测度论

1.1.1.B. 评注.

几乎所有数学主题的学习都是从定义开始的. 在这个阶段, 没有替代死记硬背的学习方法. 这些定义包裹了诸多人物数年 (有时甚至是数个世纪) 的巧思, 你不能期望它们总是可以与你熟悉的想法对应起来.
然而, 你永远应该立即去寻求使新的定义变得更加具体的方法, 一般是藉由你已有的数学经验寻找例子. 在这里 $σ$ -代数的情况下, 以下所要描述的真正的例子本质上来说是全新的——也就是说, 你需要从根本上阅读本章. 然而, 你应该立即能够想到两个例子, 而之后你应该将这两个例子铭记在心:
1. 对于任意的 $X$ , $Σ = {\emptyset, X}$ 是 $X$ 的子集的一个 $σ$ -代数.
2. 对于任意的 $X$ , $P X$ , 即 $X$ 的所有子集构成的集合, 是 $X$ 的子集的一个 $σ$ -代数.
这些当然是X的子集的σ-代数中最小的和最大的. 而且, 尽管我们不会在这两个例子身上花多少时间, 实际上它们仍然是重要的.
术语可测空间经常用来指代一个序对 $(X, Σ)$ , 其中 $X$ 是一个集合而 $Σ$ 是 $X$ 的子集的一个 $σ$ -代数. 然而, 就我个人而言, 除非时间紧迫, 否则我将避免使用这个术语, 因为实际上这种对象的许多最有趣的例子并无有用的测度与之关联.

1.1.1.C. 无穷并和交. 如果你还没有见过无穷并, 那么值得驻足观察一下式子

⋃_{n \in ℕ} E_{n}

. 这是属于集合

E_{n}

中的一个或多个的点构成的集合; 我们可以将其写为

\begin{array}{rcl} ⋃_{n \in ℕ} E_{n} & = & {x | \exists n \in ℕ, x \in E_{n}} \\ = & E_{0} \cup E_{1} \cup E_{2} \cup \dots \end{array}

(我以

ℕ

代表自然数集

{0, 1, 2, 3, \dots}

.) 以相同的方式, 记

\begin{array}{rcl} ⋂_{n \in ℕ} E_{n} & = & {x | x \in E_{n}, \forall n \in ℕ} \\ = & E_{0} \cap E_{1} \cap E_{2} \cap \dots \end{array}

测度空间的基本理论的一个特征在于, 与你之前的经验相比, 它可能需要更多地利用集合操作

\cup

\cap

\

(集合差:

E \ F = {x | x \in E, x \notin F}

Δ

(对称差:

E Δ F = (E \ F) \cup (F \ E) = (E \cup F) \ (E \cap F)

), 并带有无穷并和交所增添的复杂. 我强烈建议在某个时间点花些时间做一做1.1.1.H的练习a.

1.1.1.D. σ-代数的基本性质. 如果

Σ

是

X

的子集的一个

σ

-代数, 那么其具有以下性质.

对于任意的 $E, F \in Σ$ , $E \cup F \in Σ$ . $P$ 因为如果 $E, F \in Σ$ , 置 $E_{0} = E$ , 而 $n \geq 1$ 时 $E_{n} = F$ , 那么 ${⟨ E_{n} ⟩}_{n \in ℕ}$ 是 $Σ$ 中的一个序列, 而 $E \cup F = ⋃_{n \in ℕ} E_{n} \in Σ$ . $Q$
对于任意的 $E, F \in Σ$ , $E \cap F \in Σ$ . $P$ 根据1.1.1.A的定义之ii, $X \ E \in Σ$ 且 $X \ F \in Σ$ ; 根据本条目之a, $(X \ E) \cup (X \ F) \in Σ$ ; 再次根据1.1.1.A之ii, $X \ ((X \ E) \cup (X \ F)) \in Σ$ ; 但这就是 $E \cap F \in Σ$ . $Q$
对于任意的 $E, F \in Σ$ , $E \ F \in Σ$ . $P$ $E \ F = E \cap (X \ F) \in Σ$ . $Q$
现在设 ${⟨ E_{n} ⟩}_{n \in ℕ}$ 是 $Σ$ 中的一个序列, 并考虑 $\begin{array}{rcl} ⋂_{n \in ℕ} E_{n} & = & {x | x \in E_{n}, \forall n \in ℕ} \\ = & E_{0} \cap E_{1} \cap E_{2} \cap \dots \\ = & X \ ⋃_{n \in ℕ} (X \ E_{n}) \end{array}$ 其也属于 $Σ$ .

