绘制数学图形

本书介绍了如何在PostScript中绘制图形, 当然也必然涉及一些几何.

第1章 开始

第1.1节 简单绘图

GS>newpath
GS>144 144 moveto
GS>288 288 lineto
GS>stroke
GS>

• 构造一条路径始于命令newpath. 这就像拿起笔准备画画.
• 路径本身始于命令moveto. 这就像将笔置于路径的起点.
• 使用命令lineto为路径添加线条. 这就像在纸上移动笔.
• 已经构造好了路径, 使用命令stroke绘制它, 或者说使其变得可见.
• PostScript总是倒着书写, 参数总是出现在运算符之前, 此即所谓逆波兰记号 (Reverse Polish Notation, RPN).

以下命令序列可以绘制一个边长为$2$英寸的正方形.

newpath
144 144 moveto
288 144 lineto
288 288 lineto
144 288 lineto
144 144 lineto
stroke

当然PoscScript中存在许多不同的方式来绘制这个正方形.

newpath
144 144 moveto
144 0 rlineto
0 144 rlineto
-144 0 rlineto
closepath
stroke

rlineto是lineto的相对 (relative) 位置版本. closepath通过回到上一个应用moveto的位置以封闭路径.

newpath
144 144 moveto
144 0 rlineto
0 144 rlineto
-144 0 rlineto
closepath
fill

fill和stroke有着不同的效果.

0.5 setgray
newpath
144 144 moveto
144 0 rlineto
0 144 rlineto
-144 0 rlineto
closepath
fill

1 0 0 setrgbcolor
newpath
144 144 moveto
144 0 rlineto
0 144 rlineto
-144 0 rlineto
closepath
fill

第1.2节 简单坐标变换

对于生活在北美的人而言, 既然默认的页面尺寸为${8.5}^{″}\times {11}^{″}$, 与单位英寸打交道通常来得更加容易. 以下命令可以将基本的长度单位转换为英寸.

72 72 scale

当进行缩放的时候, 需要注意默认的线宽是一个单位. 如果什么都不做, 那么现在线宽就是$1$英寸了.

0.01389 setlinewidth

你可以使用0.01389 setlinewidth将其改回来, 因为$0.01389$约等于$1/72$.

1 2 translate

你可以使用translate进行平移, 比如这里将坐标原点右移了$1$个单位, 上移了$2$个单位.

72 72 scale
4.25 5.5 translate

如此原点就移动了到了页面的中心.

还有一种简单的坐标变换, 即旋转rotate.

144 144 translate
30 rotate
newpath
0 0 moveto
144 0 lineto
144 144 lineto
0 144 lineto
0 0 lineto
stroke

旋转总是围绕当前原点进行, 注意到PostScript的角度单位是角度制而不是弧度制.

第1.3节 坐标框架

第1.4节 PostScript中做算术

PostScript是一种完备的编程语言.

GS>3 4 add
GS<1>

你可能想问<1>是什么意思, 它指的是栈的深度.

GS>3 4 add
GS<1>=
7
GS>

=移除栈顶的元素, 并将其输出. ==与=类似, 但是输出在某种意义上更加美观, 所以你总是应该使用==.

GS>3 4 add
GS<1>stack
7
GS<1>

stack输出整个栈, 类似的命令还有pstack. pstack之于stack就像==之于=.

GS>3 3 mul
GS<1>4 4 mul
GS<2>add
GS<1>sqrt
GS<1>=
5.0
GS>

第1.5节 错误

第1.6节

第1.7节 一些细节

默认情况下linecap为0, 你可以通过setlinecap来设置这个参数.

9 setlinewidth
% linejoin = 0 by default
newpath
0 0 moveto
0 72 lineto
72 0 lineto
stroke

linejoin是一个与linecap有点联系的参数, 它控制line join的样式, 其值同样仅可能为0, 1, 2, 并使用setlinejoin修改.

第1.8节 消除冗余的一个技巧

newpath
144 144 moveto
144 0 rlineto
0 144 rlineto
-144 0 rlineto
closepath
gsave
1 0 0 setrgbcolor
fill
grestore
0 setgray
stroke

第1.9节 总结

newpath
moveto
lineto
rmoveto
rlineto
closepath
stroke
fill

translate
scale
rotate

setlinewidth
setrgbcolor
setgray
setlinejoin
setlinecap

gsave
grestore
showpage

第2章 初等坐标几何

第2.1节 点和向量

如果$P$是一个点而$v$是一个向量, 那么$P+v$是一个点, 其是满足$Q-P=v$的点$Q$. 我们称$Q$是$P$平移$v$得到的. 若给定实数$t$以及点$P$和$Q$, 我们可以构造一个点$P+t(Q-P)$. 若$0\le t\le 1$, 那么该点在线段$PQ$上. 当$t=1/2$时, 该点即$PQ$的中点. 我们可以将$P+t(Q-P)$写成$(1-t)P+tQ$的形式.

