Stone空间

就和许多研究层次的数学书籍一样, 本书是学生的教科书和专家的参考书之间的一种紧张的妥协. 专家当然无需帮助即可找到本书中他想要了解的内容, 所以说这些评注主要是面向学生的, 或者是那些考虑将本书用作某个研究生课程的基础的授课教师.

引论: 历史角度下的Stone定理

本书与一个特定的定理有关, 即Boole代数的Stone表示定理, 并包括了过去45年间自该定理始所发展的一些数学结果. 若一本书籍的作者试图描绘某个数学想法的发展, 那么他不可避免地要在在两种方法之间作出妥协: 第一种是历史性的方法, 作者尽量以时间顺序追踪每一脉络的发展, 但可能会忽略不同脉络之间的一些内在联系; 第二种是逻辑性的方法, 或者说"遗传性的方法" [Mac Lane 1980], 作者以后见之明选取抵达主要结果的捷径, 但因而也失去了一些关于这些结果何以重要的洞察.

我的折衷方案为, 在正文本身中选择全心全意的逻辑性方法. 我们最终将在第II.4节抵达Stone定理的证明, 而采取的路线保守来说也会震撼那些只了解历史的读者.

我们的历史调查自抽象代数的诞生开始, 近来Saunders Mac Lane就这个主题写了一篇极好的文章 [1981]. Mac Lane追溯代数的抽象/公理方法的第一个清晰例子至Cayley [1854]关于群论的论文. 然而, 群论并不位于本世纪早期驱动代数迈向抽象的前沿, 或许这是因为Cayley的表示定理 [1878], 其表明每个抽象的群都抽象地同构于一个"具体"的置换群, 这免除了抽象地发展群论的必要性, 直至很久以后.

如果说群论是抽象代数最古老的分支, 那么声明Boole代数为第二古老的分支是很恰当的. 当然, Boole [1847, 1854]和Peirce [1880]真的只关心具体的命题代数, 但是Whitehead [1898]和Huntington [1904]的确都采用了抽象的方式. 然而, 似乎在1930年以前, 人们对于非布尔格没有一点兴趣, 除了令人瞩目的Dedekind [1897, 1900], 但是他也只关心具体的格, 这种情况下是理想的格. 实际上, Boole理论本身除开炒作公理之外也没有多少发展.

第1章预备

第1节格

注记1.3. 设

A

是一个偏序集, 并且其有限子集都有join. 那么, join具有幂等性, 交换律, 结合律, 而且最小元

0

充当了join的单位元. (最小元的存在性来源于空集的最小上界的存在性.) 换言之, join使得偏序集

A

成为一个交换幺半群, 并且每个元素都是幂等的.

证明. 显然, 若这样的偏序存在, 则我们必有

a \leq b

当且仅当

a \lor b = b

. (这说明了唯一性.) 反过来, 将其当作

\leq

的定义. 从join的幂等性, 我们可以推出

\leq

的自反性. 从join的交换律, 我们可以推出

\leq

的反对称性. 为了证明传递性, 设

a \leq b

且

b \leq c

, 那么

\begin{array}{rcl} a \lor c & = & a \lor (b \lor c) \\ = & (a \lor b) \lor c \\ = & b \lor c \\ = & c \end{array}

于是

a \leq c

.
我们还需要验证

a \lor b

的确是

a

和

b

的join. 令

a

和

b

是

A

的任意元素, 那么

\begin{array}{rcl} a \lor (a \lor b) & = & (a \lor a) \lor b \\ = & a \lor b \end{array}

于是

a \leq a \lor b

. 类似地, 可得

b \leq a \lor b

. 但是, 如果元素

c

满足

a \leq c

且

b \leq c

, 那么

\begin{array}{rcl} (a \lor b) \lor c & = & a \lor (b \lor c) \\ = & a \lor c \\ = & c \end{array}

于是

a \lor b \leq c

. 换言之,

a \lor b

是

a

和

b

的join. 最后, 我们要说一下,

0

是最小元是显然的, 因为对于任意的元素

a

0 \lor a = a

◻

带有以上定理中所描述的结构的集合被称为半格, 或者有时称为join半格. 这个定理是说, 半格的概念既可以基于序关系定义, 也可以基于join运算定义 [译注: 也就是一种代数定义]; 但是, 当我们考虑同态 (保持结构的映射) 时, 这里存在着重要的不同. 半格同态

f : A \to B

(即保持最小元和运算

\lor

的映射) 必然是保序映射, 但是半格之间的保序映射不一定是同态. [译注: 这或许说明的是半格比偏序集的结构更多一点.]

