\cap Z({\alpha }_{j+1};T)=\{0\}$$因为这样的话子空间$W_{j+1}=W_j\oplus Z({\alpha }_{j+1};T)$就离穷尽$V$更进至少一维. 但是, 这样的${\alpha }_{j+1}$何以存在呢? 如果${\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_j$的挑选使得$W_j$是一个$T$可容许子空间, 那么很容易看出来我们可以找到一个合适的${\alpha }_{j+1}$. 这是使得我们对于定理3的证明成立之所在, 即便这并非我们组织论证的方式.

令$W$是一个$T$不变的真子空间. 让我们试着寻找一个非零的向量$\alpha$满足$$W\cap Z(\alpha ;T)=\{0\}\text{.}$$我们可以选择某个向量$\beta \notin W$, 考虑$T$导子$S(\beta ;W)$, 其由所有满足$g(T)\beta \in W$的多项式$g$构成. 回忆一下, 生成理想$S(\beta ;W)$的唯一的首项系数为一的多项式$f=s(\beta ;W)$也被称为从$\beta$到$W$的$T$导子. 向量$f(T)\beta$在$W$之中. 现在, 如果$W$是$T$可容许的, 那么存在$\gamma \in W$满足$f(T)\beta =f(T)\gamma$. 令$\alpha =\beta -\gamma$, $g$是任意的多项式. 既然$(\beta -\alpha )\in W$, $g(T)\beta \in W$当且仅当$g(T)\alpha \in W$. 换言之, $S(\alpha ;W)=S(\beta ;W)$. 因此, 多项式$f$也是从$\alpha$到$W$的$T$导子. 但是$f(T)\alpha =0$, 这告诉我们$g(T)\alpha \in W$当且仅当$g(T)\alpha =0$, 即子空间$Z(\alpha ;T)$和$W$是线性无关的, 并且$f$是$\alpha$的$T$零化子.

现在让我们检视循环分解定理的矩阵类比. 如果我们拥有线性算子$T$和定理3的直和分解, 令${𝔅}_i$是$Z({\alpha }_i;T)$的"循环有序基"$$\{{\alpha }_i,T{\alpha }_i,\dots ,T^{k_i-1}{\alpha }_i\}\text{.}$$这里$k_i$表示$Z({\alpha }_i;T)$的维数, 或者说零化子$p_i$的次数. 在有序基${𝔅}_i$下, 导出算子$T_i$的矩阵是多项式$p_i$的同伴矩阵. 因此, 若$𝔅$是将${𝔅}_1,\dots ,{𝔅}_r$按照顺序合并得到的$V$的有序基, 那么$T$在$𝔅$下的矩阵为$$A=\left[\begin{array}{cccc}{A}_1& 0& \cdots & 0\\ 0& A_2& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ 0& 0& \cdots & A_r\end{array}\right]$$其中$A_i$是$p_i$的同伴矩阵, 大小为$k_i\times k_i$. 一个$n\times n$的矩阵$A$, 如果其为非标量首项系数为一多项式$p_1,\dots ,p_r$的同伴矩阵的直和且对于$i=1,\dots ,r-1$有$p_{i+1}$整除$p_i$, 那么我们称$A$具有有理形式. 循环分解定理告诉我们了以下结果.

多项式$p_1,\dots ,p_r$被称为矩阵$B$的不变因子. 在第7.4节, 我们将描述一个计算给定矩阵的不变因子的算法. 可根据施行于矩阵的元素上的有限次有理操作计算得出这些多项式的事实赋予了有理形式其名.