Topos: 逻辑的范畴分析

第1章数学=集合论?

无人可将我们从Cantor创造的天堂之中驱离. —— David Hilbert

第1.1节集合论

被称为集合论的这个领域所坐落于的基本概念是集合成员所属. 一个集合最初可简单地被认为是一个对象的合集, 而这些对象被称为是这个合集的元素.

子集

Russell悖论

NBG

ZF

分离原理. 给定一个集合 $A$ 和一个条件 $φ (x)$ , 存在一个集合其元素恰是 $A$ 中那些满足 $φ (x)$ 的成员.

该集合被记作

一致性

第1.2节数学基础

第1.3节作为集合论的数学

第2章范畴是什么

第2.1节函数作为集合?

第2.2节函数的复合

第2.3节范畴: 最初的例子

定义. 一个范畴

C

由以下资料构成.

一个被称为 $C$ 对象的东西的合集;
一个被称为 $C$ 箭头的东西的合集;
赋予每个 $C$ 箭头 $f$ 一个 $C$ 对象 $dom f$ ( $f$ 的"domain") 和一个 $C$ 对象 $cod f$ ( $f$ 的"codomain") 的运算. 如果 $a = dom f$ 而 $b = cod f$ , 我们将其呈现为 $f : a \to b 或者 a \overset{f}{\to} b;$
一个运算, 其赋予每对 $C$ 箭头 $⟨ g, f ⟩$ , 若满足 $dom g = cod f$ , 以一个 $C$ 箭头 $g \circ f$ , 即 $f$ 和 $g$ 的复合, 并且有 $dom (g \circ f) = dom f$ 和 $cod (g \circ f) = cod g$ , 换句话说就是 $g \circ f : dom f \to cod g$ . 而且, 如此可得以下条件:
结合律: 给定 $C$ 对象和 $C$ 箭头的配置 $a \overset{f}{\to} b \overset{g}{\to} c \overset{h}{\to} d$ 那么 $h \circ (g \circ f) = (h \circ g) \circ f$ .
结合律断言了具有以下形式的图
交换.

第3章箭头而不是Epsilon

思想的世界并不会一下子就向我们敞开. 我们必须持续不断地在我们的意识之中重新创造它. —— René Thom

第3.1节单态的箭头

一个集合函数 $f : A \to B$ 被称为是单射的, 或者一一的, 如果没有两个不同的输入会给出相同的输出, 即对于输入 $x, y \in A$ ,

如果 $f (x) = f (y)$ , 那么 $x = y$ .

现在让我们取一个单射

f : A \to B

和两个"平行"的函数

g, h : C ⇉ A

使得

(还没画的交换图)

交换, 即

f \circ g = f \circ h

那么, 对于 $x \in C$ , 我们有 $f \circ g (x) = f \circ h (x)$ , 即 $f (g (x)) = f (h (x))$ . 但是因为 $f$ 是单射的, 这意味着 $g (x) = h (x)$ . 因此 $g$ 和 $h$ , 对于每个输入给出了相同的输出, 是相同的函数. 我们证明了单射的 $f$ 是"左可消去的", 即

每当 $f \circ g = f \circ h$ , 那么 $g = h$ .

从另一方面来说, 如果

f

具有左可消去性质, 那么它必然是单射的. 为了看出这点, 我们取

A

中

x

和

y

满足

f (x) = f (y)

(图还没画)

指令"

g (0) = x

"和"

h (0) = y

"建立了一对从

{0}

(即序数

1

) 到

A

的函数

g

和

h

满足

f \circ g = f \circ h

. 根据左可消去律,

g = h

, 于是

g (0) = h (0)

, 即

x = y

因此我们看到 $Set$ 中的单射箭头恰是那些左可消去的箭头. 要义在于后一种性质在陈述时仅需引用箭头, 而这导向了以下的抽象定义:

一个范畴 $C$ 中的箭头 $f : a \to b$ 在 $C$ 中是单态的, 如果对于任意一对平行的 $C$ 箭头 $g, h : c ⇉ a$ ,

Topos: 逻辑的范畴分析

第1章数学=集合论?

第1.1节集合论

子集

Russell悖论

NBG

ZF

一致性

第1.2节数学基础

第1.3节作为集合论的数学

第2章范畴是什么

第2.1节函数作为集合?

第2.2节函数的复合

第2.3节范畴: 最初的例子

第3章箭头而不是Epsilon

第3.1节单态的箭头

第3.2节满态的箭头

第4章介绍Topos

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第1章 数学=集合论?

第1.1节 集合论

子集

Russell悖论

NBG

ZF

一致性

第1.2节 数学基础

第1.3节 作为集合论的数学

第2章 范畴是什么

第2.1节 函数作为集合?

第2.2节 函数的复合

第2.3节 范畴: 最初的例子

第3章 箭头而不是Epsilon

第3.1节 单态的箭头

第3.2节 满态的箭头

第4章 介绍Topos

第1章数学=集合论?

第1.1节集合论

第1.2节数学基础

第1.3节作为集合论的数学

第2章范畴是什么

第2.1节函数作为集合?

第2.2节函数的复合

第2.3节范畴: 最初的例子

第3章箭头而不是Epsilon

第3.1节单态的箭头

第3.2节满态的箭头

第4章介绍Topos