测度论

1.1.1.A. 定义. 令

X

是一个集合. 一个 $X$ 的子集的 $σ$ -代数 (有时也被称为 $σ$ -域) 是一个

X

的子集的族

Σ

, 满足

1.1.1.B. 评注.

几乎所有数学主题的学习都是从定义开始的. 在这个阶段, 没有替代死记硬背的学习方法. 这些定义包裹了诸多人物数年 (有时甚至是数个世纪) 的巧思, 你不能期望它们总是可以与你熟悉的想法对应起来.
然而, 你永远应该立即去寻求使新的定义变得更加具体的方法, 一般是藉由你已有的数学经验寻找例子. 在这里 $σ$ -代数的情况下, 以下所要描述的真正的例子本质上来说是全新的——也就是说, 你需要从根本上阅读本章. 然而, 你应该立即能够想到两个例子, 而之后你应该将这两个例子铭记在心:
1. 对于任意的 $X$ , $Σ = {\emptyset, X}$ 是 $X$ 的子集的一个 $σ$ -代数.
2. 对于任意的 $X$ , $P X$ , 即 $X$ 的所有子集构成的集合, 是 $X$ 的子集的一个 $σ$ -代数.
这些当然是X的子集的σ-代数中最小的和最大的. 而且, 尽管我们不会在这两个例子身上花多少时间, 实际上它们仍然是重要的.
术语测度空间总是用来指代一个序对 $(X, Σ)$ , 其中 $X$ 是一个集合而 $Σ$ 是 $X$ 的子集的一个 $σ$ -代数. 然而, 就我个人而言, 除非时间紧迫, 否则我将避免使用这个术语, 因为实际上这种对象的许多最有趣的例子并无有用的测度与之关联.

1.1.1.D. σ-代数的基本性质. 如果

Σ

是

X

的子集的一个

σ

-代数, 那么其具有以下性质.

对于任意的 $E, F \in Σ$ , $E \cup F \in Σ$ . $P$ 因为如果 $E, F \in Σ$ , 置 $E_{0} = E$ , 而 $n \geq 1$ 时 $E_{n} = F$ , 那么 ${⟨ E_{n} ⟩}_{n \in ℕ}$ 是 $Σ$ 中的一个序列, 而 $E \cup F = ⋃_{n \in ℕ} E_{n} \in Σ$ . $Q$
对于任意的 $E, F \in Σ$ , $E \cap F \in Σ$ . $P$ 根据1.1.1.A的定义之ii, $X \ E \in Σ$ 且 $X \ F \in Σ$ ; 根据本条目之a, $(X \ E) \cup (X \ F) \in Σ$ ; 再次根据1.1.1.A之ii, $X \ ((X \ E) \cup (X \ F)) \in Σ$ ; 但这就是 $E \cap F \in Σ$ . $Q$
对于任意的 $E, F \in Σ$ , $E \ F \in Σ$ . $P$ $E \ F = E \cap (X \ F) \in Σ$ . $Q$
现在设 ${⟨ E_{n} ⟩}_{n \in ℕ}$ 是 $Σ$ 中的一个序列, 并考虑 $\begin{array}{rcl} ⋂_{n \in ℕ} E_{n} & = & {x | x \in E_{n} \forall n \in ℕ} \\ = & E_{0} \cap E_{1} \cap E_{2} \cap \dots \\ = & X \ ⋃_{n \in ℕ} (X \ E_{n}) \end{array}$ 其也属于 $Σ$ .

第1卷不可归约的最小