1.1.1.E. 更多关于无穷并和交的讨论.

到目前为止, 我们只在由自然数集 $ℕ$ 索引的序列 ${⟨ E_{n} ⟩}_{n \in ℕ}$ 的上下文中考虑了无穷并和交. 在前方的内容中, 诸多其他的形式也会以或多或少自然的方式出现. 例如, 可以考虑具有以下形式的集合 $⋃_{n \geq 4} E_{n} = E_{4} \cup E_{5} \cup E_{6} \cup \dots$ $⋃_{n \in ℤ} E_{n} = {x | \exists n \in ℤ, x \in E_{n}} = \dots \cup E_{- 2} \cup E_{- 1} \cup E_{0} \cup E_{1} \cup E_{2} \cup \dots$ $⋃_{q \in ℚ} E_{q} = {x | \exists q \in ℚ, x \in E_{q}}$ 其中我以 $ℤ$ 代表由所有整数构成的集合, $ℚ$ 代表由所有有理数构成的集合. 如果每个 $E_{n}, E_{q}$ 属于一个 $σ$ -代数 $Σ$ , 那么这些并也属于. 另一方面, 以下情形 $⋃_{t \in [0, 1]} E_{t} = {x | \exists t \in [0, 1], x \in E_{t}}$ 在一个 $σ$ -代数包含每个 $E_{t}$ 的情况下却可能并不属于该 $σ$ -代数. 读者有必要对于特定的指标集建立直觉, 例如 $ℕ, ℤ, ℚ$ , 其在 $σ$ -代数的上下文中是安全的, 也要记得那些并不安全的例子.
我希望你已经见过Cantor关于无限集合的理论了, 那么以下内容不过是对于熟悉材料的重述; 但如果没有, 我希望它可以作为对于这些想法的一个初次但非常不完整的导引. 要义在于, 对于(上一段的)前三个例子而言, 我们可以将所牵涉的集合族重排为简单的集合序列. 对于第一个例子, 这是相当初等的; 对于 $n \in ℕ$ , 令 $E_{n}^{'} = E_{n + 4}$ , 那么可以看到 $⋃_{n \geq 4} E_{n} = ⋃_{n \in ℕ} E_{n}^{'} \in Σ$ . 对于其他两个例子, 我们则需要了解一点关于集合 $ℤ$ 和 $ℚ$ 的知识. 实际上, 我们可以找到整数的序列 ${⟨ k_{n} ⟩}_{n \in ℕ}$ 和有理数的序列 ${⟨ q_{n} ⟩}_{n \in ℕ}$ 使得每个整数都作为一个 $k_{n}$ 出现(至少一次), 而每个有理数都作为一个 $q_{n}$ 出现(至少一次); 换言之, 函数 $n \mapsto k_{n}, ℕ \to ℤ$ 和 $n \mapsto q_{n}, ℕ \to ℚ$ 都是满射的. $P$ 存在许多不同的方式可以达成这点; 其中一种如下, 置 $k_{n} = {\begin{matrix} \frac{n}{2} & , n 为偶数 \\ - \frac{n + 1}{2} & , n 为奇数 \end{matrix}$ $q_{n} = \frac{n - m^{3} - m^{2}}{m + 1}, 如果 m \in ℕ 且 m^{3} \leq n < {(m + 1)}^{3}$ (你应该仔细检查这些公式以确保它们的确能做到我所声明的事情.) $Q$ 现在, 为了处理 $⋃_{n \in ℤ} E_{n}$ , 我们可以对于每个 $n \in ℕ$ 置 $E_{n}^{'} = E_{k_{n}} \in Σ$ 那么就有 $⋃_{n \in ℤ} E_{n} = ⋃_{n \in ℕ} E_{k_{n}} = ⋃_{n \in ℕ} E_{n}^{'} \in Σ$ 如法炮制, 我们也有 $⋃_{q \in ℚ} E_{q} = ⋃_{n \in ℕ} E_{q_{n}} \in Σ$ 注意到第一个例子 $⋃_{n \geq 4} E_{n}$ 也可以想成是相同原理的一个应用; 映射 $n \mapsto n + 4$ 是从 $ℕ$ 到 ${4, 5, 6, 7, \dots}$ 的一个满射.

1.1.1.F. 可数集合.

集合 ${n | n \geq 4}$ , $ℤ$ , $ℚ$ 使得这样的过程能够成立的共同特征在于它们都是可数的.

