测度论

1.1.1.B. 评注.

几乎所有数学主题的学习都是从定义开始的. 在这个阶段, 没有替代死记硬背的学习方法. 这些定义包裹了诸多人物数年 (有时甚至是数个世纪) 的巧思, 你不能期望它们总是可以与你熟悉的想法对应起来.
然而, 你永远应该立即去寻求使新的定义变得更加具体的方法, 一般是藉由你已有的数学经验寻找例子. 在这里 $σ$ -代数的情况下, 以下所要描述的真正的例子本质上来说是全新的——也就是说, 你需要从根本上阅读本章. 然而, 你应该立即能够想到两个例子, 而之后你应该将这两个例子铭记在心:
1. 对于任意的 $X$ , $Σ = {\emptyset, X}$ 是 $X$ 的子集的一个 $σ$ -代数.
2. 对于任意的 $X$ , $P X$ , 即 $X$ 的所有子集构成的集合, 是 $X$ 的子集的一个 $σ$ -代数.
这些当然是X的子集的σ-代数中最小的和最大的. 而且, 尽管我们不会在这两个例子身上花多少时间, 实际上它们仍然是重要的.
术语可测空间经常用来指代一个序对 $(X, Σ)$ , 其中 $X$ 是一个集合而 $Σ$ 是 $X$ 的子集的一个 $σ$ -代数. 然而, 就我个人而言, 除非时间紧迫, 否则我将避免使用这个术语, 因为实际上这种对象的许多最有趣的例子并无有用的测度与之关联.

1.1.1.E. 更多关于无穷并和交的讨论.

到目前为止, 我们只在由自然数集 $ℕ$ 索引的序列 ${⟨ E_{n} ⟩}_{n \in ℕ}$ 的上下文中考虑了无穷并和交. 在前方的内容中, 诸多其他的形式也会以或多或少自然的方式出现. 例如, 可以考虑具有以下形式的集合 $⋃_{n \geq 4} E_{n} = E_{4} \cup E_{5} \cup E_{6} \cup \dots$ $⋃_{n \in ℤ} E_{n} = {x | \exists n \in ℤ, x \in E_{n}} = \dots \cup E_{- 2} \cup E_{- 1} \cup E_{0} \cup E_{1} \cup E_{2} \cup \dots$ $⋃_{q \in ℚ} E_{q} = {x | \exists q \in ℚ, x \in E_{q}}$ 其中我以 $ℤ$ 代表由所有整数构成的集合, $ℚ$ 代表由所有有理数构成的集合. 如果每个 $E_{n}, E_{q}$ 属于一个 $σ$ -代数 $Σ$ , 那么这些并也属于. 另一方面, 以下情形 $⋃_{t \in [0, 1]} E_{t} = {x | \exists t \in [0, 1], x \in E_{t}}$ 在一个 $σ$ -代数包含每个 $E_{t}$ 的情况下却可能并不属于该 $σ$ -代数. 读者有必要对于特定的指标集建立直觉, 例如 $ℕ, ℤ, ℚ$ , 其在 $σ$ -代数的上下文中是安全的, 也要记得那些并不安全的例子.
我希望你已经见过Cantor关于无限集合的理论了, 那么以下内容不过是对于熟悉材料的重述; 但如果没有, 我希望它可以作为对于这些想法的一个初次但非常不完整的导引. 要义在于, 对于(上一段的)前三个例子而言, 我们可以将所牵涉的集合族重排为简单的集合序列. 对于第一个例子, 这是相当初等的; 对于 $n \in ℕ$ , 令 $E_{n}^{'} = E_{n + 4}$ , 那么可以看到 $⋃_{n \geq 4} E_{n} = ⋃_{n \in ℕ} E_{n}^{'} \in Σ$ . 对于其他两个例子, 我们则需要了解一点关于集合 $ℤ$ 和 $ℚ$ 的知识. 实际上, 我们可以找到整数的序列 ${⟨ k_{n} ⟩}_{n \in ℕ}$ 和有理数的序列 ${⟨ q_{n} ⟩}_{n \in ℕ}$ 使得每个整数都作为一个 $k_{n}$ 出现(至少一次), 而每个有理数都作为一个 $q_{n}$ 出现(至少一次); 换言之, 函数 $n \mapsto k_{n}, ℕ \to ℤ$ 和 $n \mapsto q_{n}, ℕ \to ℚ$ 都是满射的. $P$ 存在许多不同的方式可以达成这点; 其中一种如下, 置 $k_{n} = {\begin{matrix} \frac{n}{2} & , n 为偶数 \\ - \frac{n + 1}{2} & , n 为奇数 \end{matrix}$ $q_{n} = \frac{n - m^{3} - m^{2}}{m + 1}, 如果 m \in ℕ 且 m^{3} \leq n < {(m + 1)}^{3}$ (你应该仔细检查这些公式以确保它们的确能做到我所声明的事情.) $Q$ 现在, 为了处理 $⋃_{n \in ℤ} E_{n}$ , 我们可以对于每个 $n \in ℕ$ 置 $E_{n}^{'} = E_{k_{n}} \in Σ$ 那么就有 $⋃_{n \in ℤ} E_{n} = ⋃_{n \in ℕ} E_{k_{n}} = ⋃_{n \in ℕ} E_{n}^{'} \in Σ$ 如法炮制, 我们也有 $⋃_{q \in ℚ} E_{q} = ⋃_{n \in ℕ} E_{q_{n}} \in Σ$ 注意到第一个例子 $⋃_{n \geq 4} E_{n}$ 也可以想成是相同原理的一个应用; 映射 $n \mapsto n + 4$ 是从 $ℕ$ 到 ${4, 5, 6, 7, \dots}$ 的一个满射.