注记1.4. 我们可以对偶地考虑偏序集中的meet概念. 所谓的格, 指的是任意子集均有join和meet的偏序集. [译注: 有的书里lattice不包含top和bottom, 但这本书的确包含, 请注意.] 根据之前的定理, 这等价于是说

A

装备了两个二元运算

\lor

和

\land

, 以及bottom元素

0

和top元素

1

, 其满足

(A, \lor, 0)

和

(A, \land, 1)

都是半格, 并且由这两个半格结构导出的

A

上的偏序是相反的, 或者说对偶的.

我们对于格的形式定义因而是一个集合, 带有两个二元运算

\lor

和

\land

, 以及两个特别的元素

0

和

1

, 满足

\lor

具有结合律, 交换律, 和幂等性, 并且

0

是其单位元,

\land

具有结合律, 交换律, 和幂等性, 并且

1

是其单位元, 最后

\lor

和

\land

还需要满足吸收律.

评注. (原来作者还知道写这个注记啊, 是我浅薄了.) 许多作者纯粹基于

\lor

和

\land

来定义格, 而不需要

0

和

1

的存在性. 这似乎不是很自然, 因为如果一个偏序集对于所有的非空有限子集都拥有join和meet的话, 那么也应该考虑空集的情形才显得合理; 我们遇到的绝大多数例子都证实了这一点. 另一方面, 我们不需要

0

和

1

相异. 我们的确希望考虑单元素集在装备了唯一的偏序后成为一个格.

定义1.5. 绝大多数我们遇到的格都会满足一条额外的性质, 即分配律

a \land (b \lor c) = (a \land b) \lor (a \land c)

如果我们将

\land

想成是乘法而

\lor

想成是加法, 那就是通常算术的分配律.

在任意的格中, 一个元素

x

, 若满足

x \land a = 0

且

x \lor a = 1

, 则被称为

a

的一个补. 上述命题告诉我们, 分配格中的补若存在则唯一. 一个布尔代数是一个装备了额外幺元运算的分配格

A

, 这个运算是

\neg : A \to A

, 而

\neg a

代表的是

a

的补. 因为

\neg

是由定义的其他资料唯一确定的, 显然任意布尔代数之间的格同态

f : A \to B

实际上也就是布尔代数同态. 换言之,

f

和

\neg

交换.

例子1.7. 是时候来点例子了.

对于任意的集合 $X$ , 幂集 $P X$ 是一个格, 其上的偏序 $\leq$ 即集合的包含关系, $\lor$ 和 $\land$ 分别是并集和交集操作, $0$ 和 $1$ 分别是空集和 $X$ . 而且, $P X$ 是分配的, 因为对于 $A, B, C \subseteq X$ , 我们有 $\begin{array}{rcl} A \land (B \lor C) & = & A \cap (B \cup C) \\ = & (A \cap B) \cup (A \cap C) \\ = & (A \land B) \lor (A \land C) \end{array}$ 另外, $P X$ 中的补其实就是补集操作. 于是, 它也是一个布尔代数.
令 $A$ 是一个全序集, 并且其最小元和最大元分别是 $0$ 和 $1$ , 那么 $A$ 是一个格, $\lor$ 和 $\land$ 应该解释为 $\max$ 和 $\min$ .

第2节理想和滤子

定义2.1. 1.9所建立的将布尔代数与特定的环等同起来的结果, 允许我们将环论的想法导入到布尔代数之中, 以及一般的格论. 本节我们检视了理想和主理想的格论类似物.
join半格

A

的一个子集

I

被称为是一个理想, 如果

$I$ 是 $A$ 的子join半格; 即 $0 \in I$ , 并且 $a \in I$ 和 $b \in I$ 可以推出 $a \lor b \in I$ ; 并且
$I$ 是一个下集(lower set); 即 $a \in I$ 和 $b \leq a$ 可以推出 $b \in I$ .

Stone空间

前言

给读者的建议

引论: 历史角度下的Stone定理

第1章预备

第1节格

第2节理想和滤子

第3节一些范畴概念

第4节自由格

第2章 locale简介

第1节 frame和locale

Stone空间

前言

给读者的建议

引论: 历史角度下的Stone定理

第1章 预备

第1节 格

第2节 理想和滤子

第3节 一些范畴概念

第4节 自由格

第2章 locale简介

第1节 frame和locale

第1章预备

第1节格

第2节理想和滤子

第3节一些范畴概念

第4节自由格