隐函数定理

第1章 隐函数定理引论

第1.1节 隐函数

对于微积分的初学者而言, 函数由诸如$$\begin{array}{lcr}\phantom{\text{(1.1)}}& f(x)=x^3+2x^2-x-3& \text{(1.1)}\end{array}$$$$\begin{array}{lcr}\phantom{\text{(1.2)}}& g(y)=\sqrt{y^2+1}& \text{(1.2)}\end{array}$$$$\begin{array}{lcr}\phantom{\text{(1.3)}}& h(t)=\cos (2\pi t)& \text{(1.3)}\end{array}$$这样的解析表达式给出. 实际上, 250年前这是Léonard Euler (1707-1783) 所采取的方法 (见Euler [EB88]):

A function of a variable quantity is an analytic expression composed in any way whatsoever of the variable quantity and numbers or constant quantities.

几乎是在同一时间, 有人发现由公式给出函数这一概念对于微积分的目的而言太过具有限制性了. 例如,$$\begin{array}{lcr}\phantom{\text{(1.4)}}& y^5+16y-32x^3+32x=0& \text{(1.4)}\end{array}$$的轨迹定义了一个很好的${ℝ}^2$的子集, 草绘于图1.1之中. 这个图片 (figure) 让我们怀疑这个轨迹是不是$y$作为$x$的函数的图 (graph). 但是, 并没有可以用来描述这个函数的公式存在.

与将函数当作公式的朴素定义相比, 函数的现代的集合论式的定义基于函数的图 (graph) 陈述. 精确地说, 定义域为$X$而陪域为$Y$的一个函数$f$是笛卡尔积$$X\times Y=\{(x,y)|x\in X,y\in Y\}$$的一个子集, 其具有性质(i)对于每个$x\in X$, 存在一个元素$(x,y)\in f$; (ii)如果$(x,y)\in f$且$(x,\tilde{y})\in f$, 那么$y=\tilde{y}$. 在这两个性质成立的情况下, $x\in X$的选择确定了唯一使得$(x,y)\in f$的$y$; 藉着唯一性, 我们发现简记$$y=f(x)$$以表达$(x,y)\in f$比较方便.

第1.2节 隐函数定理的一个非正式版本