无点拓扑笔记

第1章 空间和开集格

我们的意图在于尽可能地忘掉关于空间的点的事情. 转而, 我们想要与places of non-trivial extent打交道.

为了开始, 让我们想象由一个开集系统给出的一个标准拓扑空间. 现在回忆一下经典Euclid几何, 其中我们将一条直线$p$视为一个基本实体, 而不是与$p$接触的那些点构成的集合, 我们也要试着用类似的方式来看待我们的空间: 将开集$U$视为基本实体, 而坐落于$U$之内的点视为另一种类型的实体, 其以某种方式与$U$接触.

在这简短的一章里, 我们将会讨论这样的问题, 即究竟从开集的抽象结构之中可以还原多少关于空间本身的信息. 实际上, 对于很多空间 (例如$T_1$空间), 什么信息也不会丢失.

让我们从现在开始进行约定, 从此往后, 默认

所有讨论的空间都是$T_0$的

这个阶段所有我们想要告诉读者的东西都包含在第1-3节里了. 第4节包含了关于某个特别的拓扑性质的一些技术性事实. 我们在这里写下第4节的原因在于否则的话, 这些事实就要散布于之后的文本里了, 尽管它们最好一起处理. 暂时读者应该跳过第4节, 而在之后需要时本书肯定会回顾其内容.

第1.1节 sober空间

第1.1.1小节

在开集格$\mathrm{\Omega }(X)$之中, 具有形式$$X\setminus \overline{\{x\}}$$的元素具有以下性质:

如果$U\cap V\subseteq X\setminus \overline{\{x\}}$, 那么$U\subseteq X\setminus \overline{\{x\}}$或者$V\subseteq X\setminus \overline{\{x\}}$成立. (的确如此, 我们不得不有$x\notin U$或者$x\notin V$, 比如说第一种情况成立, 那么$x\in X\setminus U$, 因而$\overline{\{x\}}\subseteq X\setminus U$, 故$U\subseteq X\setminus \overline{\{x\}}$.)

这通常被表述为它们是meet不可归约的开集 (而读者可以看出如果我们将交集视为某种乘法, 那么这些开集表现得就像素数一样).

一个空间$X$被称为是sober的, 如果$\mathrm{\Omega }(X)$之中没有除了$X$之外的meet不可归约开集.

第1.1.2小节 注记

Grothendieck所陈述的原始定义是基于闭集的语言表达的: 一个($T_0$)空间是sober的, 如果点闭包$\overline{\{x\}}$恰为join不可归约闭集. 这种表述或许更加简单, 但是我们的兴趣在于开集格.