无穷级数的理论和应用

定义24.

序列 $(x_{n})$ 被称为有界的, 如果存在常数 $K$ 满足不等式 $| x_{n} | \leq K$ 对于每个 $n$ 均成立.
序列 $(x_{n})$ 被称为单调递增的, 如果 $x_{n} \leq x_{n + 1}$ 对于每个 $n$ 均成立; 单调递减的, 如果 $x_{n} \geq x_{n + 1}$ 对于每个 $n$ 均成立.

定义25. 序列

(x_{n})

被称为趋零序列 (null sequence), 如果对于任意正数

ε

的选择, 总能找到

n_{0} = n_{0} (ε)

, 满足不等式

| x_{n} | < ε

对于每个

n > n_{0}

成立.

定理26. 如果

(x_{n})

是一个趋零序列, 并且另一个序列

(x_{n}^{'})

的项, 对于大于特定的

m

的每个

n

满足条件

| x_{n}^{'} | \leq | x_{n} |

, 或者更一般的条件

| x_{n}^{'} | \leq K \cdot | x_{n} |,

其中

K

是一个任意(但固定)的正数, 那么

(x_{n}^{'})

也是一个趋零序列. (比较测试.)

定理. 如果

(x_{n})

是一个趋零序列, 而

(a_{n})

是任意的有界序列, 那么由

x_{n}^{'} = a_{n} x_{n}

定义的序列是趋零的.

第8节收敛序列

极限的Cauchy定理及其推广

定理4. 令

(x_{0}, x_{1}, \dots)

是一个趋零序列, 设系统

\begin{array}{l} a_{0, 0} \\ a_{1, 0} & a_{1, 1} \\ a_{2, 0} & a_{2, 1} & a_{2, 2} \\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ a_{n, 0} & a_{n, 1} & a_{n, 2} & \dots & a_{n, n} \\ \dots & \dots & \dots & \dots & \dots & \dots \end{array}

的系数

a_{μ, ν}

满足以下两个条件:

每一列都是一个趋零序列, 即对于固定的 $p \geq 0$ , 我们有 $a_{n, p} \to 0 当 n \to + \infty .$
存在常数 $K$ 满足每一行的项的绝对值之和均小于它, 即对于每个 $n$ 有 $| a_{n, 0} | + | a_{n, 1} | + \dots + | a_{n, n} | < K .$

那么由

x_{n}^{'} = a_{n, 0} x_{0} + a_{n, 1} x_{1} + \dots + a_{n, n} x_{n}

定义的序列

(x_{n}^{'})

也是一个趋零序列.

证明. 给定

ε > 0

, 存在

m

满足对于每个

n > m

有

| x_{n} | < \frac{ε}{2 K}

, 那么

\begin{array}{rcl} | x_{n}^{'} | & = & | a_{n, 0} x_{0} + \dots + a_{n, n} x_{n} | \\ \leq & | a_{n, 0} x_{0} + \dots + a_{n, m} x_{m} | + | a_{n, m + 1} | | x_{m + 1} | + \dots + | a_{n, n} | | x_{n} | \\ \leq & | a_{n, 0} x_{0} + \dots + a_{n, m} x_{m} | + \frac{ε}{2 K} (| a_{n, m + 1} | + \dots + | a_{n, n} |) \\ < & | a_{n, 0} x_{0} + \dots + a_{n, m} x_{m} | + \frac{ε}{2} \end{array}

根据条件a, 鉴于

m

是固定的, 可以找到一个

n_{0} > m

使得对于每个

n > n_{0}

, 我们有

| a_{n, 0} x_{0} + \dots + a_{n, m} x_{m} | < \frac{ε}{2}

. 也就是说, 对于每个

n > n_{0}

| x_{n}^{'} | < ε

, 定理也就得到了证明.

◻

定理5. 如果

x_{n} \to ξ

并且系数

a_{μ, ν}

满足额外条件

$a_{n, 0} + a_{n, 1} + \dots + a_{n, n} = A_{n} \to 1 .$

那么亦有

x_{n}^{'} = a_{n, 0} x_{0} + a_{n, 1} x_{1} + \dots + a_{n, n} x_{n} \to ξ .

证明. 现在我们有

x_{n}^{'} = A_{n} ξ + a_{n, 0} (x_{0} - ξ) + a_{n, 1} (x_{1} - ξ) + \dots + a_{n, n} (x_{n} - ξ)

根据定理4, 可知由

x_{n}^{″} = a_{n, 0} (x_{0} - ξ) + a_{n, 1} (x_{1} - ξ) + \dots + a_{n, n} (x_{n} - ξ)

定义的序列

(x_{n}^{″})

是一个趋零序列, 并且我们还知道

A_{n} ξ \to ξ

, 故

x_{n}^{'} \to ξ

◻

第3章正项级数

本章我们关心正项级数, 或者至少是非负项级数. 这里两者都被称为正项级数, 也就是说正被理解为非严格的正. 对于这样一个级数

\sum a_{n}

而言, 既然

a_{n} \geq 0

, 那么我们有

s_{n} = s_{n - 1} + a_{n} \geq s_{n - 1},

于是部分和序列

(s_{n})

是一个单调递增序列, 其行为是特别简单的.

第一个主要的判别法. 正项级数要么收敛要么发散至

+ \infty

, 并且其收敛当且仅当部分和有界.

定理. 如果

p

是正整数, 那么两个级数

\sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} 和 \sum_{n = p}^{\infty} a_{n}

同时收敛或发散, 并且在收敛的情况下,

\sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} = a_{0} + a_{1} + \dots + a_{p - 1} + \sum_{n = p}^{\infty} a_{n} .

无穷级数的理论和应用

第1章实数理论的原理

第2章实数序列

第8节收敛序列

极限的Cauchy定理及其推广

第3章正项级数

第4章任意项级数

第5章幂级数

第6章所谓初等函数的展开

第7章无穷积

第8章

无穷级数的理论和应用

第1章 实数理论的原理

第2章 实数序列

第8节 收敛序列

极限的Cauchy定理及其推广

第3章 正项级数

第4章 任意项级数

第5章 幂级数

第6章 所谓初等函数的展开

第7章 无穷积

第8章

第1章实数理论的原理

第2章实数序列

第8节收敛序列

第3章正项级数

第4章任意项级数

第5章幂级数

第6章所谓初等函数的展开

第7章无穷积