1.1.1.G. Borel集合. 这里我可以描述一类非平凡的

σ

-代数; 其构造是抽象的, 但是这样的技术是重要的, 并且这个术语也是测度论的基本词汇的一部分.

令X是一个集合, 令S是任意的X的子集的σ-代数的非空的族. (因此, S的每个成员本身就是一个集合的族; S⊆P⁡(P⁡X).) 那么⋂S={E|E∈Σ,∀Σ∈S}即所有属于S的σ-代数之交, 是X的子集的一个σ-代数. P
1. 根据假设, $S$ 非空; 取 $Σ_{0} \in S$ ; 那么 $⋂ S \subseteq Σ_{0} \subseteq P X$ , 故 $⋂ S$ 的每个成员都是 $X$ 的一个子集.
2. 因为对于每个 $Σ \in S$ , $\emptyset \in Σ$ , 故 $\emptyset \in ⋂ S$ .
3. 如果 $E \in ⋂ S$ , 那么对于每个 $Σ \in S$ 有 $E \in Σ$ , 故对于每个 $Σ \in S$ 有 $X \ E \in Σ$ , 因而 $X \ E \in ⋂ S$ .
4. 令 ${⟨ E_{n} ⟩}_{n \in ℕ}$ 是 $⋂ S$ 中的任意序列, 那么对于每个 $Σ \in S$ , ${⟨ E_{n} ⟩}_{n \in ℕ}$ 都是 $Σ$ 中的一个序列, 故 $⋃_{n \in ℕ} E_{n} \in Σ$ ; 鉴于 $Σ$ 是任意的, 所以 $⋃_{n \in ℕ} E_{n} \in ⋂ S$ . $Q$
现在令A是任意的一个X的子集的族, 考虑S={Σ|Σ是X的子集的一个σ-代数, 而且A⊆Σ}.根据定义, S是X的子集的σ-代数的一个族; 而且, 其是非空的, 因为P⁡X∈S. 因此, ΣA=⋂S是X的子集的一个σ-代数. 鉴于对于每个Σ∈S都有A⊆Σ, A⊆ΣA; 因此, ΣA自身就属于S; 其为包含A的最小的X的子集的σ-代数. 我们称ΣA是由 $A$ 生成的X的子集的σ-代数. 以下是两个例子.
1. 对于任意的集合 $X$ , 由 $\emptyset$ 生成的 $X$ 的子集的 $σ$ -代数为 ${\emptyset, X}$ .
2. 由 ${{n} | n \in ℕ}$ 生成的 $ℕ$ 的子集的 $σ$ -代数是 $P ℕ$ .
1. 我们称一个集合 $G \subseteq ℝ$ 是开的, 如果对于每个 $x \in G$ , 存在 $δ > 0$ 使得开区间 $] x - δ, x + δ [$ 被包含于 $G$ .
2. 类似地, 对于任意的 $r \geq 1$ , 我们称一个集合 $G \subseteq ℝ^{r}$ 在 $ℝ^{r}$ 中是开的, 如果对于每个 $x \in G$ , 存在 $δ > 0$ 使得 ${y | ‖ y - x ‖ < δ} \subseteq G$ , 其中对于 $z = (ζ_{1}, \dots, ζ_{r}) \in ℝ^{r}$ , 我记 $‖ z ‖ = \sqrt{\sum_{i = 1}^{r} {| ζ_{i} |}^{2}}$ ; 因此, $‖ y - x ‖$ 不过就是从 $y$ 到 $x$ 的通常的Euclid距离.
现在 $ℝ$ 的Borel集合不过就是由 $ℝ$ 的所有开集构成的族所生成的 $ℝ$ 的子集的 $σ$ -代数的成员; $σ$ -代数本身则被称为Borel $σ$ -代数. $ℝ^{r}$ 的Borel集合和Borel $σ$ -代数以类似的方式定义.
一些读者可能会感到这里的构建并没有给出一个Borel集合到底长什么样子的想法. (开集要远为简单; 见1.1.1.I的练习e.) 实际上, 这个概念的重要性在很大程度上来源于存在另外更加显式且在某种意义上更加具体的描述Borel集合的方式. 我将于第4卷的第4.2章回到这个话题上来.

1.1.1.H. 基本练习.

练习无穷并和交的代数, 直至你能够自信地解释诸如

1.1.1.I. 深入练习.