1.1.1.G. Borel集合. 这里我可以描述一类非平凡的

σ

-代数; 其构造是抽象的, 但是这样的技术是重要的, 并且这个术语也是测度论的基本词汇的一部分.

令X是一个集合, 令S是任意的X的子集的σ-代数的非空的族. (因此, S的每个成员本身就是一个集合的族; S⊆P⁡(P⁡X).) 那么⋂S={E|E∈Σ,∀Σ∈S}即所有属于S的σ-代数之交, 是X的子集的一个σ-代数. P
1. 根据假设, $S$ 非空; 取 $Σ_{0} \in S$ ; 那么 $⋂ S \subseteq Σ_{0} \subseteq P X$ , 故 $⋂ S$ 的每个成员都是 $X$ 的一个子集.
2. 因为对于每个 $Σ \in S$ , $\emptyset \in Σ$ , 故 $\emptyset \in ⋂ S$ .
3. 如果 $E \in ⋂ S$ , 那么对于每个 $Σ \in S$ 有 $E \in Σ$ , 故对于每个 $Σ \in S$ 有 $X \ E \in Σ$ , 因而 $X \ E \in ⋂ S$ .
4. 令 ${⟨ E_{n} ⟩}_{n \in ℕ}$ 是 $⋂ S$ 中的任意序列, 那么对于每个 $Σ \in S$ , ${⟨ E_{n} ⟩}_{n \in ℕ}$ 都是 $Σ$ 中的一个序列, 故 $⋃_{n \in ℕ} E_{n} \in Σ$ ; 鉴于 $Σ$ 是任意的, 所以 $⋃_{n \in ℕ} E_{n} \in ⋂ S$ . $Q$
现在令A是任意的一个X的子集的族, 考虑S={Σ|Σ是X的子集的一个σ-代数, 而且A⊆Σ}.根据定义, S是X的子集的σ-代数的一个族; 而且, 其是非空的, 因为P⁡X∈S. 因此, ΣA=⋂S是X的子集的一个σ-代数. 鉴于对于每个Σ∈S都有A⊆Σ, A⊆ΣA; 因此, ΣA自身就属于S; 其为包含A的最小的X的子集的σ-代数. 我们称ΣA是由 $A$ 生成的X的子集的σ-代数. 以下是两个例子.
1. 对于任意的集合 $X$ , 由 $\emptyset$ 生成的 $X$ 的子集的 $σ$ -代数为 ${\emptyset, X}$ .
2. 由 ${{n} | n \in ℕ}$ 生成的 $ℕ$ 的子集的 $σ$ -代数是 $P ℕ$ .
1. 我们称一个集合 $G \subseteq ℝ$ 是开的, 如果对于每个 $x \in G$ , 存在 $δ > 0$ 使得开区间 $] x - δ, x + δ [$ 被包含于 $G$ .
2. 类似地, 对于任意的 $r \geq 1$ , 我们称一个集合 $G \subseteq ℝ^{r}$ 在 $ℝ^{r}$ 中是开的, 如果对于每个 $x \in G$ , 存在 $δ > 0$ 使得 ${y | ‖ y - x ‖ < δ} \subseteq G$ , 其中对于 $z = (ζ_{1}, \dots, ζ_{r}) \in ℝ^{r}$ , 我记 $‖ z ‖ = \sqrt{\sum_{i = 1}^{r} {| ζ_{i} |}^{2}}$ ; 因此, $‖ y - x ‖$ 不过就是从 $y$ 到 $x$ 的通常的Euclid距离.
现在 $ℝ$ 的Borel集合不过就是由 $ℝ$ 的所有开集构成的族所生成的 $ℝ$ 的子集的 $σ$ -代数的成员; $σ$ -代数本身则被称为Borel $σ$ -代数. $ℝ^{r}$ 的Borel集合和Borel $σ$ -代数以类似的方式定义.
一些读者可能会感到这里的构建并没有给出一个Borel集合到底长什么样子的想法. (开集要远为简单; 见1.1.1.I的练习e.) 实际上, 这个概念的重要性在很大程度上来源于存在另外更加显式且在某种意义上更加具体的描述Borel集合的方式. 我将于第4卷的第4.2章回到这个话题上来.

1.1.1.I. 深入练习.

