格论 (Birkhoff)

本书可谓是格论的第一本书, 极大地推动了格论的传播和发展. 这里是我的读书笔记, 原书许多陈旧的记号被替换为了现代的表述.

第1章 格的类型

第1节 偏序集; 链

定义. 一个偏序集 (poset) 是一个其上定义了某个偏序关系的集合. 所谓偏序关系, 指的是满足自反性, 反对称性, 传递性的二元关系.
例子. 任意集合的幂集在子集关系下成为一个偏序集.
例子. 正整数集在整除关系下成为一个偏序集.
例子. 区间[−1,1]上的所有实值函数构成的集合在这样的二元关系下成为一个偏序集, 函数f≤g如果对于每个x∈[−1,1], f⁡(x)≤g⁡(x).