乌龟几何

Turtle Geometry是一本使用乌龟画图教授几何学的书籍, 并且反映了古典人工智能的精神. 实际上, 它属于MIT AI书系. 这个页面上的是我的一些笔记, 记号和原书可能会有所不同.

第1章乌龟几何引论

第1.1节乌龟图形

第1.1.1小节过程

第1.1.2小节使用乌龟绘图

第1.1.3小节乌龟几何与坐标几何的对比

第1.1.4小节一些简单的乌龟程序

第1.2节 POLY和其他封闭路径

第1.2.1小节封闭路径定理和简单封闭路径定理

第1.2.2小节 POLY封闭定理

第1.3节循环程序

第1.3.1小节循环引理

第1.3.2小节循环程序的例子

第1.3.3小节再次讨论循环引理

第1.3.4小节技术性总结

第1.3.5小节非技术性总结

第1.4节循环程序的对称性

第1.4.1小节 POLY的对称性

第1.4.2小节公因子

第2章反馈, 成长和形式

第2.1节作为动物的乌龟

第2.2节乌龟的交互

第2.3节成长

第2.4节递归设计

第3章乌龟几何中的向量方法

第3.1节对于乌龟程序进行向量分析

第3.1.1小节向量运算: 数乘和加法

本节描述了向量的基本运算, 以及一些基本性质 (或者说向量空间的公理).

第3.1.2小节封闭路径的向量表示

乌龟的每一步都是一个位移, 因而可以用向量表示. 相继的位移可以由向量的加法描述. 设一个乌龟走了 $n$ 步, 而其位移分别为 $u_{0}, \dots, u_{n - 1}$ , 那么合位移为 $u_{0} + \dots + u_{n - 1} .$ 所谓乌龟的移动形成了封闭的路径, 实际上指的是 $u_{0} + \dots + u_{n - 1} = 0 .$

第3.1.3小节再看POLY: 旋转和线性性质

POLY封闭定理 (向量形式). 给定向量 $u$ 和正整数 $n$ , 令 $θ = 2 π / n$ 而 $u_{k} = rotate (u, k θ)$ , 那么 $u_{0} + \dots + u_{n - 1} = 0 .$

证明.

\begin{array}{rcl} rotate (u_{0} + \dots + u_{n - 1}, θ) & = & rotate (u_{0}, θ) + \dots + rotate (u_{n - 1}, θ) \\ = & u_{1} + \dots + u_{n - 1} + u_{0} \\ = & u_{0} + \dots + u_{n - 1} \end{array}

几何直觉告诉我们, 这样的向量只能为零.

◻

第3.1.4小节 MULTIPOLY: 向量分析的又一次应用

第3.1.5小节意外封闭的图形

第3.2节向量的坐标

第3.2.1小节以坐标表达的向量运算

第3.2.2小节以坐标表达旋转: 线性原理

对于(非零)向量 $u$ 和角度 $θ$ , 我们设由向量 $u$ 旋转 $θ$ 得到的向量为 $rotate (u, θ)$ , 而 $perp (u)$ 是由 $u$ 旋转一个直角得到的向量, 注意它们旋转的方向应该是一致的. 那么, $rotate (u, θ)$ 应该是 $u$ 和 $perp (u)$ 的线性组合. 经过观察, 可以看出 $rotate (u, θ) = (\cos θ) u + (\sin θ) perp (u) .$ 为了以坐标表达旋转, 设 $u = u_{x} x + u_{y} y$ , 其中 $x$ 和 $y$ 构成了平面通常的基底. 那么, 我们有 $\begin{array}{rcl} perp (u) & = & perp (u_{x} x + u_{y} y) \\ = & u_{x} perp (x) + u_{y} perp (y) \\ = & u_{x} y + u_{y} (- x) \\ = & (- u_{y}) x + u_{x} y \end{array}$ 换言之, 坐标为 $(u_{x}, u_{y})$ 的向量旋转一个直角得到的向量的坐标为 $(- u_{y}, u_{x})$ . 所谓线性原理, 指的是线性变换保持线性组合, 仅此而已.