第3章 变量和过程

第3.1节 PostScript中的变量

/s 1 def

newpath
0 0 moveto
s 0 rlineto
0 s rlineto
s neg 0 rlineto
closepath
stroke

第3.2节 PostScript中的过程

第4章 坐标和条件式

第4.1节 坐标

PostScript在内部(至少是隐式地)处理三种坐标系统. 第一种是物理坐标系. 物理坐标系的基本单位是像素. 第二种是页面坐标系. 其原点位于页面的左下角, 单位长度为一个Adobe点, 等于$1/72$英寸. 页面可以被视为一种理想化了的物理设备. 第三种是用户坐标系, 这是用户绘制图像时使用的坐标系. 最初页面坐标系和用户坐标系是相同的, 但是特定的操作, 例如scale, translate, rotate, 可以改变其间的关系.

仿射变换可以看成是一个线性变换加上一个平移分量, 其具有特定的性质: 直线经过变换仍然是直线, 平行线经常变换仍然是平行的.

第4.2节 PostScript如何存储坐标变换

确定一个仿射坐标变换$$\left[\begin{array}{cc}{x}_{•}& y_{•}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}x& y\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cc}e& f\end{array}\right]$$所需要的数据被存储在一个长度为六的数组[a b c d e f]里, 其被称为matrix. 命令matrix将数组[1 0 0 1 0 0]置于栈上, 此即恒等变换. 若此时再使用currentmatrix命令, 则会将当前变换置于该数组之中.

GS>matrix currentmatrix ==
[1.33333337 0.0 0.0 1.33333337 0.0 0.0]
GS>

现在我们想要解方程$$\left[\begin{array}{cc}{x}_{•}& y_{•}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}x& y\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cc}e& f\end{array}\right]$$以用$x_{•}$和$y_{•}$表达$x$和$y$. 我们考虑将其写成$$P_{•}=PA+v$$的形式. 假定$A$可逆, 我们得到$$P=P_{•}{A}^{-1}-v{A}^{-1}$$也就是说, 这个逆变换同样是仿射变换. 实际上, PostScript拥有一个计算逆变换的命令, 即invertmatrix. 另外, concatmatrix可以用来计算变换的复合. 它们的用法如下.

M matrix invertmatrix

A B matrix concatmatrix

显然, 我们可以藉由这些操作来计算从用户到页面坐标系的变换.

/user-to-page-matrix {
  matrix currentmatrix
  matrix defaultmatrix
  matrix invertmatrix
  matrix concatmatrix
} def

第4.3节 绘制坐标系

第4.4节 移入三维

注记: 本节考虑的不是三维的仿射变换的情形, 而是仿射坐标系的诸多事宜.

实际上, 我们可以在三维的情况下用线性变换表示二维的仿射变换.$$\left[\begin{array}{cc}{x}_{•}& y_{•}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}x& y\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cc}e& f\end{array}\right]$$可以被重写为$$\left[\begin{array}{ccc}{x}_{•}& y_{•}& 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}x& y& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}a& b& 0\\ c& d& 0\\ e& f& 1\end{array}\right]$$这样之后, 仿射变换的复合就变成纯粹的矩阵乘法了.

第4.5节 坐标变换是如何进行的

现在我们可以检视如何以矩阵表示先前的几种简单变换.

a b scale

x rotate

a b translate

[a b c d e f] concat

72 72 scale
4 5 translate
30 rotate

在Racket写了点简单的程序算一算.

> (matrix-print
   (matrix* (make-scale 72 72)
            (make-translation 4 5)
            (make-rotation (/ pi 6))))
62.353829072479584 -35.99999999999999 288 
35.99999999999999 62.353829072479584 360 
0 0 1 

GS>/user-to-page-matrix {
  matrix currentmatrix
  matrix defaultmatrix
  matrix invertmatrix
  matrix concatmatrix
} def
GS>72 72 scale
GS>4 5 translate
GS>30 rotate
GS>user-to-page-matrix
GS<1>==
[62.3538284 36.0 -36.0 62.3538284 288.0 360.0]
GS>

第5章 绘制多边形: 循环和数组

第6章 曲线