在 $ℝ^{r}$ 中, 其中 $r \geq 1$ , 表明当 $G \subseteq ℝ^{r}$ 是开的且 $a \in ℝ^{r}$ 时, $G + a = {x + a | x \in G}$ 也是开的. 基于这个结果, 证明当 $E \subseteq ℝ^{r}$ 是一个Borel集合且 $a \in ℝ^{r}$ 时, $E + a$ 也是一个Borel集合. (提示: 表明 ${E | E + a 是一个Borel集合}$ 是一个包含所有开集的 $σ$ -代数.)
令 $X$ 是一个集合, $Σ$ 是一个 $X$ 的子集的 $σ$ -代数, 而 $A$ 是 $X$ 的任意一个子集. 证明 ${(E \cap A) \cup (F \ A) | E, F \in Σ}$ 是一个 $X$ 的子集的 $σ$ -代数, 而且是由 $Σ \cup {A}$ 生成的 $σ$ -代数.
令 $G \subseteq ℝ^{2}$ 是一个开集. 证明 $G$ 的所有水平截线和垂直截线 ${ξ | (ξ, η) \in G}, {ξ | (η, ξ) \in G}$ 都是 $ℝ$ 的开子集.
令 $E \subseteq ℝ^{2}$ 是一个Borel集合. 证明 $E$ 的所有水平截线和垂直截线 ${ξ | (ξ, η) \in E}, {ξ | (η, ξ) \in E}$ 都是 $ℝ$ 的Borel子集. (提示: 证明由所有截线均为Borel集合的 $ℝ^{2}$ 的子集构成的族是一个包含所有开集的 $ℝ^{2}$ 的子集的 $σ$ -代数.)
令 $G \subseteq ℝ$ 是一个开集.

1.1.1.J. 注记和评论.

第1.1.2节测度空间

我希望我们已经准备好迎来第二个定义了, 这个定义是此专著所有工作之基础.

1.1.2.C. 测度空间的基本性质. 令

(X, Σ, μ)

是一个测度空间.

如果 $E, F \in Σ$ 且 $E \cap F = \emptyset$ , 那么 $μ (E \cup F) = μ E + μ F$ .
如果 $E, F \in Σ$ 且 $E \subseteq F$ , 那么 $μ E \leq μ F$ .
对于任意的 $E, F \in Σ$ , $μ (E \cup F) \leq μ E + μ F$ .
如果 ${⟨ E_{n} ⟩}_{n \in ℕ}$ 是 $Σ$ 中任意的序列, 那么 $μ (⋃_{n \in ℕ} E_{n}) \leq \sum_{n = 0}^{\infty} μ E_{n}$ .
如果 ${⟨ E_{n} ⟩}_{n \in ℕ}$ 是 $Σ$ 中的一个非降序列 (也就是说, 对于每个 $n \in ℕ$ , $E_{n} \subseteq E_{n + 1}$ ), 那么 $μ (⋃_{n \in ℕ} E_{n}) = lim_{n \to \infty} μ E_{n} = \sup_{n \in ℕ} μ E_{n} .$
如果 ${⟨ E_{n} ⟩}_{n \in ℕ}$ 是 $Σ$ 中的一个非升序列 (也就是说, 对于每个 $n \in ℕ$ , $E_{n + 1} \subseteq E_{n}$ ), 并且某个 $μ E_{n}$ 是有限的, 那么 $μ (⋂_{n \in ℕ} E_{n}) = lim_{n \to \infty} μ E_{n} = \inf_{n \in ℕ} μ E_{n} .$

第1卷不可归约的最小

第1.1章测度空间

第1.1.1节 $σ$ -代数

第1.1.2节测度空间

第1.1.3节外测度和Carathéodory构造

第2卷广阔的基础

第3卷测度代数

第4卷拓扑测度空间

第5卷集合论式测度论

第6卷随机分析

第1卷 不可归约的最小

第1.1章 测度空间

第1.1.1节 σ-代数

第1.1.2节 测度空间

第1.1.3节 外测度和Carathéodory构造

第2卷 广阔的基础

第3卷 测度代数

第4卷 拓扑测度空间

第5卷 集合论式测度论

第6卷 随机分析

第1卷不可归约的最小

第1.1章测度空间

第1.1.1节 $σ$ -代数

第1.1.2节测度空间

第1.1.3节外测度和Carathéodory构造

第2卷广阔的基础

第3卷测度代数

第4卷拓扑测度空间

第5卷集合论式测度论

第6卷随机分析