在 $ℝ^{r}$ 中, 其中 $r \geq 1$ , 表明当 $G \subseteq ℝ^{r}$ 是开的且 $a \in ℝ^{r}$ 时, $G + a = {x + a | x \in G}$ 也是开的. 基于这个结果, 证明当 $E \subseteq ℝ^{r}$ 是一个Borel集合且 $a \in ℝ^{r}$ 时, $E + a$ 也是一个Borel集合. (提示: 表明 ${E | E + a 是一个Borel集合}$ 是一个包含所有开集的 $σ$ -代数.)
令 $X$ 是一个集合, $Σ$ 是一个 $X$ 的子集的 $σ$ -代数, 而 $A$ 是 $X$ 的任意一个子集. 证明 ${(E \cap A) \cup (F \ A) | E, F \in Σ}$ 是一个 $X$ 的子集的 $σ$ -代数, 而且是由 $Σ \cup {A}$ 生成的 $σ$ -代数.
令 $G \subseteq ℝ^{2}$ 是一个开集. 证明 $G$ 的所有水平截线和垂直截线 ${ξ | (ξ, η) \in G}, {ξ | (η, ξ) \in G}$ 都是 $ℝ$ 的开子集.
令 $E \subseteq ℝ^{2}$ 是一个Borel集合. 证明 $E$ 的所有水平截线和垂直截线 ${ξ | (ξ, η) \in E}, {ξ | (η, ξ) \in E}$ 都是 $ℝ$ 的Borel子集. (提示: 证明由所有截线均为Borel集合的 $ℝ^{2}$ 的子集构成的族是一个包含所有开集的 $ℝ^{2}$ 的子集的 $σ$ -代数.)
令 $G \subseteq ℝ$ 是一个开集. 证明 $G$ 可以唯一地表示为开区间 ( $G$ 的分量) 的一个可数族 $I$ (可能为空) 之并, 其中我们要求这个族内的诸开区间两两不相交. (提示: 对于 $x, y \in G$ , 称 $x ~ y$ 如果 $x$ 和 $y$ 之间的每个点都属于 $G$ . 表明 $~$ 是一个等价关系. 令 $I$ 是其等价类的集合.)

第1.1.2节测度空间

我希望我们已经准备好迎来第二个定义了, 这个定义是此专著所有工作之基础.

1.1.2.B. 评注.

