瞎写的格论笔记

定义. 对于集合$P$和其上的一个二元关系$\le$, 如果该二元关系是自反的, 传递的, 反对称的, 则称$\le$为$P$上的一个偏序, 而$P$是一个偏序集, 有时也称$P$是一个偏序. 当然, 这里我们遵循通常的数学实践, 将$(P,\le )$记成了$P$. 有的书籍会要求$P$非空, 有的则不会.

定义. 如果不要求反对称性而只有自反和对称, 则我们就得到了预序的定义.

定义. 如果一个偏序集的任意两个元素之间均可比较大小, 则将其称为链, 或者线序, 全序.

定义. 对于偏序集$P$和$A\subseteq P$, 若$x\in A$和$x\le y$可以推出$y\in A$, 那么称$A$是一个上集 (upper set). 当然, 这里的$y\in P$. 对偶地, 可以定义下集 (lower set).

定义. 记$\mathcal{U}(P)$为偏序集$P$的所有上集构成的族, $\mathcal{D}(P)$为偏序集$P$的所有下集构成的族. 它们都是$P$上的Alexandrov拓扑.

定义. 对于偏序集$P$和$A\subseteq P$, 我们定义$A$的上闭包 (upper closure) 为$$\uparrow A=\{x\in P|\exists a\in A\text{ s.t. }a\le x\}$$对偶地, 可以定义$A$的下闭包 (lower closure) $\downarrow A$. 我们注意到, $\uparrow A$是一个上集, $\downarrow A$是一个下集. 而且, $\uparrow A$是以$A$为子集的最小上集, $\downarrow A$是以$A$为子集的最小下集. 当$A$是单元素集$\{x\}$时, 我们将$\uparrow \{x\}$记为$\uparrow x$, $\downarrow \{x\}$记为$\downarrow x$.

定义. 对于偏序集$P$和$x,y\in P$, 如果$x<y$且$x\le z\le y$可以推出$z=x$或$z=y$, 那么我们称$y$覆盖 (cover) $x$. 覆盖关系构成了Hasse图. 但是, 在我们说Hasse图的时候, 往往指的不是图论的graph, 而指的是用以形象描绘偏序集的具体图示.

定义. 对于偏序集$P$, 如果$a\in P$满足对于每个$x\in P$, $a\le x$, 那么就称$a$是$P$的最小元. 对偶地, 可以定义最大元.

定义. 对于偏序集$P$, 如果$a\in P$满足对于每个$x\in P$, 要么$a$和$x$不可比较, 要么$a\le x$, 那么就称$a$是$P$的一个极小元. 换句话说, $x\le a$可以推出$x=a$. 对偶地, 可以定义极大元. 最小元也是极小元, 最大元也是极大元.

定义. 对于偏序集$P$和$S\subseteq P$, 称$a\in P$是$S$的一个上界, 如果对于每个$s\in S$, $s\le a$. $S$的所有上界构成的集合记为$S^u$. $S^u$的最小元被称为最小上界. 对偶地, 我们可以定义下界, $S^l$, 以及最大下界.

定义. 对于偏序集$P$和$x,y\in P$, 如果$\{x,y\}$具有最小上界, 那么就将其记为$x\vee y$, 读作$x$和$y$的并 (join). 对偶地, 我们可以定义$x$和$y$的交 (meet) $x\wedge y$.

定义. 对于偏序集$P$, 如果对于每个$x,y\in P$都有$x\vee y$存在, 那么就称$P$是一个并半格 (join-semilattice). 对偶地, 我们可以定义交半格 (meet-semilattice). 如果偏序集$P$既是并半格又是交半格, 那么就称$P$是一个格 (lattice).

定义. 对于格$L$, 我们有以下性质.

1. 幂等律: $a\vee a=a$, $a\wedge a=a$;
2. 交换律: $a\vee b=b\vee a$, $a\wedge b=b\wedge a$;
3. 结合律: $(a\vee b)\vee c=a\vee (b\vee c)$, $(a\wedge b)\wedge c=a\wedge (b\wedge c)$;
4. 吸收律: $a\vee (a\wedge b)=a$, $a\wedge (a\vee b)=a$.