流形引论

简介

本科微积分从实直线上的函数的微分和积分一路推进至平面和三维空间之中的函数. 然后, 学生会遇到向量值函数并学习曲线和曲面上的积分. 实分析将微分和积分演算从${ℝ}^3$扩展至${ℝ}^n$. 本书是关于将微积分从曲线和曲面推广至更高维度的.

光滑曲线和曲面的高维类比被称为流形. 向量微积分的构造和定理在流形这样更为一般的环境下变得更加简单了; 梯度, 旋度, 散度都是外导数的特殊情形, 而线积分的基本定理, Green定理, Stokes定理, 散度定理都是流形版本的一般Stokes定理的不同表现.

即便我们只关心我们所寓居的三维空间, 高维流形也会出现. 例如, 如果我们将平移接着旋转称为仿射运动, 那么由${ℝ}^3$中的所有仿射运动构成的集合是一个六维流形. 而且, 这个六维流形不是${ℝ}^6$.

我们认为两个流形是拓扑相同的, 如果存在一个它们之间的同胚, 即在两个方向上都连续的双射. 流形的拓扑不变量是在同胚下保持不变的性质, 例如紧性. 另外一个例子是流形的连通分量的数目. 令人感兴趣的是, 我们可以使用流形上的微分和积分演算研究流形的拓扑. 我们可以得到一个称为流形的de Rham上同调的更为精细的不变量.

我们的计划如下. 首先, 我们以适合于流形理论的方式重新呈现了${ℝ}^n$上的微积分. 我们的做法是赋予符号$dx,dy,dz$以自足的意义, 即作为微分形式, 而非仅仅是一种本科生微积分中的记号.

尽管从逻辑上说在流形理论之前建立${ℝ}^n$上的微分形式并不必要, 毕竟第5章里流形上的微分形式的理论已经涵盖了${ℝ}^n$上的情形, 但是从教育学的角度来看, 单独处理${ℝ}^n$更好, 因为${ℝ}^n$上的情况展现了微分形式和外微分本质上的简单性.

第1章 Euclid空间

Euclid空间${ℝ}^n$是所有流形的原型. 不只是因为其是最简单的流形, 而且从局部上每个流形看起来都像${ℝ}^n$. 对于${ℝ}^n$的良好理解对于将微分和积分演算推广至流形的情况是基本的.

Euclid空间的特别之处在于其有着一集标准的全局坐标. 这既是一种赐福, 也是一种障碍. 说是赐福是因为所有${ℝ}^n$上的构造都可以基于标准坐标定义而所有的计算都可以显式执行. 说是障碍是因为基于坐标定义的话, 不容易看出来什么概念是内蕴的, 即独立于坐标. 既然一般的流形没有标准坐标可言, 只有独立于坐标的概念才能够在流形上成立. 例如, 实际上$n$维流形上不能够对于函数进行积分, 因为函数的积分依赖于一集坐标. 能够进行积分的对象是微分形式. 只是因为全局坐标的存在性允许函数和${ℝ}^n$上的微分$n$-形式等同起来, 由此${ℝ}^n$上的函数的积分才变得可能起来.

本章我们的目的在于以适合于推广至流形的无坐标方式重新呈现${ℝ}^n$上的微积分. 为此我们不把切向量视为箭头或者一列数字, 而是当作函数上的导子. 然后我们呈现了Hermann Grassmann对于向量空间上的交错多线性函数的形式化, 其奠定了微分形式理论的基础. 最后我们引入了${ℝ}^n$上的微分形式, 以及两个基本运算, 楔积和外导数, 并展现了其是如何泛化和简化${ℝ}^3$中的向量微积分的.

第1.1节 Euclid空间上的光滑函数

对于 $C^{\infty }$函数的演算将会是我们研究高维流形的主要工具. 出于这个原因, 我们从回顾${ℝ}^n$上的$C^{\infty }$函数开始.

第1.1.1小节 $C^{\infty }$和解析函数的对比

我们将${ℝ}^n$上的诸坐标记为$x^1,\dots ,x^n$并令$p=(p^1,\dots ,p^n)$是${ℝ}^n$中的一个开集$U$的一个点. 为了与微分几何的约定保持一致, 坐标的索引是上标而非下标. 对于上标和下标的规则的解释见于第1.4.7小节.

第1.1.2小节 带余项的Taylor定理

第1.1.3小节 问题

第1.2节 ${ℝ}^n$中的切向量作为导子

第1.2.1小节 方向导数

第1.3节 多重余向量的外代数

第1.4节 ${ℝ}^n$上的微分形式