$\infty$ 的使用: 在以上定义的iii之中, 我声明μ是一个取值于 $[0, \infty]$ 之中的函数, 此即由非负实数构成的集合但又加入了 $\infty$ . 我期望你已经在分析学中遇到对于符号∞的各种各样的运用了; 我希望你意识到这个符号在不同的上下文之中有着相当不同的意思, 而每次使用都有必要建立清晰的约定. 测度的 $\infty$ 对应于无限长度或者面积或者体积的概念. 我们需要于其上执行的基本操作是加法: 对于a∈[0,∞[ (也就是对于每个实数a≥0), ∞+a=a+∞=∞, 另外∞+∞=∞. 这将[0,∞]渲染为了一个加法下的半群. 声明对于每个a∈ℝ都有∞−a=∞是相当安全的; 但是我们必须绝对抵制解释公式∞−∞. 至于乘法, 实际上对于a>0而言通常将公式∞⋅∞, a⋅∞, ∞⋅a都解释为∞是正确的, 而一般来说0⋅∞=∞⋅0可以取为0.
[0,∞]上我们也有一个自然的全序, 对于每个a∈[a,∞[记a<∞. 这给出了[0,∞]的任意(非空)子集的上确界和下确界的想法; 并且将inf⁡∅解释为∞常常是正确的, 但是每次相关情况时我都将尽量提示读者以这条特别的约定. 我们也有极限的概念; 如果⟨un⟩n∈ℕ是[0,∞]中的一个序列, 那么其收敛至u∈[0,∞], 如果
- 对于每个 $v < u$ , 存在一个 $n_{0} \in ℕ$ 使得对于每个 $n \geq n_{0}$ 都有 $v \leq u_{n}$ ;
- 对于每个 $v > u$ , 存在一个 $n_{0} \in ℕ$ 使得对于每个 $n \geq n_{0}$ 都有 $v \geq u_{n}$ .
当然, 如果u=0或者u=∞, 其中之一的条件将虚空地成立.
我应该平淡地言称何谓不相交序列: 一个序列 ${⟨ E_{n} ⟩}_{n \in ℕ}$ 是不相交的 (disjoint), 如果没有点属于超过一个 $E_{n}$ , 即对于所有不同的 $m, n \in ℕ$ 有 $E_{m} \cap E_{n} = \emptyset$ . 注意这里我们并没有阻止 $E_{n}$ 中的一个或者多个为空集.
类似地, 如果 ${⟨ E_{i} ⟩}_{i \in I}$ 是由一个任意的集合 $I$ 所索引的集合族, 那么其为不相交的, 如果对于所有不同的 $i, j \in I$ 有 $E_{i} \cap E_{j} = \emptyset$ .
在解释以上定义的iii的 $β$ 部分时, 我们需要对于 $[0, \infty]$ 中的任意序列 ${⟨ u_{n} ⟩}_{n \in ℕ}$ 为和 $\sum_{n = 0}^{\infty} u_{n}$ 赋值. 自然的方法是言称 $\sum_{n = 0}^{\infty} u_{n} = lim_{n \to \infty} \sum_{m = 0}^{n} u_{m}$ , 这也要用到a里所草绘之定义. 如果 $u_{m}$ 的其中一个本身就是无限的, 例如 $u_{k} = \infty$ , 那么对于每个 $n \geq k$ 都有 $\sum_{m = 0}^{n} u_{m} = \infty$ , 故当然 $\sum_{n = 0}^{\infty} u_{n} = \infty$ . 如果所有的 $u_{m}$ 都是有限的, 鉴于它们都是非负的, 部分和序列 ${⟨ \sum_{m = 0}^{n} u_{m} ⟩}_{n \in ℕ}$ 是单调非降的, 要么其具有一个有限的极限 $\sum_{n = 0}^{\infty} u_{n} \in ℝ$ , 要么其发散至 $\infty$ ; 在后一种情况下我们又一次将 $\sum_{n = 0}^{\infty} u_{n}$ 解释为了 $\infty$ .
又一次, 测度空间的重要例子要等到之后的第1.1.4节和第1.1.5节. 然而, 现在我就可以描述特定的一类测度空间, 其总应该铭记在心, 尽管它没有为这个主题最重要也最有趣的部分提供良好的图景. 令 $X$ 是任意的集合, 并且令 $h : X \to [0, \infty]$ 是任意的函数. 对于每个 $E \subseteq X$ 我们记 $μ E = \sum_{x \in E} h (x)$ . 为了解释这个和, 首先注意到对于有限的集合 $E$ 而言这是没有困难的 (令 $\sum_{x \in \emptyset} h (x) = 0$ ), 而对于无限的集合 $E$ , 我们可以取 $\sum_{x \in E} h (x) = \sup {\sum_{x \in I} h (x) | I \subseteq E 有限}$ , 因为每个 $h (x)$ 都是非负的. (你第一次可能更倾向于思考 $X = ℕ$ 的情况, 那么 $\sum_{n \in E} h (n) = lim_{n \to \infty} \sum_{m \in E, m \leq n} h (m)$ ; 但是我希望通过些许思考你会发现一般情形, 即便 $X$ 甚至可以不可数, 实际上也并不更加困难.) 现在 $(X, P X, μ)$ 是一个测度空间.
我们离准备好用于描述各种不同的测度空间的专门语汇还非常遥远, 但是到时候我将会称这种测度为点支撑的 (point-supported).
两种特定情形经常出现, 以至于值得赋予名字. 如果对于每个 $x \in X$ 有 $h (x) = 1$ , 那么 $μ E$ 在 $E$ 有限的情况下不过就是 $E$ 的点的数目, 而若 $E$ 无限 $μ E$ 则为 $\infty$ . 我们称其为 $X$ 上的计数测度. 如果 $x_{0} \in X$ , 那么我们可以置 $h (x_{0}) = 1$ 而对于 $x \in X \ {x_{0}}$ 则令 $h (x) = 0$ ; 然后就有若 $x_{0} \in E$ 则 $μ (E) = 1$ , 否则就为 $0$ . 我们称其为集于 $x_{0}$ 处的 $X$ 上的Dirac测度. 再举一个简单例子, 令 $X = ℕ$ 而 $h (n) = 2^{- (n + 1)}$ ; 然后有 $μ X = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \dots = 1$ .
如果 $(X, Σ, μ)$ 是一个测度空间, 那么 $Σ$ 是 $μ$ 的定义域而 $X$ 是 $Σ$ 的最大成员. 因此, 我们可以通过其最后的分量 $μ$ 来还原整个三元组 $(X, Σ, μ)$ . 这个阶段还不值得玩这种游戏. 然而, 有时引入一个测度而不立即为其定义域取名也是很方便的, 而当我这么做了的时候我或许会说 $μ$ 测度了 $E$ 或者 $E$ 由 $μ$ 所测度来表明 $μ E$ 有定义, 即 $E$ 属于 $σ$ -代数 $dom μ$ . 警告! 许多作者使用术语 $μ$ -可测集合来指代和我这里所正在讨论的有些许不同的东西.

证明.