第3.3节在计算机上实现向量乌龟图形

第3.3.1小节乌龟状态

第3.3.2小节状态改变的运算符

第3.4节调动三维空间中的乌龟

第3.4.1小节旋转乌龟

第3.4.2小节超出平面的旋转

第3.4.3小节对于状态改变运算符的总结

第3.5节显示三维空间中的乌龟

第3.5.1小节平行投影

第3.5.2小节点积: 线性的又一次应用

第3.5.3小节以表达表达的平行投影; 一般化

第3.5.4小节透视投影

第3.5.5小节一个三维乌龟项目的大纲

第4章乌龟路径的拓扑

第4.1节封闭路径的形变

第4.1.1小节乌龟路径: 图形和程序

第4.1.2小节关联起图形和程序

第4.1.3小节封闭路径的拓扑分类

第4.2节局部和全局信息

第4.2.1小节从迷宫逃离

第4.3节曲线和平面的形变

第4.3.1小节形变定理的证明

第4.4节 Pledge算法的正确性

第5章逃出平面的乌龟

第5.1节球面上的乌龟几何

第5.2节曲率

第5.3节总曲率和拓扑

第6章探索立方体

第6.1节一个计算机立方体

第6.2节关于立方体的观察和问题

第6.3节结果

第6.4节结论

第7章再看球面

第7.1节计算机模拟

第7.2节探索

第7.3节结果

第8章分段平坦的曲面

第8.1节分段平坦曲面的程序

第8.2节定向

第8.3节曲率和Euler示性数

第9章弯曲空间和广义相对论

第9.1节楔表示

第9.2节弯曲空间和时间的现象

第9.3节相对性的广义理论

第9.3.1小节作为曲率的重力

第9.3.2小节世界线的旋转

第9.3.3小节理解Lorentz旋转

第9.4节广义相对性模拟器

乌龟几何

第1章 乌龟几何引论

第1.1节 乌龟图形

第1.1.1小节 过程

第1.1.2小节 使用乌龟绘图

第1.1.3小节 乌龟几何与坐标几何的对比

第1.1.4小节 一些简单的乌龟程序

第1.2节 POLY和其他封闭路径

第1.2.1小节 封闭路径定理和简单封闭路径定理

第1.2.2小节 POLY封闭定理

第1.3节 循环程序

第1.3.1小节 循环引理

第1.3.2小节 循环程序的例子

第1.3.3小节 再次讨论循环引理

第1.3.4小节 技术性总结

第1.3.5小节 非技术性总结

第1.4节 循环程序的对称性

第1.4.1小节 POLY的对称性

第1.4.2小节 公因子

第2章 反馈, 成长和形式

第2.1节 作为动物的乌龟

第2.2节 乌龟的交互

第2.3节 成长

第2.4节 递归设计

第3章 乌龟几何中的向量方法

第3.1节 对于乌龟程序进行向量分析

第3.1.1小节 向量运算: 数乘和加法

第3.1.2小节 封闭路径的向量表示

第3.1.3小节 再看POLY: 旋转和线性性质

第3.1.4小节 MULTIPOLY: 向量分析的又一次应用

第3.1.5小节 意外封闭的图形

第3.2节 向量的坐标

第3.2.1小节 以坐标表达的向量运算

第3.2.2小节 以坐标表达旋转: 线性原理

第3.3节 在计算机上实现向量乌龟图形

第3.3.1小节 乌龟状态

第3.3.2小节 状态改变的运算符

第3.4节 调动三维空间中的乌龟

第3.4.1小节 旋转乌龟

第3.4.2小节 超出平面的旋转

第3.4.3小节 对于状态改变运算符的总结

第3.5节 显示三维空间中的乌龟

第3.5.1小节 平行投影

第3.5.2小节 点积: 线性的又一次应用

第3.5.3小节 以表达表达的平行投影; 一般化

第3.5.4小节 透视投影

第3.5.5小节 一个三维乌龟项目的大纲

第4章 乌龟路径的拓扑

第4.1节 封闭路径的形变

第4.1.1小节 乌龟路径: 图形和程序

第4.1.2小节 关联起图形和程序

第4.1.3小节 封闭路径的拓扑分类

第4.2节 局部和全局信息

第4.2.1小节 从迷宫逃离

第4.3节 曲线和平面的形变

第4.3.1小节 形变定理的证明