置 $E_{0} = E$ , $E_{1} = F$ , 而 $n \geq 2$ 时 $E_{n} = \emptyset$ ; 那么 ${⟨ E_{n} ⟩}_{n \in ℕ}$ 是 $Σ$ 中的一个不相交序列, 而 $⋃_{n \in ℕ} E_{n} = E \cup F$ , 于是 $μ (E \cup F) = \sum_{n = 0}^{\infty} μ E_{n} = μ E + μ F$ 鉴于 $μ \emptyset = 0$ .
鉴于 $F \ E \in Σ$ (见1.1.1.D的c) 和 $μ (F \ E) \geq 0$ (因为 $μ$ 的值一定在 $[0, \infty]$ 之中), 我们有 (使用a) $μ F = μ E + μ (F \ E) \geq μ E .$
根据a得到 $μ (E \cup F) = μ E + μ (F \ E)$ , 根据b得到 $μ (F \ E) \leq μ F$ .
置 $F_{0} = E_{0}$ , 而 $n \geq 1$ 时 $F_{n} = E_{n} \ ⋃_{i < n} E_{i}$ ; 那么 ${⟨ F_{n} ⟩}_{n \in ℕ}$ 是 $Σ$ 中的一个不相交序列, 并且有 $⋃_{n \in ℕ} F_{n} = ⋃_{n \in ℕ} E_{n}$ 和对于每个 $n$ , $F_{n} \subseteq E_{n}$ . 根据以上的b, 对于每个 $n$ 有 $μ F_{n} \leq μ E_{n}$ ; 于是 $μ (⋃_{n \in ℕ} E_{n}) = μ (⋃_{n \in ℕ} F_{n}) = \sum_{n = 0}^{\infty} μ F_{n} \leq \sum_{n = 0}^{\infty} μ E_{n} .$
置 $F_{0} = E_{0}$ , 而 $n \geq 1$ 时 $F_{n} = E_{n} \ E_{n - 1}$ ; 那么 ${⟨ F_{n} ⟩}_{n \in ℕ}$ 是 $Σ$ 中的不相交序列, 并且 $⋃_{n \in ℕ} F_{n} = ⋃_{n \in ℕ} E_{n}$ . 因此, $μ (⋃_{n \in ℕ} E_{n}) = \sum_{n = 0}^{\infty} μ F_{n}$ . 不过, 根据 $n$ 上的简单归纳, 其中归纳步骤要使用a, 可以证明 $μ E_{n} = \sum_{m = 0}^{n} μ F_{m}$ , 故 $\sum_{n = 0}^{\infty} μ F_{n} = lim_{n \to \infty} \sum_{m = 0}^{n} μ F_{m} = lim_{n \to \infty} μ E_{n} .$ 最后, 根据b可知 ${⟨ μ E_{n} ⟩}_{n \in ℕ}$ 是非降的, 故 $lim_{n \to \infty} μ E_{n} = \sup_{n \in ℕ} μ E_{n}$ .
设 $μ E_{k} < \infty$ . 对于 $n \in ℕ$ , 置 $F_{n} = E_{k} \ E_{k + n}$ , 然后令 $F = ⋃_{n \in ℕ} F_{n}$ ; 那么 ${⟨ F_{n} ⟩}_{n \in ℕ}$ 是 $Σ$ 中的一个非降序列, 于是根据e有 $μ F = lim_{n \to \infty} μ F_{n}$ . 另外, $μ F_{n} + μ E_{k + n} = μ E_{k}$ ; 鉴于 $μ E_{k} < \infty$ , 我们可以安全地写下 $μ F_{n} = μ E_{k} - μ E_{k + n}$ , 于是 $μ F = lim_{n \to \infty} (μ E_{k} - μ E_{k + n}) = μ E_{k} - lim_{n \to \infty} μ E_{n}$ 接着, 因为 $F \subseteq E_{k}$ , 故 $μ F + μ (E_{k} \ F) = μ E_{k}$ , 于是 (又因为 $μ E_{k}$ 有限) $μ F = μ E_{k} - μ (E_{k} \ F)$ . 因此, 我们必然有 $μ (E_{k} \ F) = lim_{n \to \infty} μ E_{n}$ . 但是, $E_{k} \ F$ 正是 $⋂_{n \in ℕ} E_{n}$ .
最后, 因为 ${⟨ μ E_{n} ⟩}_{n \in ℕ}$ 是非升的, 所以有 $lim_{n \to \infty} μ E_{n} = \inf_{n \in ℕ} μ E_{n}$ .

◻

评注. 观察到上述的f中条件存在某个

μ E_{n}

有限是本质性的. {译注: 原文似乎有笔误, 已修正.}

1.1.2.D. 可忽略集合. 令

(X, Σ, μ)

是任意的测度空间.

一个集合 $A \subseteq X$ 是可忽略的 (或者说null), 如果存在一个集合 $E \in Σ$ 满足 $A \subseteq E$ 且 $μ E = 0$ . (若是对于涉及的是哪一个测度存疑, 我会写下 $μ$ -可忽略的.)
令 $N$ 是 $X$ 的可忽略子集的族, 那么i. $\emptyset \in N$ . ii. 如果 $A \subseteq B \in N$ , 那么 $A \in N$ . iii. 如果 ${⟨ A_{n} ⟩}_{n \in ℕ}$ 是 $N$ 中的任意序列, 那么 $⋃_{n \in ℕ} A_{n} \in N$ . $P$ i. $μ \emptyset = 0$ . ii. 存在一个 $E \in Σ$ 满足 $μ E = 0$ 且 $B \subseteq E$ ; 现在 $A \subseteq E$ . iii. 对于每个 $n \in ℕ$ , 选择一个 $E_{n} \in Σ$ 满足 $A_{n} \subseteq E_{n}$ 且 $μ E_{n} = 0$ . 现在 $E = ⋃_{n \in ℕ} E_{n} \in Σ$ 而 $⋃_{n \in ℕ} A_{n} \subseteq ⋃_{n \in ℕ} E_{n}$ , 并且根据1.1.2.C的d有 $μ (⋃_{n \in ℕ} E_{n}) \leq \sum_{n = 0}^{\infty} μ E_{n}$ , 故 $μ (⋃_{n \in ℕ} E_{n}) = 0$ . $Q$
我将称 $N$ 为 $μ$ 的零理想 (null ideal). (满足这里条件i-iii的一个集族被称为一个集合的 $σ$ -理想.)
一个集合 $A \subseteq X$ 是余可忽略的, 如果 $X \ A$ 是可忽略的; 换言之, 存在一个可测集合 $E \subseteq A$ 使得 $μ (X \ E) = 0$ . 注意到i. $X$ 是余可忽略的. ii. 如果 $A \subseteq B \subseteq X$ 而 $A$ 是余可忽略的, 那么 $B$ 是余可忽略的. iii. 如果 ${⟨ A_{n} ⟩}_{n \in ℕ}$ 是余可忽略集合的序列, 那么 $⋂_{n \in ℕ} A_{n}$ 是余可忽略的.
使用一些和可忽略集合相关的非形式化语言是方便的, 而且这也是一种惯例. 如果 $P (x)$ 是某个可以应用于集合 $X$ 的元素 $x$ 的断言, 我们称 $对于几乎每个 x \in X 都有 P (x)$ 或者 $P (x) a.e. (x)$ 或者 $P 几乎处处(成立)$ 或者 $P a.e.$ 或者, 若有必要刻画所牵涉的测度, 那么 $对于 μ -几乎每个 x 都有 P (x)$ 或者 $P (x) μ -a.e. (x)$ 或者 $P μ -a.e.$ 以陈述 ${x | x \in X, P (x)}$ 在 $X$ 中是余可忽略的这一事实. 换言之, 即 ${x | x \in X, P (x) 为假}$ 是可忽略的. 例如, 若 $f : X \to ℝ$ 是一个函数, 那么 $f > 0$ a.e.的含义是 ${x | f (x) \leq 0}$ 是可忽略的.
我应该提请你注意到这一事实, 根据我们的定义, 一个可忽略集合自身不必是可测的, 尽管其必然囊括于某个可测的可忽略集合之中. (如果一个测度空间的所有可忽略集合都是可测的, 那么其就被称为完备的. 我们将于第2.1.1节回到这个问题上来.)
当 $f$ 和 $g$ 是定义在某个测度空间的余可忽略子集上的实值函数时, 我们分别记 $f =_{a.e.} g$ , $f \leq_{a.e.} g$ , $f \geq_{a.e.} g$ 来表示 $f = g a.e., 即 {x | x \in dom f \cap dom g, f (x) = g (x)} 是余可忽略的$ $f \leq g a.e., 即 {x | x \in dom f \cap dom g, f (x) \leq g (x)} 是余可忽略的$ $f \geq g a.e., 即 {x | x \in dom f \cap dom g, f (x) \geq g (x)} 是余可忽略的$

第1.1.3节外测度和Carathéodory构造

1.1.3.B. 评注.

和之前一样的是, 最重要的外测度需要等到第1.1.4节和第1.1.5节. 一个集合 $A$ 的外测度的理念在于其应该是 $A$ 的可能的测度的某种上界. 如果我们足够幸运, 或许外测度实际上就是 $A$ 的测度; 但是这一般只是对于拥有足够光滑的边界的集合成立.
将定义的i和iii连在一起看, 我们会发现如果 $θ$ 是 $X$ 上的一个外测度而 $A, B$ 是 $X$ 的两个子集, 那么 $θ (A \cup B) \leq θ A + θ B$ ; 请将其与1.1.2.C的a和c进行比较.

证明.

第一步是注意到对于任何 $E, A \subseteq X$ , 根据1.1.3.B的c, 我们有 $θ (A \cap E) + θ (A \ E) \geq θ A$ ; 于是 $Σ = {E | E \subseteq X, 对于每个 A \subseteq X, 都有 θ A \geq θ (A \cap E) + θ (A \ E)}$
显然 $\emptyset \in Σ$ , 因为 $θ (A \cap \emptyset) + θ (A \ \emptyset) = θ \emptyset + θ A = θ A$ 对于每个 $A \subseteq X$ 都成立. 如果 $E \in Σ$ , 那么 $X \ E \in Σ$ , 因为 $θ (A \cap (X \ E)) + θ (A \ (X \ E)) = θ (A \ E) + θ (A \cap E) = θ A$ 对于每个 $A \subseteq X$ 都成立.
现在设 $E, F \in Σ$ 而 $A \subseteq X$ , 那么 $\begin{array}{rcl} θ (A \cap (E \cup F)) + θ (A \ (E \cup F)) & = & θ ((A \cap (E \cup F)) \cap E) + θ ((A \cap (E \cup F)) \ E) + θ (A \ (E \cup F)) \\ = & θ (A \cap E) + θ ((A \ E) \cap F) + θ ((A \ E) \ F) \\ = & θ (A \cap E) + θ (A \ E) \\ = & θ A \end{array}$ 鉴于 $A$ 是任意的, 故 $E \cup F \in Σ$ .
因此, $Σ$ 在简单并和补下封闭, 并且包含 $\emptyset$ . 现在设 ${⟨ E_{n} ⟩}_{n \in ℕ}$ 是 $Σ$ 中的一个序列, 并且 $E = ⋃_{n \in ℕ} E_{n}$ , 置 $G_{n} = ⋃_{m \leq n} E_{m};$ 那么根据 $n$ 上的归纳, 对于每个 $n \in ℕ$ 有 $G_{n} \in Σ$ . 置 $F_{0} = G_{0} = E_{0}, F_{n} = G_{n} \ G_{n - 1} = E_{n} \ G_{n - 1} for n \geq 1;$ 那么 $E = ⋃_{n \in ℕ} F_{n} = ⋃_{n \in ℕ} G_{n}$ .
取任意的 $n \geq 1$ 和任意的 $A \subseteq X$ , 那么 $\begin{array}{rcl} θ (A \cap G_{n}) & = & θ (A \cap G_{n} \cap G_{n - 1}) + θ (A \cap G_{n} \ G_{n - 1}) \\ = & θ (A \cap G_{n - 1}) + θ (A \cap F_{n}) \end{array}$ 在 $n$ 上施行归纳可以表明对于每个 $n \geq 0$ 都有 $θ (A \cap G_{n}) = \sum_{m = 0}^{n} θ (A \cap F_{m}) .$ 设 $A \subseteq X$ , 那么 $A \cap E = ⋃_{n \in ℕ} A \cap F_{n}$ , 于是 $\begin{array}{rcl} θ (A \cap E) & \leq & \sum_{n = 0}^{\infty} θ (A \cap F_{n}) \\ = & lim_{n \to \infty} \sum_{m = 0}^{n} θ (A \cap F_{m}) \\ = & lim_{n \to \infty} θ (A \cap G_{n}) \end{array}$ 另一方面, 我们有 $\begin{array}{rcl} θ (A \ E) & = & θ (A \ ⋃_{n \in ℕ} G_{n}) \\ \leq & \inf_{n \in ℕ} θ (A \ G_{n}) \\ = & lim_{n \to \infty} θ (A \ G_{n}) \end{array}$ 这里我们用到了1.1.3.A的ii以看出 ${⟨ θ (A \ G_{n}) ⟩}_{n \in ℕ}$ 是一个非升序列, 以及对于每个 $n$ 有 $θ (A \ E) \leq θ (A \ G_{n}) .$ 由上述结果我们可以得到 $\begin{array}{rcl} θ (A \cap E) + θ (A \ E) & \leq & lim_{n \to \infty} θ (A \cap G_{n}) + lim_{n \to \infty} θ (A \ G_{n}) \\ = & lim_{n \to \infty} (θ (A \cap G_{n}) + θ (A \ G_{n})) \\ = & lim_{n \to \infty} θ A \\ = & θ A \end{array}$ 这里用到了对于每个 $n$ 都有 $G_{n} \in Σ$ , 故对于每个 $n$ 都有 $θ (A \cap G_{n}) + θ (A \ G_{n}) = θ A$ . 鉴于 $A$ 是任意的, 根据以上的a, 我们知道 $E \in Σ$ .
由于 ${⟨ E_{n} ⟩}_{n \in ℕ}$ 是任意的, 所以说1.1.1.A的iii得以满足. 综合以上, $Σ$ 是 $X$ 的子集的一个 $σ$ -代数.
现在让我们将注意力转到 $μ$ , 其为 $θ$ 于 $Σ$ 上的限制. 现在我们根据测度空间的定义来检视 $μ$ 是否合乎要求. 首先, 当然有 $μ \emptyset = θ \emptyset = 0$ . 其次, 令 ${⟨ E_{n} ⟩}_{n \in ℕ}$ 是 $Σ$ 中不相交的序列. 置 $G_{n} = ⋃_{m \leq n} E_{n}$ , 这和d是一样的, 以及令 $E = ⋃_{n \in ℕ} E_{n} = ⋃_{n \in ℕ} G_{n} .$ 基于和d类似的推理, 我们有 $\begin{array}{rcl} μ G_{n + 1} & = & θ G_{n + 1} \\ = & θ (G_{n + 1} \cap E_{n + 1}) + θ (G_{n + 1} \ E_{n + 1}) \\ = & θ E_{n + 1} + θ G_{n} \\ = & μ E_{n + 1} + μ G_{n} \end{array}$ 根据归纳, 可知对于每个 $n$ 有 $μ G_{n} = \sum_{m = 0}^{n} μ E_{m} .$ 既然 $μ E = θ E \leq \sum_{n = 0}^{\infty} θ E_{n} = \sum_{n = 0}^{\infty} μ E_{n}$ 又有对于每个 $n$ 可以推出 $μ E = θ E \geq θ G_{n} = μ G_{n} = \sum_{m = 0}^{n} μ E_{m}$ 那么 $μ E \geq \sum_{n = 0}^{\infty} μ E_{n}$ 最终可以得到 $μ E = \sum_{n = 0}^{\infty} μ E_{n}$ 鉴于 ${⟨ E_{n} ⟩}_{n \in ℕ}$ 是任意的, 所以说1.1.2.A的iii的 $β$ 得以满足, 故 $(X, Σ, μ)$ 是一个测度空间.

◻

1.1.3.D. 评注.

第1.1.4节

ℝ

上的Lebesgue测度

第1.1.5节

ℝ^{r}

上的Lebesgue测度

第1.2章积分

如果你沿着你的大学图书馆的特定书架观察, 你会发现测度和积分就像连体双胞胎一样总是一起出现.

第1.2.1节可测函数

本节我将退后一步以建立和集合的

σ

-代数相关的想法, 沿着第1.1.1节; 除了练习, 这里将不会提及测度. 我们的目的在于建立可测函数的概念以及各种相关技术.

第1卷不可归约的最小

第1.1章测度空间

第1.1.1节 $σ$ -代数

第1.1.2节测度空间

第1.1.3节外测度和Carathéodory构造

第1.1.4节 $ℝ$ 上的Lebesgue测度

第1.1.5节 $ℝ^{r}$ 上的Lebesgue测度

第1.2章积分

第1.2.1节可测函数

第1.2.2节积分的定义

第1.2.3节收敛定理

第1.3章补充内容

第1.3.1节可测子空间

第1.3.2节由测度构造外测度

第1.3.3节更宽泛的积分概念

第1.3.4节更多关于Lebesgue测度的内容

第1.3.5节扩展实轴

第1.3.6节单调类定理

第1.4章附录

第1.4.1节集合论

第1.4.2节 $ℝ^{r}$ 中的开集和闭集

第2卷广阔的基础

第2.1章测度空间的分类学

第2.1.1节定义

第2.1.2节完备空间

第2.1.3节半无限空间, 局部确定空间和可局部化空间

第2.1.4节子空间

第3卷测度代数

第3.1章 Boole代数

第3.1.1节 Boole代数

第3.1.2节同态

第4卷拓扑测度空间

第5卷集合论式测度论

第6卷随机分析

第1卷 不可归约的最小

第1.1章 测度空间

第1.1.1节 σ-代数

第1.1.2节 测度空间

第1.1.3节 外测度和Carathéodory构造

第1.1.4节 ℝ上的Lebesgue测度

第1.1.5节 ℝr上的Lebesgue测度

第1.2章 积分

第1.2.1节 可测函数

第1.2.2节 积分的定义

第1.2.3节 收敛定理

第1.3章 补充内容

第1.3.1节 可测子空间

第1.3.2节 由测度构造外测度

第1.3.3节 更宽泛的积分概念

第1.3.4节 更多关于Lebesgue测度的内容

第1.3.5节 扩展实轴

第1.3.6节 单调类定理

第1.4章 附录

第1.4.1节 集合论

第1.4.2节 ℝr中的开集和闭集

第2卷 广阔的基础

第2.1章 测度空间的分类学

第2.1.1节 定义

第2.1.2节 完备空间

第2.1.3节 半无限空间, 局部确定空间和可局部化空间

第2.1.4节 子空间

第3卷 测度代数

第3.1章 Boole代数

第3.1.1节 Boole代数

第3.1.2节 同态

第4卷 拓扑测度空间

第5卷 集合论式测度论

第6卷 随机分析

第1卷不可归约的最小

第1.1章测度空间

第1.1.1节 $σ$ -代数

第1.1.2节测度空间

第1.1.3节外测度和Carathéodory构造

第1.1.4节 $ℝ$ 上的Lebesgue测度

第1.1.5节 $ℝ^{r}$ 上的Lebesgue测度

第1.2章积分

第1.2.1节可测函数

第1.2.2节积分的定义

第1.2.3节收敛定理

第1.3章补充内容

第1.3.1节可测子空间

第1.3.2节由测度构造外测度

第1.3.3节更宽泛的积分概念

第1.3.4节更多关于Lebesgue测度的内容

第1.3.5节扩展实轴

第1.3.6节单调类定理

第1.4章附录

第1.4.1节集合论

第1.4.2节 $ℝ^{r}$ 中的开集和闭集

第2卷广阔的基础

第2.1章测度空间的分类学

第2.1.1节定义

第2.1.2节完备空间

第2.1.3节半无限空间, 局部确定空间和可局部化空间

第2.1.4节子空间

第3卷测度代数

第3.1.2节同态

第4卷拓扑测度空间

第5卷集合论式测度论

第6卷随机分析